基于MATLAB可視化程序處理《經(jīng)典物理》復(fù)雜習(xí)題的教學(xué)研究*

董少光，朱傳云，譚 鵬

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院物理與光電工程學(xué)院，廣東 佛山 528000)

1 引言

《經(jīng)典物理》是理工科專業(yè)學(xué)生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，一般在大一學(xué)年的下學(xué)期和大二學(xué)年的上學(xué)期開設(shè)。在這個學(xué)習(xí)階段學(xué)生雖然有一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，但是由于《經(jīng)典物理》教學(xué)主要停留在理論分析的層面上，物理公式中繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，讓學(xué)生感覺到《經(jīng)典物理》的理論性、嚴(yán)謹(jǐn)性太強(qiáng)，與物理問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用偏離很大，導(dǎo)致一部分學(xué)生對《經(jīng)典物理》的學(xué)習(xí)失去了信心和興趣。這種長久以來的教學(xué)現(xiàn)象必定會引起教師對如何講授《經(jīng)典物理》要采取一系列的探索和改革，改革主要體現(xiàn)在教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)手段上[1]。

理工科專業(yè)的學(xué)生需要培養(yǎng)通過數(shù)值模擬的科學(xué)計算能力來解決實(shí)際問題，這種能力是學(xué)生在畢業(yè)后的工作或科研中必須擁有的解決問題能力和科學(xué)素質(zhì)[2]。在《經(jīng)典物理》的教學(xué)中，數(shù)值模擬計算方法的優(yōu)越性得到了大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)可，使一些原來無法通過解析法解決的物理問題利用數(shù)值模擬計算方法后可以得到較充分的討論和分析，一些比較枯燥的、難度較大的物理習(xí)題也變得生動有趣并具有一定的啟發(fā)性，一些計算量很大的物理習(xí)題更是被輕而易舉地解決了。而且，由于數(shù)值模擬計算具有成本低、上手快、操作性強(qiáng)等特點(diǎn)，可以廣泛應(yīng)用于《經(jīng)典物理》探究性的教學(xué)過程，這對培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)理念、創(chuàng)新素質(zhì)、探索和創(chuàng)新精神、科學(xué)思維能力和智力提升等方面都有重要的意義[3]。

在《經(jīng)典物理》的教學(xué)過程中，適時地引入MATLAB 數(shù)值模擬計算方法既可以使物理概念和物理規(guī)律的教學(xué)更加直觀、易于接受，也可以在課堂上生動直觀地展示特殊的物理現(xiàn)象，還可以讓學(xué)生初步地了解MATLAB 數(shù)值模擬計算在解決復(fù)雜物理問題中的具體應(yīng)用。將MATALB 的數(shù)值模擬計算方法引入《經(jīng)典物理》的習(xí)題教學(xué)中，可使習(xí)題教學(xué)更生動、更形象，習(xí)題內(nèi)容更充實(shí)、更直觀和計算結(jié)果的可視化。如果將MATALB 的數(shù)值模擬計算應(yīng)用到《經(jīng)典物理》的習(xí)題教學(xué)中，就能顯示復(fù)雜的物理過程，而且能讓學(xué)生對物理習(xí)題有一個科學(xué)而清晰的全面理解，同時還能通過習(xí)題教學(xué)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而進(jìn)一步推動《經(jīng)典物理》教學(xué)的現(xiàn)代化進(jìn)程[4]。

2 MATLAB 的數(shù)值計算及模擬仿真

在《經(jīng)典物理》的教學(xué)過程中，基于PPT 的電子教案已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。然而用PPT 制作的電子教案還是有很多的局限性，物理學(xué)中很多實(shí)驗(yàn)或者計算結(jié)果的圖像再現(xiàn)，是很難用PPT 制作完成的。為了加強(qiáng)學(xué)生對物理基本概念、物理過程以及物理知識應(yīng)用的深刻理解，把學(xué)生從抽象的物理思維和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算中解脫出來，將MATLAB 引入《經(jīng)典物理》教學(xué)是一種非?？尚械慕鉀Q方法[5]。MATLAB 具有可視化的數(shù)值計算、符號計算、繪畫作圖及動畫仿真功能，能準(zhǔn)確地反映物理學(xué)中的各種物理問題。在《經(jīng)典物理》教學(xué)過程中，合理地利用MATALB 輔助課堂教學(xué)，不僅能夠使一些抽象的、枯燥的物理問題變得形象、有趣，提高教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，更重要的是能夠激發(fā)學(xué)生對《經(jīng)典物理》的學(xué)習(xí)興趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提升學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)和創(chuàng)造能力[6]。

采用融入MATLAB 軟件的多媒體課件和傳統(tǒng)的黑板+粉筆的綜合教學(xué)模式，就可以充分發(fā)揮MATLAB數(shù)值模擬計算和模擬結(jié)果可視化在《經(jīng)典物理》教學(xué)中的作用，可以向?qū)W生傳達(dá)更多更新的《經(jīng)典物理》教學(xué)內(nèi)容，展示《經(jīng)典物理》課程中更豐富的物理現(xiàn)象，將學(xué)生的注意力從數(shù)值計算過程轉(zhuǎn)移到對物理現(xiàn)象的理解和物理問題的實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探索學(xué)習(xí)物理科學(xué)問題的興趣，從而達(dá)到提高《經(jīng)典物理》教學(xué)質(zhì)量的目的[7]。因此，MTALAB 為《經(jīng)典物理》的復(fù)雜計算和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理提供了更好的解決方法。

在使用MATLAB 數(shù)值模擬計算求解《經(jīng)典物理》較復(fù)雜的問題之前，一定要學(xué)生先利用課余時間自學(xué)MATLAB 軟件的基本知識，并要求學(xué)生課前用MATLAB 軟件制作一些《經(jīng)典物理》中相對簡單問題的課件。教學(xué)中應(yīng)該注意到MATLAB 軟件只是《經(jīng)典物理》教學(xué)的輔助手段，只有在適當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)要求下靈活應(yīng)用該軟件，才能達(dá)到理想的教學(xué)目的和課堂教學(xué)效果[8]。因此，對高等院校理工科的學(xué)生來說，在《經(jīng)典物理》的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會使用MATLAB 軟件是學(xué)生必須掌握的基本技能。

學(xué)生在做《經(jīng)典物理》習(xí)題時，最讓學(xué)生頭疼的不是根據(jù)題意列出相應(yīng)的物理方程，而是對物理方程進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算。將MATLAB 的數(shù)值模擬計算引入《經(jīng)典物理》習(xí)題求解過程，大大擴(kuò)展了學(xué)生的認(rèn)知視野，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的創(chuàng)新能力。對那些用通常的數(shù)學(xué)方法求解相當(dāng)麻煩、計算量比較大的物理問題，采用MATLAB 數(shù)值模擬計算可讓學(xué)生從繁瑣的數(shù)學(xué)計算中解放出來，把思維的注意力放在物理問題的本質(zhì)理解上，這對教師的物理教學(xué)和學(xué)生的物理學(xué)習(xí)都是非常有益的。

3 MATLAB 在處理復(fù)雜物理習(xí)題中的應(yīng)用

MATLAB軟件所包含的大量的程序包為求解復(fù)雜的《經(jīng)典物理》問題提供了很多方便。在《經(jīng)典物理》教學(xué)過程中，教師可以適當(dāng)?shù)厥褂肕ATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值計算，避免在黑板上進(jìn)行繁瑣的數(shù)學(xué)演算過程，集中精力分析物理公式或物理方程所描述的物理現(xiàn)象和物理本質(zhì)。

3.1 MATLAB的符號計算功能

在《經(jīng)典物理》教學(xué)過程中，MATLAB軟件在符號運(yùn)算、圖像繪制、模擬仿真方面有著明顯的優(yōu)勢。利用MATLAB軟件繪制的圖像和制作的動畫仿真適當(dāng)?shù)匾氲健督?jīng)典物理》教學(xué)某些章節(jié)的電子教案里，不但能使復(fù)雜的物理現(xiàn)象可視化，使抽象問題的形象化，而且能讓學(xué)生對復(fù)雜的物理問題有了一個科學(xué)而又清晰的理解和認(rèn)識。MATLAB的數(shù)值計算只能得到實(shí)際問題的近似解，而符號計算則可得到實(shí)際問題的精確解。MATLAB的符號運(yùn)算是由符號數(shù)學(xué)工具箱中的相關(guān)函數(shù)操作完成的。MATLAB符號計算函數(shù)主要有：符號變量和符號表達(dá)式創(chuàng)建函數(shù)sym和syms，極限函數(shù)limit(F,x,a)、微分函數(shù)diff(S,v,n)、積分函數(shù)int(S,v,a,b)、符號表達(dá)式解代數(shù)方程函數(shù)solve(eqn)，常微分方程符號解函數(shù)dsolve(‘eqn1,eqn2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)等。

微分運(yùn)算是《經(jīng)典物理》習(xí)題教學(xué)和物理練習(xí)過程中經(jīng)常遇到的，MATLAB軟件提供的微分函數(shù)命令diff(S,v,n)不僅可求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，而且還可以計算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。在《經(jīng)典物理》的靜電場理論部分，學(xué)習(xí)了場強(qiáng)與電勢的關(guān)系后，如果已知電勢的分布情況就可以通過微分函數(shù)求出對應(yīng)的場強(qiáng)分布了。

例題1，在計算圓電荷與直線電荷之間的作用力等問題時，常用到下面的積分公式（不計積分常量）。

其中，k是參數(shù)。求證上述積分。當(dāng)x=0 時，積分為零。根據(jù)參數(shù)畫出積分的函數(shù)曲線。

%數(shù)值積分和符號積分方法

%一階常微分方程的解析解，數(shù)值解和符號解

3.2 MATLAB模擬結(jié)果的可視化圖形

在《經(jīng)典物理》習(xí)題計算過程中，原始數(shù)據(jù)雖然能夠精確地表達(dá)問題本身的內(nèi)在信息，但是學(xué)生很難從大量的離散數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)物理問題的本質(zhì)含義和隱含的物理規(guī)律。如果將所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理，就能直接感受到數(shù)據(jù)背后隱藏的物理現(xiàn)象的內(nèi)在本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系以及物理變化規(guī)律等。MATLAB 提供了豐富的函數(shù)類型，對應(yīng)于不同圖形功能表達(dá)式。常用的函數(shù)有：繪制二維數(shù)據(jù)圖形函數(shù)plot(x,y)；二維顯函數(shù)曲線圖形函數(shù)fplot(‘function’,[a,b])，二維隱函數(shù)曲線圖形函數(shù)ezplot(‘function’,[a,b])等。

例題3，一鏈條長為l，放在光滑的桌面上，其中長為b的一段處于下垂?fàn)顟B(tài)。鏈條從靜止開始運(yùn)動，求鏈條的運(yùn)動規(guī)律，并求鏈條滑出桌面的時間和速度各為多少？

解析：由牛頓第二定律和牛頓第三定律以及數(shù)學(xué)的微積分和初始條件可以求得，鏈條下落的時間與高度的關(guān)系為：鏈條下落時的長度（高度）的規(guī)律為：。當(dāng)鏈條完全滑出桌面時，所需要的時間為：，鏈條的速度為：。

例題4，兩個強(qiáng)度和波長都相同的光點(diǎn)關(guān)于圓孔對稱分布，單色光通過圓孔產(chǎn)生的衍射圖樣疊加結(jié)果如何？并說明瑞利判據(jù)。

解析：光源上一個光點(diǎn)發(fā)出的光通過圓孔后，由于衍射的存在，不能聚集為一個點(diǎn)而主要是一個亮斑。兩個點(diǎn)光源發(fā)出的光通過圓孔后，就會形成兩個亮斑。如果兩個點(diǎn)光源相距很近，兩個亮斑就重疊得比較多，就有可能無法分辨出兩個點(diǎn)光源。當(dāng)一個點(diǎn)光源形成的亮斑中央與另一個點(diǎn)光源形成的第1 級暗紋重疊時，另一個點(diǎn)光源形成的亮斑中央也與前一個點(diǎn)光源形成的第1 級暗紋重疊，正常的人眼就剛好能夠分辨兩個光點(diǎn)的像，這就是瑞利判據(jù)。

式中，J1為一階貝塞爾函數(shù)。再取1z=z+Δz，z2=z-zΔ，則光強(qiáng)又可表示為

當(dāng)Δz=0時，表示兩個光點(diǎn)重疊，此時兩個光點(diǎn)的像無法分辨。當(dāng)Δz=0.305時，兩個光點(diǎn)的像此時恰好能夠分辨。以Δz為參數(shù)，取z為自變量向量，即可計算總光強(qiáng)，畫出總光強(qiáng)曲線。如果將z向量化為坐標(biāo)矩陣，則可畫出衍射條紋和光強(qiáng)曲面。

%瑞利判據(jù)的三種曲線和圖片

4 結(jié)論

在《經(jīng)典物理》的習(xí)題教學(xué)和練習(xí)的過程中，利用MATLAB 軟件的數(shù)值計算功能可以使物理習(xí)題的復(fù)雜計算過程變得輕松易解，利用MATLAB 軟件的符號計算功能可以解復(fù)雜的物理方程如代數(shù)方程、高階微分方程、超越方程等，利用MATLAB 軟件數(shù)據(jù)處理的可視化功能可以將物理問題的計算結(jié)果以二維或三維圖形的方式呈現(xiàn)，從這些可視化的圖形中學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的物理規(guī)律或物理量之間的變化趨勢，更好地理解物理問題產(chǎn)生的原因或本質(zhì)。利用MATLAB 軟件的可視化程序設(shè)計可以使《經(jīng)典物理》的習(xí)題教學(xué)在一定的程度上減輕了老師課堂的教學(xué)強(qiáng)度，同時也降低了復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算過程對學(xué)生理解物理問題的干擾。這種教學(xué)輔助手段如果利用得當(dāng)?shù)脑?，一定可以提高《?jīng)典物理》的課堂教學(xué)效果，激發(fā)老師的教學(xué)激情，更重要的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)《經(jīng)典物理》的興趣，提升學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力。