基于IGGIII權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖構(gòu)建

黎小麗 李時(shí)敏,? 孔盈瑩

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州,510320；2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院,廣州,510320)

1 引言

在大數(shù)據(jù)時(shí)代,數(shù)據(jù)特征表現(xiàn)的越來(lái)越復(fù)雜多樣.正態(tài)分布只是一種理論上的分布,實(shí)際數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)偏斜分布,并且至多是近似正態(tài)分布[1].但偏斜分布可能對(duì)統(tǒng)計(jì)量的穩(wěn)態(tài)性產(chǎn)生致命的影響.第一,由于普通的均值和方差不具備抵抗異常值的性能,從而使得實(shí)際樣本數(shù)據(jù)失去代表性,模型產(chǎn)生偏差,最終導(dǎo)致得到的結(jié)果不可靠.第二,異常值的出現(xiàn)會(huì)擴(kuò)大或縮小控制圖的控制限間距,從而使得在統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(Statistic Process Control,簡(jiǎn)稱SPC)中出現(xiàn)虛發(fā)報(bào)警或漏發(fā)報(bào)警的現(xiàn)象.這不僅增加SPC監(jiān)控成本,也不利于產(chǎn)品設(shè)計(jì).以往學(xué)者常利用異常值診斷來(lái)直接剔除異常值,再采用經(jīng)典估計(jì)方法進(jìn)行建模.但異常值往往隱含著重要的信息,刪除異常值得到的結(jié)論亦可導(dǎo)致決策發(fā)生錯(cuò)誤.因此,有必要采用穩(wěn)健估計(jì)方法避免異常值產(chǎn)生的影響并建立正確的模型.

1953年,Box提出了“穩(wěn)健性”的定義,后來(lái)經(jīng)過(guò)研究得出了大量的穩(wěn)健估計(jì)方法.其中Huber,Hampel,Rousseeuw和Tukey等對(duì)穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行了深入的研究.周江文[2]提出了等價(jià)權(quán)的概念,將M估計(jì)最小二乘化使得傳統(tǒng)最小二乘法具備了抗差能力,并提出了兩種有效的估計(jì)方案——IGG方案和IGGII方案.楊元喜[3]對(duì)等價(jià)權(quán)原理進(jìn)行了擴(kuò)充,提出了IGGIII方案.Huber[4]也給出了“穩(wěn)健估計(jì)”的具體定義.此后,穩(wěn)健估計(jì)方法大量應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.

郭亞帆[5]深入剖析了當(dāng)實(shí)際樣本數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布時(shí),幾種常用統(tǒng)計(jì)量并不具備抵御異常值的能力,并指出若注重于正態(tài)分布附近的較高效率使用切尾均值剔除較重尾分布的數(shù)據(jù)則選用Huber M統(tǒng)計(jì)量.脫立文等[6]則利用誤差分布律的概率分布函數(shù)來(lái)定義權(quán)函數(shù),并通過(guò)實(shí)例證明該方法的穩(wěn)健優(yōu)越性.Christophe C等[7]基于Holt-Winters預(yù)測(cè)方法對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)構(gòu)造的控制圖作了深入的研究,使用可靠的技術(shù)防止異常點(diǎn)影響控制圖的控制限,并構(gòu)造了穩(wěn)健的時(shí)間序列控制圖.王曉輝等[8]將常用的13種穩(wěn)健估計(jì)方法應(yīng)用于概率積分參數(shù)的選取,并表明其中三種穩(wěn)健估計(jì)方法在該應(yīng)用的顯著成效,其中包括IGGIII權(quán)函數(shù).

姜佃高等[9]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)也對(duì)常用的13種穩(wěn)健估計(jì)方法進(jìn)行比較,并應(yīng)用于多元線性回歸中,得出其中兩種方法在多元線性回歸中具有相對(duì)更為有效的穩(wěn)健估計(jì)效果.蘇擁英等[10]采用Huber權(quán)函數(shù)對(duì)時(shí)間序列中不同的點(diǎn)施加不同權(quán)重,構(gòu)建穩(wěn)健自相關(guān)函數(shù),并實(shí)證分析得出該方法具有良好的穩(wěn)健性效果.李雄英等[11]基于Rousseeuw[12]提出的Fast-MCD方法建立穩(wěn)健主成分聚類算法,并結(jié)合模擬分析和實(shí)際含異常值的高維數(shù)據(jù)進(jìn)行案例分析,表明穩(wěn)健主成分聚類算法可有效地抵御異常值產(chǎn)生的影響.

在SPC過(guò)程中,質(zhì)量特征值常表現(xiàn)出自相關(guān)現(xiàn)象,違背獨(dú)立性假設(shè).為了解決過(guò)程自相關(guān)情況下質(zhì)量控制問(wèn)題,統(tǒng)計(jì)學(xué)家們提出了不同的處理方法,其中主要方法之一就是引入時(shí)間序列分析法.Alwan等[13]等提出如果在過(guò)程平穩(wěn)前提下自相關(guān)的樣本數(shù)據(jù)擬合準(zhǔn)確的時(shí)間序列模型,則得到的殘差序列相互獨(dú)立.因此在SPC中可使用殘差序列構(gòu)建殘差控制圖進(jìn)行過(guò)程監(jiān)控.

孫靜[14]提出對(duì)于存在大量自相關(guān)現(xiàn)象的海量數(shù)據(jù),使用殘差控制圖替代傳統(tǒng)控制圖可得到更好的控制效果.王斌會(huì)等[15]通過(guò)運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法進(jìn)一步研究質(zhì)量過(guò)程自相關(guān)條件下的殘差控制圖并與傳統(tǒng)控制圖比較,表明殘差控制圖能夠有效避免在受控狀態(tài)下虛發(fā)警報(bào)的現(xiàn)象.王志堅(jiān)[16]則利用Hampel權(quán)函數(shù)來(lái)建立穩(wěn)健的ARMA模型進(jìn)而得到獨(dú)立同分布的殘差序列,從而構(gòu)造出對(duì)異常值具有強(qiáng)抗干擾性的穩(wěn)健殘差控制圖.

本文在探究穩(wěn)健估計(jì)方法IGGIII權(quán)函數(shù)的最適調(diào)和參數(shù)的基礎(chǔ)上,構(gòu)建穩(wěn)健自協(xié)方差函數(shù),對(duì)含有異常值的時(shí)間序列進(jìn)行穩(wěn)健變換后,進(jìn)而建立穩(wěn)健的ARMA模型,從而得到獨(dú)立同分布的殘差序列,最后結(jié)合均值-方差穩(wěn)健估計(jì)量來(lái)構(gòu)造控制圖的控制限,構(gòu)造出穩(wěn)健的ARMA殘差控制圖.模擬和實(shí)證分析表明本文提出的基于IGGIII權(quán)函數(shù)構(gòu)造的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖具有更好的抗差性.

2 原理與方法

2.1 傳統(tǒng)ARMA控制圖的不穩(wěn)健性

假設(shè){rt}是一個(gè)自相關(guān)的序列,當(dāng)它平穩(wěn)時(shí),可通過(guò)如下的ARMA模型對(duì)其進(jìn)行擬合:

當(dāng)隨機(jī)過(guò)程Xt=μ+εt,εt～N(0,σ2)時(shí),μ=E(Xt),且μ,σ分別為過(guò)程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.傳統(tǒng)ARMA控制圖的控制限是采用3σ原則設(shè)置的,其控制上限(UCL)、中心限(CL)、控制下限(LCL)如下

然而,在實(shí)際中,很多數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)為非正態(tài)的有偏分布,并且往往會(huì)由于一些突發(fā)因素導(dǎo)致數(shù)據(jù)中出現(xiàn)一些極端值.如在金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)中,金融危機(jī)、政策的頒布和在SPC監(jiān)控中機(jī)器發(fā)生故障、人為操作記錄錯(cuò)誤等因素都可導(dǎo)致異常值的產(chǎn)生.若對(duì)這些含有異常值的數(shù)據(jù)采用傳統(tǒng)的方法建模、進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及預(yù)測(cè)無(wú)疑會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確性.

為了說(shuō)明異常值對(duì)傳統(tǒng)控制圖的影響,我們首先生成100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),使用傳統(tǒng)控制圖檢測(cè)出樣第46號(hào)數(shù)據(jù)不在控制上下限之間(圖1).然后將第25號(hào)和第26號(hào)數(shù)據(jù)分別換成異常值3.5和4(圖2),此時(shí)第46號(hào)數(shù)據(jù)卻沒有超出控制上下限,出現(xiàn)了“遮蔽效應(yīng)”.這是由于替換的異常值使得原始序列中的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都發(fā)生了變化,從而導(dǎo)致控制限的間距被拉大,出現(xiàn)了漏報(bào)情況.上述現(xiàn)象表明傳統(tǒng)控制圖易受異常值的影響.由此可見,數(shù)據(jù)中異常值的出現(xiàn)可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)程監(jiān)控中產(chǎn)生漏發(fā)報(bào)警的現(xiàn)象.因此,有必要對(duì)傳統(tǒng)控制圖進(jìn)行穩(wěn)健改進(jìn).

圖1 傳統(tǒng)控制圖檢測(cè)出46號(hào)異常值

圖2 傳統(tǒng)控制圖未檢測(cè)出46號(hào)異常值

2.2 基于IGGIII權(quán)函數(shù)的樣本自相關(guān)函數(shù)

Box等[17]指出異常值對(duì)時(shí)間序列模型的識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、診斷檢驗(yàn)甚至預(yù)測(cè)都會(huì)產(chǎn)生重大影響.異常值的出現(xiàn)導(dǎo)致殘差序列不服從獨(dú)立同分布,從而使傳統(tǒng)殘差控制圖對(duì)異常值的檢測(cè)性能失效.這不僅不利于在SPC中有效控制產(chǎn)品質(zhì)量,還給企業(yè)造成在監(jiān)控過(guò)程中經(jīng)濟(jì)成本的提升.

ARMA模型是擬合時(shí)間序列常用的模型,矩估計(jì)(也稱Yule-Walker估計(jì))是對(duì)ARMA模型常用的參數(shù)估計(jì)方法之一,其基本思想是用樣本自協(xié)方差函數(shù)W(k)來(lái)估計(jì)模型的參數(shù).設(shè)時(shí)間序列為{Xt},則其自相關(guān)函數(shù)為

當(dāng)時(shí)間序列中存在異常值時(shí),自協(xié)方差函數(shù)是不穩(wěn)健的,這會(huì)導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值偏離實(shí)際值.由于樣本自協(xié)方差函數(shù)W(k)是對(duì)ARMA模型的參數(shù)進(jìn)行矩估計(jì)的核心,因此,為了避免異常值的影響,本文采用楊元喜[13]提出的IGGIII權(quán)函數(shù)對(duì)樣本自協(xié)方差函數(shù)W(k)進(jìn)行穩(wěn)健改進(jìn).IGGIII權(quán)函數(shù)的表達(dá)式如下：

其中,εt表示第t個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差值,σ表示標(biāo)準(zhǔn)差,b,c是調(diào)節(jié)系數(shù),分別取值1～1.5,2.5～3.通過(guò)模擬分析可知權(quán)函數(shù)對(duì)于調(diào)節(jié)系數(shù)的確定也是敏感的.郭立志[18]等通過(guò)探究含有粗差的基坑位移變化量數(shù)據(jù),得到IGGIII權(quán)函數(shù)的調(diào)節(jié)系數(shù)均在0.928～1.136范圍時(shí),穩(wěn)健估計(jì)的抗差效果更為明顯.我們通過(guò)不斷選取IGGIII權(quán)函數(shù)的調(diào)節(jié)系數(shù)作數(shù)值模擬(模擬達(dá)1000次以上),發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)節(jié)系數(shù)選取為b=1,c=3時(shí),構(gòu)造的控制圖的控制限更穩(wěn)健,間距沒有發(fā)生很大變化,并且能夠把數(shù)據(jù)中的所有異常值檢測(cè)出.

根據(jù)以往學(xué)者的研究,發(fā)現(xiàn)不同的權(quán)函數(shù)的選取會(huì)產(chǎn)生不一樣的穩(wěn)健估計(jì)效果.權(quán)函數(shù)對(duì)于越小的殘差絕對(duì)值賦予的權(quán)重越大,對(duì)于越大的殘差絕對(duì)值則賦予的權(quán)重越小.從幾何角度來(lái)解釋,權(quán)函數(shù)壓縮了數(shù)據(jù)中潛在的異常值.采用上述IGGIII權(quán)函數(shù)對(duì)自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),得到穩(wěn)健的樣本自協(xié)方差函數(shù)：

利用它可以構(gòu)建出穩(wěn)健的ARMA模型.

2.3 穩(wěn)健ARMA殘差控制圖的構(gòu)建

由上文知,傳統(tǒng)控制圖的控制限由樣本均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ確定,而這兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)均對(duì)異常值敏感,是導(dǎo)致傳統(tǒng)控制圖不穩(wěn)健的因素之一,因此有必要利用樣本均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的穩(wěn)健估計(jì)量對(duì)控制限進(jìn)行穩(wěn)健構(gòu)造.

中位數(shù)、切尾均值、縮尾均值與加權(quán)三均值是常用的均值穩(wěn)健估計(jì)量.四分位間距、縮尾標(biāo)準(zhǔn)差、絕對(duì)離差中位數(shù)與平均絕對(duì)離差是常用的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量.本文通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn),對(duì)于含有異常值的序列,確定用加權(quán)三均值與平均絕對(duì)離差分別對(duì)均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ進(jìn)行估計(jì)而得到的控制圖的控制限具有更好的穩(wěn)健性.對(duì)于一個(gè)序列x1,x2,···,xN其加權(quán)三均值與平均絕對(duì)離差為

其中QL,QU,MED分別表示次序統(tǒng)計(jì)量中的樣本下四分位數(shù),上四分位數(shù)和中位數(shù).中位數(shù)由于不受極端值的影響,因此具有穩(wěn)健性.

下面我們給出采用穩(wěn)健IGGIII權(quán)函數(shù)構(gòu)造穩(wěn)健ARMA模型,進(jìn)而構(gòu)建穩(wěn)健ARMA殘差控制圖的步驟.

記xt為原始序列,通過(guò)權(quán)函數(shù)對(duì)其加權(quán)后的序列記為

1)根據(jù)xt的中位數(shù),計(jì)算出殘差序列,進(jìn)而得到殘差絕對(duì)值序列；

2)根據(jù)殘差絕對(duì)值序列的范圍,賦予原序列xt相應(yīng)的權(quán)重w(εt),從而得到加權(quán)的序列

4)根據(jù)穩(wěn)健ARMA模型得到殘差序列,并根據(jù)穩(wěn)健的均值和標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造控制圖的控制限,從而構(gòu)造出穩(wěn)健ARMA殘差控制圖.

3 模擬分析

為檢驗(yàn)基于IGGIII權(quán)函數(shù)穩(wěn)健改進(jìn)后的效果,本節(jié)通過(guò)含有異常值的樣本數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明穩(wěn)健ARMA殘差控制圖比傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖的檢測(cè)效果更優(yōu).

首先,隨機(jī)模擬生成一組樣本量為500的AR(1)且的時(shí)間序列數(shù)據(jù),再?gòu)倪@500個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取,分別構(gòu)造污染率為4%和8%的位置污染分布：

其中ξ表述污染率,μ0和σ2分別為AR(1)模型的均值和方差,μ=4.5或?4.2.

然后,對(duì)受污染的序列分別進(jìn)行建模,擬合結(jié)果見表1.

從表1可知,當(dāng)數(shù)據(jù)序列中含有8%的異常值時(shí),通過(guò)傳統(tǒng)方法建立的模型,其顯著性較低,而通過(guò)穩(wěn)健方法得到的模型仍然保持著較好的顯著性,這說(shuō)明通過(guò)穩(wěn)健改進(jìn)的ARMA模型對(duì)異常值有良好的耐受性.

表1 傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型和穩(wěn)健ARMA(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較

此外,當(dāng)序列中含有4%的異常值時(shí),擬合得到的傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型的AIC值為1767,穩(wěn)健ARMA(1,1)模型的AIC值為1016；而當(dāng)序列中含有8%的異常值時(shí),擬合得到的傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型的AIC值為2068,穩(wěn)健ARMA(1,1)模型的AIC值為1288.通過(guò)比較可知,使用穩(wěn)健技術(shù)建立的模型更優(yōu),更有效.

對(duì)上述具有不同污染率的數(shù)據(jù),分別建立傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型和穩(wěn)健ARMA(1,1)模型然后,構(gòu)建相應(yīng)的ARMA殘差控制圖,結(jié)果如圖3?圖6 所示.

圖3 與圖5是基于傳統(tǒng)方法建立的控制圖,其控制限是基于3σ原則構(gòu)造的.對(duì)含有4%(20個(gè))異常值的序列,由圖3及表2可知,控制圖只識(shí)別出13個(gè)異常值,漏報(bào)率為35%.對(duì)含有8%(40個(gè))異常值的序列,由圖5及表3可知,傳統(tǒng)ARMA型控制圖只識(shí)別出28個(gè)異常值,漏報(bào)率為30%.這說(shuō)明傳統(tǒng)控制圖的監(jiān)控性能不佳,主要原因是異常值拉大了上下控制限之間的距離.

圖3 含4%異常值時(shí)建立的傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖

圖5 含8%異常值時(shí)建立的傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖

圖4 與圖6是基于穩(wěn)健技術(shù)改進(jìn)后的方法建立的控制圖.對(duì)含有4%(20個(gè))異常值的序列,由圖6及表2可知,控制圖識(shí)別出20個(gè)異常值,漏報(bào)率為0%.對(duì)含有8%(40個(gè))異常值的序列,由圖6及表3可知,穩(wěn)健ARMA型控制圖識(shí)別出38個(gè)異常值,漏報(bào)率為5%.

表2 傳統(tǒng)和穩(wěn)健ARMA殘差控制圖在序列含有4%異常值下的監(jiān)控情況

表3 傳統(tǒng)和穩(wěn)健ARMA殘差控制圖在序列含有8%異常值下的監(jiān)控情況

圖4 含4%異常值時(shí)建立的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖

圖6 含8%異常值時(shí)建立的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖

綜上,通過(guò)穩(wěn)健技術(shù)改進(jìn)后構(gòu)建的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖受異常值的影響較小,對(duì)異常值有更好的抗干擾性和抗差性,檢測(cè)效果更好.

4 實(shí)證檢驗(yàn)

在證券投資分析中,證券數(shù)據(jù)往往表現(xiàn)出波動(dòng)聚集性.本節(jié)以證券市場(chǎng)中的實(shí)例來(lái)檢驗(yàn)穩(wěn)健時(shí)間序列建模方法對(duì)傳統(tǒng)殘差控制圖的改進(jìn)效果.我們選取亞馬遜(AMZN)公司從2013年3月25日至2020年3月25日股票收盤價(jià)的日對(duì)數(shù)收益率(數(shù)據(jù)來(lái)源：雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)站),共1763個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù).對(duì)數(shù)收益率定義如下：

其中Pt為第t天的股票收盤價(jià),Rt為第t天的對(duì)數(shù)收益率.首先對(duì)AMZN的日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行探索性數(shù)據(jù)分析.由圖7可以看到股票收盤價(jià)日對(duì)數(shù)收益率的數(shù)據(jù)有波動(dòng)聚集性的現(xiàn)象,且有大量數(shù)據(jù)顯著偏離均值,故初步判斷數(shù)據(jù)中存在異常值.再由收益率箱線圖(圖8)可知,數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布.

圖7 AMZN對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖

圖8 AMZN對(duì)數(shù)收益率箱線圖

事實(shí)上,表4的正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了AMZN.rtn數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的原假設(shè),但是從表5的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果知,AMZN.rtn數(shù)據(jù)序列是平穩(wěn)的.此外,通過(guò)圖9中的自相關(guān)圖(ACF)和偏自相關(guān)圖(PACF)可判斷序列AMZN.rtn數(shù)據(jù)序列存在相關(guān)性.我們對(duì)其分別建立傳統(tǒng)和穩(wěn)健的時(shí)間序列模型如下(擬合結(jié)果見表6)：

表5 序列AMZN.rtn的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

圖9 序列AMZN.rtn的ACF和PACF圖

表4 AMZN.rtn數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)

由表6知,傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型的AIC值為?8990,穩(wěn)健ARMA(1,1)模型的AIC值為?11884,進(jìn)一步說(shuō)明穩(wěn)健ARMA(1,1)模型優(yōu)于傳統(tǒng)ARMA(1,1)模型.

表6 傳統(tǒng)和穩(wěn)健ARMA(2.3)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

接著,根據(jù)擬合得到的模型分別構(gòu)建ARMA殘差控制圖,如圖10,圖11所示.

圖10 傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖

圖11 穩(wěn)健ARMA殘差控制圖

由圖10可知,由于數(shù)據(jù)中存在大量異常值導(dǎo)致控制圖的控制上下限之間的距離被拉大,傳統(tǒng)控制圖出現(xiàn)了漏發(fā)警報(bào)的現(xiàn)象.而由圖11可知,穩(wěn)健ARMA殘差控制圖能夠有效地檢測(cè)出SPC中的異常值,這表明穩(wěn)健ARMA殘差控制圖的檢測(cè)效果更優(yōu),對(duì)異常值有較好的抗差性和抗干擾性.

進(jìn)一步,由表7可知,傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖只檢測(cè)出48個(gè)異常值,而穩(wěn)健ARMA殘差控制圖檢測(cè)出85個(gè)異常值,且傳統(tǒng)ARMA控制圖檢測(cè)出來(lái)的異常值,都能被穩(wěn)健ARMA殘差控制圖檢測(cè)出,說(shuō)明穩(wěn)健ARMA殘差控制圖的檢測(cè)效果確實(shí)優(yōu)于傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖.

表7 傳統(tǒng)和穩(wěn)健ARMA型殘差控制圖識(shí)別出的異常值位置異同

現(xiàn)在,我們?cè)賮?lái)看看兩種不同的殘差控制圖在幾個(gè)具體的異常值點(diǎn)上的表現(xiàn).首先,通過(guò)查詢相關(guān)資料可知,在2020年3月11日亞馬遜股票開盤價(jià)為1875.85美元,收盤價(jià)為1820.86美元,股票價(jià)格下跌3.75%,振幅3.69%.這個(gè)異常值(第1753樣本點(diǎn))出現(xiàn)的主要原因是受油價(jià)暴跌以及新冠肺炎疫情的影響,美股在該日之前近一個(gè)月出現(xiàn)多次熔斷,股市暴跌,導(dǎo)致亞馬遜的股票也受到影響.對(duì)此異常值點(diǎn),傳統(tǒng)控制圖和穩(wěn)健控制圖都能檢測(cè)出來(lái).其次,在2015年8月20日亞馬遜因?yàn)槊绹?guó)《紐約時(shí)報(bào)》公開報(bào)道批評(píng)該公司的員工管理模式,給公司帶來(lái)一定的負(fù)面影響,從而導(dǎo)致股價(jià)明顯下跌(第607樣本點(diǎn)),對(duì)此異常值傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖沒有檢測(cè)出,而穩(wěn)健ARMA殘差控制圖則檢測(cè)出了這個(gè)異常值點(diǎn).最后,在2018年3月27日亞馬遜股價(jià)因中美貿(mào)易摩擦也是大幅下跌(第1261樣本點(diǎn)),這一異常值點(diǎn)也被穩(wěn)健ARMA殘差控制圖檢測(cè)出,而沒有被傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖檢測(cè)出.

可見,本文基于改進(jìn)的IGGIII權(quán)函數(shù)對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,可有效減少異常值對(duì)模型的影響,從而使構(gòu)造的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖對(duì)異常值具有更好的耐受性.

5 小結(jié)

本文針對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列,首先說(shuō)明了異常值的存在對(duì)傳統(tǒng)建模方法以及構(gòu)造控制圖產(chǎn)生的影響,然后采用IGGIII權(quán)函數(shù)構(gòu)建穩(wěn)健自協(xié)方差函數(shù),對(duì)含有異常值的序列進(jìn)行穩(wěn)健變換,利用變換后的數(shù)據(jù)建立穩(wěn)健的ARAM模型.最后,利用均值和標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健估計(jì)計(jì)算出控制圖的控制限,進(jìn)而構(gòu)造出穩(wěn)健ARMA殘差控制圖.模擬和實(shí)證表明基于本文所構(gòu)建的穩(wěn)健ARMA殘差控制圖比傳統(tǒng)ARMA殘差控制圖具有更好的抗差性.