建構(gòu)“一個(gè)整體”，聯(lián)通“量”與“率”

范韋莉

摘要：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”這一教學(xué)內(nèi)容具有承上啟下的重要作用，對(duì)于學(xué)生發(fā)展分?jǐn)?shù)概念有著特殊的意義——既要喚起學(xué)生前期感知的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，又要為今后進(jìn)一步抽象分?jǐn)?shù)的意義、理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)?；诮滩慕庾x和學(xué)情分析，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生順利地從“一”走向“多”，建立起“一個(gè)整體”的概念，打通理解“量”與“率”的通路。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）;整體;量;率;平均分

一、教材解讀

分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的一次重要的擴(kuò)展。“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中占有重要的地位，更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。為了幫助學(xué)生由易到難、由淺入深，逐步豐富和深化對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分三個(gè)階段推進(jìn)“分?jǐn)?shù)”教學(xué)：第一個(gè)階段在三年級(jí)上冊(cè)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境初步理解把一個(gè)物體（或圖形）平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示;第二個(gè)階段在三年級(jí)下冊(cè)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中經(jīng)歷把一些物體看作整體進(jìn)行平均分的過程，理解其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示;第三個(gè)階段在五年級(jí)下冊(cè)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生在分?jǐn)?shù)意義建立的過程中將平均分的對(duì)象抽象為單位“1”，以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步討論分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，豐富其內(nèi)涵，拓展其外延，進(jìn)而幫助學(xué)生建立合理有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

從教材的編排看，學(xué)生在第二個(gè)階段認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，不僅需要感受單位“1”的內(nèi)涵從一個(gè)物體擴(kuò)展到由許多物體組成的整體，更需要在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，區(qū)分“個(gè)數(shù)”與“份數(shù)”，深刻體會(huì)分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系。因此，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”這一教學(xué)內(nèi)容具有承上啟下的重要作用，對(duì)于學(xué)生發(fā)展分?jǐn)?shù)概念有著特殊的意義——既要喚起學(xué)生前期感知的經(jīng)驗(yàn)，又要為今后進(jìn)一步抽象分?jǐn)?shù)的意義、理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

對(duì)此，教材創(chuàng)設(shè)了小猴分桃的問題情境（例1和例2），精心安排了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，采用了與“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一”類似的編排線索。例1首先提出“把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾”的問題，呈現(xiàn)能看出一盤桃個(gè)數(shù)的情境圖，但又不在文字中表述出來。這樣的方式有利于學(xué)生產(chǎn)生對(duì)“一盤桃的12”的直觀認(rèn)知。在學(xué)生認(rèn)識(shí)到“每份是這盤桃的12”后，教材引導(dǎo)學(xué)生分別把4個(gè)桃、8個(gè)桃看作一個(gè)整體，要求學(xué)生在集合圈里表示每盤桃的12，經(jīng)歷把每盤桃平均分成2份，用12表示其中一份的活動(dòng)過程，并在此基礎(chǔ)上比較6個(gè)桃、4個(gè)桃、8個(gè)桃的集合。由此，引發(fā)思考：“每份的個(gè)數(shù)不同，為什么都可以用12來表示？”促使學(xué)生獲得關(guān)于整體的12的概括性認(rèn)識(shí)。例2的教學(xué)功能則是將學(xué)生對(duì)一個(gè)整體的12的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到一個(gè)整體的13，直至幾分之一。教材把一盤桃（6個(gè)）表示在集合圈內(nèi)，要求學(xué)生把這盤桃平均分成3份，在圖中表示出1份，并寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)13。

二、學(xué)情分析

一次，旁聽一位教師執(zhí)教《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）》第1課時(shí)，發(fā)現(xiàn)該教師基本按照教材的順序和思路與學(xué)生共同走了一遍，當(dāng)中既沒有看到教師對(duì)教材的深度加工，也沒有看見學(xué)生主體地位的凸顯。筆者不禁思考：這樣的教學(xué)中，學(xué)生能否順利解決練習(xí)中的問題？學(xué)生有沒有體會(huì)到平均分的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示？學(xué)生有沒有理解這里的分?jǐn)?shù)表示的是所取的份數(shù)和平均分的份數(shù)之間的關(guān)系？于是，我們收集了全班38名學(xué)生關(guān)于教材“想想做做”第2題中部分練習(xí)（見圖1）的作答情況。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，第1小題，全班全部做對(duì);第2小題，有20人做對(duì)，正確率僅為52.63%，做錯(cuò)的人中有16人的答案是28，2人不會(huì)填。這2小題的作答同為本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為什么會(huì)有這么大的差異呢？

通過與學(xué)生的訪談和對(duì)試題的分析，我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)于“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”這個(gè)內(nèi)容，當(dāng)圖中一個(gè)整體的具體數(shù)量和表達(dá)關(guān)系時(shí)的總份數(shù)一致時(shí)，學(xué)生理解起來沒有問題;若不一致，學(xué)生的認(rèn)知困難就產(chǎn)生了。

首先，學(xué)生的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)儲(chǔ)備對(duì)分?jǐn)?shù)的再學(xué)習(xí)產(chǎn)生了干擾和負(fù)遷移。平均分一個(gè)物體，其中的一份不能用整數(shù)表示，用分?jǐn)?shù)來表示顯得理所當(dāng)然。當(dāng)由若干個(gè)物體組成的一個(gè)整體被平均分后，每一份常?？梢杂谜麛?shù)表示，此時(shí)要求用分?jǐn)?shù)表示，就造成了學(xué)生認(rèn)知上的不平衡，因?yàn)樗麄円蚜?xí)慣于用具體的數(shù)量來解決問題。如：把6個(gè)蘋果平均分成2份，12僅表示其中的1份與整體之間的關(guān)系，它與“每份有3個(gè)蘋果”的已有經(jīng)驗(yàn)存在較大的認(rèn)知差異。

其次，學(xué)生不能理解分?jǐn)?shù)表示“部分與整體的關(guān)系”這一核心含義。學(xué)生在認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一時(shí)，分?jǐn)?shù)作為“量”與“率”的結(jié)果是相同的，學(xué)生無需對(duì)這兩種結(jié)果加以區(qū)分。如：一個(gè)桃，平均分成2份，每份是12，這個(gè)結(jié)果既可以看作每份是這個(gè)桃的12，也可以理解為每份有12個(gè)桃。學(xué)生在這里更愿意把這個(gè)結(jié)果看作具體的量，而不是看作一個(gè)無量綱的分?jǐn)?shù)（即“率”）。在認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一時(shí)，上述表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)含義才被真正凸顯出來，學(xué)生必須重新審視“量”與“率”。

再次，數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性要求學(xué)生具有發(fā)展的眼光、豐富的想象以及高階思維。于三年級(jí)學(xué)生而言，由于分的是一些具象物體組成的一個(gè)整體，他們總是對(duì)每份個(gè)數(shù)與總個(gè)數(shù)先入為主，往往忽視所取的份數(shù)與平均分的份數(shù)的關(guān)系。知識(shí)的抽象性要求學(xué)生能夠讀懂圖中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語言，具備透過具體現(xiàn)象看到內(nèi)隱關(guān)系的能力。

三、教學(xué)過程

那么，如何幫助學(xué)生順利地從“一”走向“多”，建立起“一個(gè)整體”的概念呢？怎樣幫助學(xué)生打通理解“量”與“率”的節(jié)點(diǎn)？分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，需要時(shí)間的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)的積累，也需要教師引領(lǐng)下的頓悟?；趦和?chǎng)和學(xué)科本質(zhì)，筆者設(shè)計(jì)并實(shí)施了如下教學(xué)：

（一）復(fù)習(xí)引入，探尋知識(shí)起點(diǎn)

師同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

生分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）。

師分?jǐn)?shù)，我們?cè)谏蠈W(xué)期就接觸過，（出示：把一個(gè)桃平均分成2份，每人分得多少？每人分得多少個(gè)？）比如這個(gè)問題，會(huì)解決嗎？

生每人分得12，分得12個(gè)。

師12和12個(gè)不一樣，但12和12個(gè)都可以表示平均分的結(jié)果。你是怎么理解12這個(gè)分?jǐn)?shù)的？舉例說明。

（學(xué)生舉例說明自己對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。）

師把一個(gè)物體平均分成2份，每份就是它的12，這是我們上學(xué)期學(xué)習(xí)過的把“一個(gè)物體”平均分成2份，每份用分?jǐn)?shù)12來表示。今天，我們繼續(xù)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

（二）引導(dǎo)探究，構(gòu)建知識(shí)模型

1.例1“認(rèn)識(shí)一盤桃的12”教學(xué)。

（1）表示6個(gè)桃的12。

師猴子最喜歡吃桃子。有一天，猴媽媽端來一盤桃，把盤中的6個(gè)桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？不著急回答，先在腦子里想一想。你能用圓圈代表桃，畫圖表示出你的想法嗎？

（教師出示要求：先畫一畫，分一分，涂色表示其中的1份。學(xué)生操作，教師巡視。反饋時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)三種表達(dá)：26、36、12。）

師同一個(gè)問題，卻出現(xiàn)了不同的答案，你贊同哪個(gè)？說說理由。

生用26表示。有6個(gè)桃，平均分成2份，所以每只小猴分得這盤桃的26。

生用36表示。把6個(gè)桃平均分成2份，每份是3個(gè)，所以每只小猴分得36。

生用12表示。把6個(gè)桃看作1盤桃，平均分給2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴拿走3個(gè)，但這3個(gè)桃是2份中的1份，所以用12表示。

師到底是幾分之幾？聯(lián)系剛才分一個(gè)桃的經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們?cè)倩叵胍幌路帜负头肿拥暮x。

（學(xué)生思考。）

師聯(lián)系剛才分一個(gè)物體，我們知道，分?jǐn)?shù)的分母表示平均分的份數(shù)，分子表示其中的一份。這盤桃有6個(gè)，在數(shù)學(xué)上可以圈起來看作“一個(gè)整體”，平均分給2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴分得1份，這1份是這個(gè)整體的幾分之幾？另1份呢？這里的分母“2”、分子“1”及12分別表示什么？

（教師課件演示先整體圈起來再分的過程，學(xué)生據(jù)此完整地說明平均分的過程。）

師（出示表1）為了看得更清楚，我們可以把剛才平均分的過程和結(jié)果記錄下來。如果你是猴媽媽，你可以怎樣告訴小猴平均分的結(jié)果？

（2）分別表示4個(gè)桃和8個(gè)桃的12。

師如果這盤桃有4個(gè)、8個(gè)，你能像剛才這樣畫一畫、分一分、涂一涂、寫一寫嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成，同桌互相說。反饋時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生完整地表達(dá)，并形成表2。）

（學(xué)生回答。）

師把一個(gè)整體平均分，其中的一份，既可以用具體的個(gè)數(shù)，也就是數(shù)量表示;也可以用幾分之一這樣的分?jǐn)?shù)，也就是用一份與這個(gè)整體之間的關(guān)系表示。（呈現(xiàn)三盤桃平均分后的示意圖，如圖2—圖4）再次觀察平均分的過程以及結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌交流。

生總數(shù)不同，但都是平均分成2份。用分?jǐn)?shù)表示平均分的結(jié)果時(shí)，無論桃子的總數(shù)是多少，我們都可以將它們看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份就是這個(gè)整體的12。

師如果有20個(gè)桃，平均分成2份，每份是這盤桃的——

生12。

師如果是100個(gè)呢？如果是一筐桃呢？只要怎樣，就可以用12表示？

（隨著學(xué)生的回答，課件隱去盤里的桃子，得到圖5。）

師不管這盤桃有多少個(gè)，我們都把它們看作“一個(gè)整體”來平均分，只要把這些桃平均分成2份，每份就是這個(gè)整體的12。

2.例2“認(rèn)識(shí)一盤桃的13”教學(xué)。

師剛才，我們都是把這些桃平均分給2只小猴?，F(xiàn)在，其中有一只小猴提意見了，說：猴媽媽也應(yīng)該分桃。把一盤桃平均分成3份，每份是這盤桃的幾分之幾？你會(huì)運(yùn)用剛才的經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)分一分、填一填嗎？

（學(xué)生交流反饋，教師指名學(xué)生說明分的過程并解釋13表示的意思。）

師為什么不可以填26？

生把6個(gè)桃平均分成3份，每份有2個(gè)桃，但這2個(gè)桃是3份中的1份，所以不用26表示。

師前面我們把6個(gè)桃平均分，現(xiàn)在還是把這6個(gè)桃平均分，對(duì)照這兩次分桃的過程，都是6個(gè)桃，為什么剛才每份是這盤桃的12，現(xiàn)在卻是13？

生前面是平均分成2份，現(xiàn)在是平均分成3份。

師如果平均分成6份，每份是這盤桃的幾分之幾？

生16。

師（出示圖6—圖8）你能看著這幾幅圖說一句話嗎？

生把一些桃看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是這個(gè)整體的幾分之一。

師剛才我們通過分一盤桃，認(rèn)識(shí)了一個(gè)整體的12和13。下面，我們自己來創(chuàng)造更多像幾分之一這樣的分?jǐn)?shù)：請(qǐng)大家完成課本第77頁“試一試”。（出示圖9）這里有一幅已經(jīng)畫好的圖，你知道這里的一份是表示的是幾分之一嗎？你的好辦法是什么？

生只要看平均分的份數(shù)就可以了。

師除了平均分成4份，還可以平均分成幾份？每份各是它的幾分之一？先分一分，再填一填，能想出幾個(gè)就寫幾個(gè)。

（全班交流，把12個(gè)桃平均分，分別得到它的12、13、14、16、112。）

師都是12個(gè)桃，表示每一份的分?jǐn)?shù)為什么不同？

（學(xué)生討論。）

（三）鞏固練習(xí)，深化知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.完成“想想做做”練習(xí)。

（學(xué)生完成“想想做做”前2題，互相批改，集體糾錯(cuò)。）

師（出示圖10）為什么都填14？涂色的個(gè)數(shù)為什么不同？（出示圖11）都是把8個(gè)正方體平均分，為什么表示涂色部分的分?jǐn)?shù)不同？

（學(xué)生回答。）

2.鏈接生活，舉例運(yùn)用。

師剛才我們都是把一些物體看作一個(gè)整體，平均分成幾份，表示這樣的1份，那么，在生活中，你能找到這樣的例子嗎？

（學(xué)生舉例。）

（四）全課總結(jié)，梳理知識(shí)脈絡(luò)

師通過今天的學(xué)習(xí)，你能說說為什么這節(jié)課要再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)了嗎？和之前的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)有什么不一樣的地方？

（學(xué)生回答。）

參考文獻(xiàn)：

[1] 王凌.從整數(shù)視角到分?jǐn)?shù)視角——“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”的學(xué)生錯(cuò)誤與教學(xué)對(duì)策[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2021（1）.