質(zhì)點隨機運動學(xué)與動力學(xué)

高宏

（清華大學(xué)機械工程學(xué)院精密儀器系，北京 100084）

1 引言

人類在自然界和社會實踐活動中所遇到的各種運動大體可分為確定性運動和隨機性運動兩大類。確定性運動隨時間的變化過程可用一個確定性的時間函數(shù)進行描述，如地球圍繞太陽運動時的數(shù)學(xué)模型可用橢圓軌道方程準(zhǔn)確描述。與確定性運動相反，隨機性運動隨時間不停地做無規(guī)律的變化，無法用確定性的時間函數(shù)進行描述，如液體中懸浮微粒的布朗運動，電子元件產(chǎn)生的熱噪聲和股票市場中的價格波動等。牛頓力學(xué)以質(zhì)點作為研究對象，直接以牛頓運動定律為出發(fā)點來研究質(zhì)點的確定性運動規(guī)律；愛因斯坦雖然對布朗運動現(xiàn)象進行了研究，但他以大量布朗粒子作為研究對象，建立了描述和闡明大量質(zhì)點隨機運動統(tǒng)計特性的布朗運動理論，但不能揭示單個布朗粒子位移隨時間演變的特征及規(guī)律。因此，現(xiàn)有力學(xué)和物理學(xué)理論中缺少質(zhì)點隨機運動學(xué)和動力學(xué)內(nèi)容，無法為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)提供描述單個質(zhì)點隨機運動規(guī)律的理論、方法和工具，導(dǎo)致其它學(xué)科在研究和分析動態(tài)隨機現(xiàn)象時遇到難以克服的困難[1]。

本文基于人們對“隨機運動的變化（速度）是完全隨機的”這一經(jīng)驗和實驗認(rèn)識，提出了“質(zhì)點隨機運動速度等于白噪聲”這一隨機運動定律，在此基礎(chǔ)上建立了質(zhì)點隨機運動學(xué)和動力學(xué)理論，不僅可描述并揭示單個質(zhì)點隨機運動現(xiàn)象、特征及規(guī)律，而且可為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)解決實際問題提供理論、方法和工具。

2 基本概念

定義：設(shè)平穩(wěn)隨機過程樣本函數(shù)n(t)的均值為零，如果其自相關(guān)函數(shù)

式中τ為時間間隔，N0為正實常數(shù)，δ(τ)為單位沖擊函數(shù)，則稱n(t)為白噪聲。

式(1)表明，白噪聲n(t)僅在τ=0 時才有相關(guān)性，在任何兩個不同時刻的取值互不相關(guān)。故白噪聲n(t)的時域波形為一串寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機脈沖。

根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，可得白噪聲n(t)的功率譜密度

即白噪聲n(t)的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布。N0的物理意義代表白噪聲信號在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率。

上述白噪聲n(t)的定義是從自相關(guān)函數(shù)的角度給出的，并未規(guī)定白噪聲n(t)在不同時刻取值的概率分布，因此白噪聲n(t)可以有各種不同的概率分布。如果n(t) 在不同時刻的函數(shù)值服從（0，σ2）正態(tài)分布，則稱n(t)為高斯白噪聲，此時N0=σ2。高斯白噪聲在任意兩個時刻不僅互不相關(guān)，而且相互獨立。

白噪聲的功率譜密度在整個頻域內(nèi)為常量，表示其平均功率為無限大，這在實際中是不存在的。白噪聲與“質(zhì)點”概念一樣，是一種理想化的模型，由于其功率譜密度為“常數(shù)”，自相關(guān)函數(shù)是一個“沖擊函數(shù)”，因此在數(shù)學(xué)上具有處理簡單、計算方便等優(yōu)點。

3 質(zhì)點隨機運動分類

根據(jù)質(zhì)點位移、速度和加速度的變化情況，可將質(zhì)點隨機運動分為位移隨機運動、速度隨機運動和加速度隨機運動三種情況。

設(shè)x(t)為隨機運動的質(zhì)點在t時刻的位移，則位移隨機運動可表示為

式中n(t)為式(1)定義的白噪聲。

速度隨機運動可表示為

式中v(t)為隨機運動的質(zhì)點在t時刻的瞬時速度。

加速度隨機運動可表示為

式中a(t)為隨機運動的質(zhì)點在t時刻的瞬時加速度。

4 質(zhì)點隨機運動定律

觀察自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)中遇到的各種動態(tài)隨機運動現(xiàn)象，如布朗粒子位移[2]、光纖陀螺隨機游走誤差[3]和股票市場價格[4]，各種參量在下一時刻的方向和大小變化是完全隨機的，均不能在結(jié)果出現(xiàn)之前預(yù)測其確切結(jié)果，即隨機運動的速度沒有確定性的規(guī)律，而且任何兩個不同時刻的速度互不相關(guān)。因此，本文研究對象為式(4)定義的速度隨機運動。

基于人們對“隨機運動的變化（速度）是完全隨機的”這一經(jīng)驗認(rèn)識，以及愛因斯坦“布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”假設(shè)[5]和實際布朗粒子瞬時速度的測量結(jié)果[6]，提出“質(zhì)點隨機運動瞬時速度等于白噪聲”這一隨機運動定律（基本公理），用數(shù)學(xué)公式表示為

式中x(t)為隨機運動的質(zhì)點在t時刻的位移，v(t)為隨機運動的質(zhì)點在t時刻的瞬時速度，n(t)為式（1）定義的白噪聲。

表面上看，隨機運動的瞬時速度v(t)似乎是毫無規(guī)律可言，但是通過觀察所有時刻的瞬時速度v(t)，就會呈現(xiàn)出某種固有的統(tǒng)計規(guī)律，如瞬時速度v(t)的均值為零，而且會呈現(xiàn)出某種概率分布，如布朗粒子的瞬時速度v(t)服從正態(tài)分布。

5 質(zhì)點隨機運動學(xué)

隨機質(zhì)點運動學(xué)只研究質(zhì)點在隨機運動過程中的位置與時間之間的數(shù)量關(guān)系，不追究質(zhì)點隨機運動發(fā)生的原因，因而不涉及質(zhì)點的受力。

5.1 隨機運動學(xué)方程

設(shè)x(0)=0，由式(6)可直接寫出質(zhì)點的隨機運動學(xué)方程

式中的白噪聲n(t)定義在[-∞，+∞]上，由于僅在區(qū)間[0，t]對其進行積分，從信號分析的角度看對n(t)進行了非線性處理，因此質(zhì)點隨機運動學(xué)方程為非線性時變數(shù)學(xué)模型。

基于式(7)的模型，不僅可研究質(zhì)點隨機運動的特征及規(guī)律，而且還能預(yù)測質(zhì)點隨機運動未來的發(fā)展趨勢和變化結(jié)果。

5.2 瞬時速度和平均速度

式(6)的速度v(t)為質(zhì)點隨機運動的瞬時速度，在數(shù)學(xué)上它是位移x(t)的一階導(dǎo)數(shù)。瞬時速度v(t)的波形與白噪聲n(t)的波形相同，為一串均值為零、寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機脈沖。質(zhì)點隨機運動在[0，t]區(qū)間的平均速度為

白噪聲的功率譜密度在整個頻域內(nèi)為常量，表示白噪聲信號中包含有所有頻率的諧波分量。在[0，t]區(qū)間被整周期截斷的諧波分量的算數(shù)平均值（直流分量）為零；在[0，t]區(qū)間不能被整周期截斷的諧波分量會因頻譜泄露效應(yīng)而產(chǎn)生直流分量，特別是周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于t的諧波分量，其波形在[0，t]區(qū)間就相當(dāng)于直流分量。

根據(jù)概率論大數(shù)定律[7]，算數(shù)平均值反映了白噪聲中的確定性成分，當(dāng)t充分大時，收斂于一個接近白噪聲均值的常數(shù)。

式中N0為白噪聲n(t)的平均功率。

5.3 位移公式

由式(8)，可得質(zhì)點隨機運動的位移公式

由式(10)可以看出，質(zhì)點隨機運動位移x(t)的運動特性完全取決于其平均速度的特性。當(dāng)t較小時，x(t)波動劇烈，表現(xiàn)出很強的隨機性；當(dāng)t逐漸變大時，x(t)的波動幅度逐漸變??；當(dāng)t充分大時，x(t)的運動軌跡趨于一條斜率為的直線，x(t)就成為牛頓質(zhì)點運動學(xué)描述的勻速直線運動。

5.4 瞬時加速度

由式(6)的隨機運動定律，質(zhì)點隨機運動的瞬時加速度為

即隨機運動的瞬時加速度a(t)為白噪聲n(t)的一階導(dǎo)數(shù)。

由于白噪聲信號n(t)的波形為一串寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機脈沖，因此n(t) 的一階導(dǎo)數(shù)（無窮大）在數(shù)學(xué)上并不存在，但這不妨礙我們探討a(t)的性質(zhì)。

對白噪聲n(t)在t時刻的正脈沖求導(dǎo)，當(dāng)時間從左邊趨于t時，它是一個強度為無限大的正脈沖；當(dāng)時間從右邊趨于t時，它是一個強度為無限大的負(fù)脈沖。因此，質(zhì)點隨機運動的瞬時加速度a(t)波形是一串均值為零、寬度無限窄、幅值無限大、方向變化極快的隨機脈沖。

5.5 位移自相關(guān)函數(shù)

由式(7)的質(zhì)點隨機運動學(xué)方程，可推導(dǎo)出其位移自相關(guān)函數(shù)

式中τ為時間間隔。

式(12)表明，質(zhì)點隨機運動的位移x(t) 在很寬的范圍內(nèi)具有相關(guān)性，表明x(t)具有可預(yù)測性。事實上，根據(jù)式(10)的位移公式，我們根據(jù)質(zhì)點隨機運動過去的平均速度vˉˉ(ˉt)ˉˉ，就能對未來的位移進行預(yù)測。

5.6 位移、速度和加速度的功率譜密度

隨機運動現(xiàn)象雖然在時域無法用確定性的數(shù)學(xué)解析式來描述，但是在頻域卻可用確定性的數(shù)學(xué)解析式表示。例如白噪聲n(t)的功率譜密度Sn(ω)在頻域就可用式(2)的確定性解析表達(dá)式描述，因此，質(zhì)點隨機運動瞬時速度v(t)的功率譜密度為

式中N0為白噪聲n(t)的平均功率。

從信號與系統(tǒng)的角度看，質(zhì)點隨機運動的位移x(t)和瞬時加速度a(t)，可看成是白噪聲n(t)分別激勵積分系統(tǒng)和微分系統(tǒng)時產(chǎn)生的輸出[8]，因此位移x(t)和瞬時加速度a(t)的功率譜密度分別為

可以看出，質(zhì)點隨機運動位移x(t)的功率譜密度Sx(ω)與ω2成反比，x(t)為能量集中在低頻段的紅噪聲，表明x(t)具有很大的慣性，在一定時間和條件下會保持原來的運動趨勢和狀態(tài)；質(zhì)點隨機運動瞬時加速度a(t)的功率譜密度Sa(ω)與ω2成正比，表明a(t)為能量集中在高頻段的紫噪聲。

隨機運動質(zhì)點的位移x(t)的功率譜密度Sx(ω)與ω2成反比，表明x(t)具有1/f分形特征和標(biāo)度變換下的結(jié)構(gòu)不變性（自相似性）。

6 大量隨機運動質(zhì)點的統(tǒng)計特性

由式(7)的質(zhì)點隨機運動學(xué)方程，可寫出描述大量質(zhì)點隨機運動的隨機變量模型

式中X(t)為隨機變量，亦即大量樣本軌道x(t)的集合；N(t)為式(1)定義的白噪聲隨機過程隨機變量。

白噪聲為各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，N(t)的統(tǒng)計平均與n(t)的時間平均在概率意義上相等，因此，可計算出X(t)的數(shù)學(xué)期望和方差

對于布朗運動，N(t)為服從（0，σ2）正態(tài)分布的高斯白噪聲隨機過程，則X(t) 服從（0，σ2t）正態(tài)分布，與愛因斯坦布朗運動理論完全一致。

7 質(zhì)點隨機動力學(xué)

牛頓運動定律是質(zhì)點做機械運動時遵從的基本定律，本節(jié)應(yīng)用牛頓運動定律分析和解決單個布朗粒子的動力學(xué)問題。

1827 年，英國植物學(xué)家布朗使用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發(fā)現(xiàn)微?？偸遣煌５卦谧鰺o規(guī)則的運動。后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術(shù)和人類社會中的動態(tài)隨機現(xiàn)象，如空氣中的煙霧擴散、光纖陀螺中的隨機游走和股票市場中的價格波動等，人們將這種無規(guī)則的隨機運動統(tǒng)稱為布朗運動。

布朗粒子的直徑約為10-4～10-3mm，從宏觀尺度看體積非常小，因此布朗粒子周圍的液體分子通過碰撞作用于其上的力足以使其發(fā)生運動。布朗粒子周圍的液體分子作用力可分為兩部分：一部分是液體分子對布朗粒子的平均作用力，它表現(xiàn)為宏觀的粘滯阻力；另一部分是引起布朗粒子不規(guī)則運動的隨機碰撞力。布朗粒子每秒鐘受周圍液體分子碰撞的次數(shù)約為1019，故隨機碰撞力是一種方向和大小變化極快的力。

考察一個質(zhì)量為m的布朗粒子運動在水平面x方向上的投影，此時重力和浮力都不出現(xiàn)，則布朗粒子在某一時刻的動力學(xué)特征可用牛頓動力學(xué)方程加以描述

式中f(t)為布朗粒子在液體中運動受到的粘滯阻力，F(xiàn)(t) 為周圍液體分子對布朗粒子高頻碰撞產(chǎn)生的隨機作用力。

式(19)就是著名的“朗之萬方程”，可進一步改寫為

式中γ為阻尼系數(shù)。

朗之萬將隨機作用力F(t)看成是零均值的正態(tài)白噪聲[5]，并認(rèn)為在介質(zhì)過阻尼的情況下，式（20）左邊的慣性項作用可以忽略，推導(dǎo)出了簡化的朗之萬方程

即布朗粒子的運動速度為白噪聲，與“質(zhì)點隨機運動速度等于白噪聲”的隨機運動定律一致。

朗之萬對式(20)的求解結(jié)果雖然證明了“質(zhì)點隨機運動速度等于白噪聲”，但結(jié)論與F(t)是零均值正態(tài)白噪聲的前提假設(shè)相矛盾。

從上節(jié)的質(zhì)點運動學(xué)已知，如果質(zhì)點隨機運動速度等于白噪聲，則質(zhì)點瞬時加速度的波形為一串寬度無限窄、幅值無限大、方向變化極快的隨機脈沖，因此，式(20)左邊的慣性項遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于右邊的粘滯阻力項，粘滯阻力項可忽略不記，因此正確的簡化朗之萬方程為

即布朗粒子受到的隨機碰撞力F(t)是在高頻段功率譜密度無限大的紫噪聲，而不是功率譜密度在整個頻域均勻分布的白噪聲。

8 結(jié)論

本文基于人們對“隨機運動的變化（速度）是完全隨機的”這一經(jīng)驗和實驗認(rèn)識，提出了“質(zhì)點隨機運動瞬時速度等于白噪聲”這一隨機運動定律，通過數(shù)學(xué)演繹推理方法建立了質(zhì)點隨機運動學(xué)和動力學(xué)理論，揭示出了質(zhì)點隨機運動的隨機性與確定性、微觀與宏觀、時域與頻域之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過質(zhì)點平均速度和位移公式在質(zhì)點隨機運動學(xué)與牛頓質(zhì)點運動學(xué)之間建立了橋梁，證明了在時域和微觀尺度上表現(xiàn)出不確定性、不可重復(fù)和不可預(yù)測的質(zhì)點隨機運動，在頻域和宏觀尺度上具有總體的確定性和穩(wěn)定性，同時也驗證了一個哲學(xué)命題：隨機性和確定性是對立統(tǒng)一的關(guān)系，隨機性是確定性的表現(xiàn)形式，確定性存在于隨機性之中。