兩個(gè)合作保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問(wèn)題

冀宇軒 劉國(guó)欣

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津，300401)

1 引言

風(fēng)險(xiǎn)模型最早由Lundberg提出，并由Cramer進(jìn)行嚴(yán)格化.早期風(fēng)險(xiǎn)理論的主要研究問(wèn)題是破產(chǎn)概率.1957年，De Finetti[1]在第15屆國(guó)際精算學(xué)大會(huì)（紐約）上提出了最優(yōu)分紅問(wèn)題，即最大化破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅，給出了一種更加“現(xiàn)實(shí)”的穩(wěn)定性判據(jù)，并在簡(jiǎn)單的離散風(fēng)險(xiǎn)模型下研究了最優(yōu)分紅策略問(wèn)題，證明了最優(yōu)分紅策略是障礙（barrier）策略，即當(dāng)公司盈余額超過(guò)某一水平時(shí)，超出部分應(yīng)全部進(jìn)行分紅.1969年，Gerber[2]用相關(guān)離散問(wèn)題取極限的方法證明了在復(fù)合Poisson模型下，公司的最優(yōu)分紅策略一般為波段（band）策略.其后30多年的時(shí)間里最優(yōu)分紅策略問(wèn)題的研究進(jìn)展緩慢，直至上世紀(jì)90年代隨機(jī)控制理論和方法的突破為最優(yōu)分紅策略研究提供了有效的工具.正如Borch在1967年的倫敦皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)會(huì)議上的報(bào)告指出的，隨機(jī)控制理論好像是為精算學(xué)量身定做的數(shù)學(xué)工具.關(guān)于復(fù)合泊松模型的分紅問(wèn)題先驅(qū)性的工作見(jiàn)Buhlmann[3]和Gerber[4].直到今天，最優(yōu)分紅問(wèn)題已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)需要分析、概率和隨機(jī)控制學(xué)科交叉的豐富且富于挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域.關(guān)于最優(yōu)分紅問(wèn)題的發(fā)展現(xiàn)狀,可參見(jiàn)Schmidli[5]與Azcue和Muler[6]的兩本專(zhuān)著及其參考文獻(xiàn).

近些年，二維風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問(wèn)題引起了廣泛興趣.二維問(wèn)題可以更好地反應(yīng)兩個(gè)公司或一個(gè)公司中兩個(gè)項(xiàng)目之間的關(guān)系，具有更加實(shí)際的意義.Asmussen和Albrecher[7]中詳細(xì)地介紹了二維經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及相應(yīng)破產(chǎn)問(wèn)題及分紅問(wèn)題.Albrecher等[8]研究了二維經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下兩個(gè)合作的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問(wèn)題，但他們限定兩個(gè)公司的盈余過(guò)程是相互獨(dú)立的.

本文同樣研究二維經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下兩個(gè)合作保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問(wèn)題，但去掉了兩個(gè)公司的盈余過(guò)程是相互獨(dú)立的限制.本文首先給出模型,建立相應(yīng)的二維最優(yōu)分紅問(wèn)題.其次，給出值函數(shù)的基本性質(zhì)，特別是給出可行策略的分析刻畫(huà)，使我們可以更好地利用PDMP理論.最后，利用Liu等在[9]中給出的測(cè)度值生成元理論得到測(cè)度值DPE，證明了驗(yàn)證定理.

2 模型與分紅問(wèn)題

假設(shè)兩個(gè)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程分別為

其中,x和y是各自的初始盈余?p1和p2是各自的保費(fèi)收入率是公司k的第i次索賠大小,k=1,2,服從共同的聯(lián)合分布F(x,y).Nt是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程.假定Nt和隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的.

兩個(gè)保險(xiǎn)公司的合作準(zhǔn)則為:如果公司一的當(dāng)前盈余為負(fù)，只要公司二可以支付公司一的實(shí)際赤字,即支付赤字后自己不會(huì)破產(chǎn)，就應(yīng)立即支付公司一的赤字?反之亦然.當(dāng)一個(gè)公司的當(dāng)前盈余為負(fù)且另一個(gè)公司無(wú)法支付它的赤字,那么這個(gè)公司立即破產(chǎn),另一個(gè)盈余為正的公司繼續(xù)運(yùn)營(yíng).

其中

表示在時(shí)刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉(zhuǎn)移給公司一的累積盈余,

表示在時(shí)刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉(zhuǎn)移給公司一的累積盈余.上式中I{·}表示示性函數(shù).

定義ˉτ為破產(chǎn)時(shí)刻,表示有一個(gè)保險(xiǎn)公司資產(chǎn)小于0,或兩個(gè)公司資產(chǎn)都小于0的時(shí)刻,嚴(yán)格地說(shuō)，

用Πx,y表示初始盈余時(shí),所有的可行分紅策略的集合.在初始盈余水平的前提條件下,我們可以寫(xiě)出該問(wèn)題的最優(yōu)值函數(shù),如下:

其中,

上式中δ>0是折現(xiàn)因子，分別為公司一與公司二單獨(dú)運(yùn)營(yíng)時(shí)的最優(yōu)分紅值函數(shù).

3 值函數(shù)性質(zhì)與策略刻畫(huà)

命題1?x,y>0,最優(yōu)值函數(shù)V(x,y)有良好定義,且滿(mǎn)足

命題2最優(yōu)值函數(shù)V(x,y)分別關(guān)于x,y是單調(diào)遞增的,局部Lipschitz連續(xù),且滿(mǎn)足?(x,y)∈有

和

上述命題的證明與Albrecher等[10]類(lèi)似.

設(shè)?是一個(gè)有左右極限的路徑的集合,(?,F,P)是具有由過(guò)程{(Xt,Yt)}生成的σ-代數(shù)流{Ft}的完備概率空間.定義一個(gè)推移算子θt:對(duì)s,t∈R+，ω∈?,有θt?ωt=ωs+t.對(duì)?x,y≥0,Ux,y為可測(cè)函數(shù)α:的集合,滿(mǎn)足:

（1）α(x,y,t)關(guān)于t非降,左連右極,α(x,y,0)=0?

（2）α1(x,y,t)

定理1分紅策略L(fǎng)∈Πx,y可行當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)可測(cè)函數(shù)α1(x,y,t)和α2(x,y,t),對(duì)以及Fτn×B(R+)-可測(cè)函數(shù)使得

其中ˉα(t)=(α1(x,y,t),α2(x,y,t)).τi表示第i個(gè)索賠的到達(dá)時(shí)刻.稱(chēng)為馬氏策略.若受控盈余過(guò)程是時(shí)齊的強(qiáng)馬氏過(guò)程,則相應(yīng)的可行策略L(fǎng)稱(chēng)為平穩(wěn)馬氏策略.

定義1若受控盈余過(guò)程是強(qiáng)馬氏過(guò)程,則相應(yīng)的可行策略

令M為Borel?可測(cè)函數(shù)l:的集合,滿(mǎn)足

定理2可行策略為平穩(wěn)馬氏策略當(dāng)且僅當(dāng)存在函數(shù)l1,l2∈M,滿(mǎn)足

定理1與定理2的證明分別類(lèi)似于Liu等[11]中命題2.1與定理2.4的證明.

4 測(cè)度值動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程

定理3(動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理(DPP))對(duì)?x,y≥0,任意停時(shí)T,有

證明由于自然流{Ft}為跳流,因此對(duì)任意停時(shí)T,存在t,使 得因此僅對(duì)固定時(shí)刻t≥0證明.

令

由最優(yōu)值函數(shù)定義,有V(x,y)≤v(x,y,t).

再證V(x,y)≥v(x,y,t).任意給定ε>0,取一個(gè)可行策略使得

故V(x,y)≥v(x,y,t).

綜上,V(x,y)=v(x,y,t).使得V(x,y)=則?x,y≥0,?t>0有

定理4(動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程(DPE))假定存在一個(gè)可行策略

其中,

證明由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,得

由Stieltjes積分分部積分公式及（4.3）可得

其中,

綜合（4.4）和（4.5）式可得

5 驗(yàn)證定理

定理5(驗(yàn)證定理)假設(shè)可測(cè)函數(shù)v是測(cè)度值DPE的解,滿(mǎn)足?x,y,t≥0,

證明對(duì)任意滿(mǎn)足(3.1)的可行策略由Stieltjes分部積分公式，有

其中

為零初值鞅.由(5.3)可得

由于v是測(cè)度值DPE的解,因此所以有

令t→∞得,因此

從(4.2)和(5.1)可得,Hˉα?v(x,y,t)=0,因此

令t→∞得,因此

證畢.