基于卡爾曼方法的歷史建筑不均勻沉降預(yù)測(cè)

陳小杰, 龔賽博

(1.上海房屋質(zhì)量檢測(cè)站, 上海 200031; 2.上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院, 上海 200093)

隨著當(dāng)前城市化速度的加快, 城市基礎(chǔ)設(shè)施大規(guī)模升級(jí)。地鐵和隧道等地下工程的施工可能對(duì)歷史建筑周圍的土體造成擾動(dòng)[1]。歷史建筑物由于建造年代久遠(yuǎn)， 材料和結(jié)構(gòu)老化, 其抗變形能力很差, 在土體擾動(dòng)下容易發(fā)生不均勻沉降。當(dāng)不均勻沉降過(guò)大時(shí), 結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生開(kāi)裂、 傾斜等現(xiàn)象, 甚至危害歷史建筑的安全。因此, 需要定期對(duì)歷史建筑進(jìn)行沉降觀測(cè), 并預(yù)測(cè)其不均勻沉降趨勢(shì)。

卡爾曼濾波模型和回歸分析模型是常用的數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)模型, 常用于預(yù)測(cè)施工中建筑物的不均勻沉降[2]?；貧w分析模型是一種靜態(tài)的數(shù)據(jù)分析模型, 根據(jù)不均勻沉降與影響因子之間的相互關(guān)系建立回歸方程, 以預(yù)測(cè)某一時(shí)刻歷史建筑的不均勻沉降， 但是這種方法要求數(shù)據(jù)有一定的規(guī)律, 否則預(yù)測(cè)會(huì)產(chǎn)生較大誤差, 而且不能實(shí)時(shí)處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù), 預(yù)測(cè)成本較大[3]。卡爾曼濾波模型使用一組狀態(tài)方程和觀測(cè)方程來(lái)描述動(dòng)態(tài)觀測(cè)系統(tǒng), 可以根據(jù)觀測(cè)值不斷地修正預(yù)測(cè)值, 其本質(zhì)上是最優(yōu)線性估計(jì)算法。相比于回歸分析模型, 卡爾曼濾波模型可以快速、 實(shí)時(shí)地處理大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù), 預(yù)測(cè)成本較低， 并且它可以將系統(tǒng)狀態(tài)和觀測(cè)信息有機(jī)結(jié)合, 有效提高不均勻沉降的預(yù)測(cè)精度[4]?；诳柭鼮V波模型的優(yōu)勢(shì), 本文構(gòu)建了卡爾曼濾波沉降預(yù)測(cè)模型, 利用該模型對(duì)某歷史建筑的不均勻沉降進(jìn)行預(yù)測(cè), 并與工程中常用的多項(xiàng)式回歸分析模型進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 卡爾曼濾波沉降預(yù)測(cè)模型

1.1 觀測(cè)系統(tǒng)的離散化模型

(1)

可用下面的連續(xù)性方程來(lái)表示:

(2)

此方程為常系數(shù)線性微分方程, 其解等于相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程特解的和。求解過(guò)程已在文獻(xiàn)[5]中詳細(xì)描述， 此連續(xù)線性微分方程的解為

(3)

將上式進(jìn)行離散化

(4)

若用下標(biāo)k+1和k分別表示tk+1和tk, 對(duì)式(4)進(jìn)行求解, 并設(shè)

(5)

即可得觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

(6)

其中: Δt=tk+1-tk為觀測(cè)間隔。由于相鄰兩次觀測(cè)時(shí)間間隔相同, 取Δt=1。同時(shí)考慮到觀測(cè)方程為

(7)

上述觀測(cè)系統(tǒng)的離散化模型可以表示為

xk+1=Axk+Γwk,

(8)

yk=Bxk+vk,

(9)

其中:xk是系統(tǒng)狀態(tài)向量;yk是觀測(cè)向量;wk是系統(tǒng)噪聲;vk是觀測(cè)噪聲;A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;B為觀測(cè)矩陣;Γ為系統(tǒng)噪聲的系數(shù)矩陣。

1.2 卡爾曼濾波過(guò)程

1.2.1 基本卡爾曼濾波模型 卡爾曼濾波模型可以利用觀測(cè)信息實(shí)時(shí)、 快速地估計(jì)隨時(shí)間不斷變化的狀態(tài)向量, 并對(duì)未來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)向量進(jìn)行預(yù)測(cè)。實(shí)現(xiàn)過(guò)程為[7-8]

① 根據(jù)上一時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì), 預(yù)測(cè)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài):

x(k|k-1)=A·x(k-1|k-1);

(10)

② 計(jì)算第① 步中當(dāng)前時(shí)刻預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差

P(k|k-1)=A·P(k-1|k-1)·AT+ΓQΓT,

(11)

其中:P為預(yù)測(cè)結(jié)果偏差的方差陣,P(k-1|k-1)表示上一時(shí)刻的預(yù)測(cè)偏差;

③ 計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的卡爾曼增益

Kg(k)=P(k|k-1)·BT(B·P(k|k-1)·

BT+R)-1;

(12)

④ 修正第①步的預(yù)測(cè), 獲得當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果

x(k|k)=x(k|k-1)+Kg(k)·[y(k)-

Bx(k|k-1)];

(13)

⑤ 計(jì)算相應(yīng)于第④步當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)估計(jì)結(jié)果的偏差

P(k|k)=[I-B·Kg(k)]·P(k|k-1)。

(14)

因此, 只要給定初始值x(0|0)和初始估計(jì)結(jié)果偏差P(0|0), 利用觀測(cè)值y1,y2, …,yk便可由上述的遞推方程得到k時(shí)刻狀態(tài)向量的最優(yōu)濾波值x(k|k)。

1.2.2 卡爾曼濾波預(yù)測(cè)模型 基本的卡爾曼濾波方程實(shí)現(xiàn)了對(duì)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì), 如果為了實(shí)現(xiàn)一步預(yù)測(cè), 應(yīng)采用卡爾曼濾波的一步預(yù)測(cè)方程對(duì)歷史建筑的沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)[9]:

x(k+1|k)=A(k)x(k|k-1)+Kg*(k)·

[y(k)-Bx(k|k-1)],

(15)

其中, 預(yù)測(cè)模型的卡爾曼增益Kg*(k)和預(yù)測(cè)結(jié)果偏差P(k+1|k)分別為

Kg*(k)=A·P(k|k-1)·BT·[A·P(k|k-1)·

AT+R]-1,

(16)

P(k+1|k)=[A-B·Kg*(k)]·P(k|k-1)·

BT+ΓQΓT。

(17)

利用上述方程得到k+1時(shí)刻的最優(yōu)預(yù)測(cè)值x(k+1|k), 實(shí)現(xiàn)對(duì)沉降的一步預(yù)測(cè)。當(dāng)?shù)鷑次時(shí), 即可完成n步預(yù)測(cè)。

2 工程實(shí)例及沉降預(yù)測(cè)

由于臨近地鐵的施工對(duì)土體造成較大擾動(dòng), 影響了上海市黃浦區(qū)某歷史建筑原有地基和基礎(chǔ)的狀態(tài), 需要對(duì)其進(jìn)行基礎(chǔ)托換施工。該歷史建筑于1934年竣工, 上部結(jié)構(gòu)為現(xiàn)澆鋼筋混凝土結(jié)構(gòu), 基礎(chǔ)為雙向鋼筋混凝土條形基礎(chǔ), 平面形式近似矩形。為了防止該歷史建筑在基礎(chǔ)托換期間因不均勻沉降引發(fā)嚴(yán)重破壞, 對(duì)其進(jìn)行靜力水準(zhǔn)系統(tǒng)自動(dòng)化連續(xù)沉降監(jiān)測(cè)。觀測(cè)點(diǎn)均勻布置在該歷史建筑四周的柱基上, 共布置19個(gè)觀測(cè)點(diǎn), 如圖1所示, 其中S13為基準(zhǔn)點(diǎn)。由于S01測(cè)點(diǎn)距離基準(zhǔn)點(diǎn)最遠(yuǎn), 且由各測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可知, 該測(cè)點(diǎn)的不均勻沉降最大， 因此本文對(duì)S01測(cè)點(diǎn)15期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。首先建立卡爾曼濾波的動(dòng)態(tài)觀測(cè)模型, 運(yùn)用該模型對(duì)前10期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波, 然后分別用卡爾曼濾波模型、 基于卡爾曼濾波的多項(xiàng)式回歸分析模型和傳統(tǒng)多項(xiàng)式回歸分析模型對(duì)后5期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)比分析。

圖1 測(cè)點(diǎn)布置圖

2.1 卡爾曼濾波模型

殘差是實(shí)際觀測(cè)值減去估計(jì)值(擬合值)所得之差, 它反映了估計(jì)值的準(zhǔn)確程度[11]。結(jié)合卡爾曼濾波的遞推公式和上述的初始狀態(tài)。對(duì)比實(shí)際觀測(cè)值和卡爾曼濾波值, 并進(jìn)行殘差分析, 得到S01測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)前10期的濾波結(jié)果, 見(jiàn)圖2。 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)由第2期開(kāi)始收斂, 協(xié)方差逐漸趨向于0?？柭鼮V波的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)相差不大, 殘差的絕對(duì)值最大不超過(guò)0.3 mm, 說(shuō)明初始狀態(tài)的選取比較合理。濾波后的曲線更加平滑, 能夠更好地反映歷史建筑的沉降趨勢(shì)。

圖2 卡爾曼濾波結(jié)果(a)和濾波協(xié)方差(b)

2.2 沉降預(yù)測(cè)及對(duì)比分析

在沉降預(yù)測(cè)過(guò)程中, 根據(jù)前10期原始觀測(cè)數(shù)據(jù), 將觀測(cè)時(shí)間作為自變量, 不均勻沉降作為因變量, 建立傳統(tǒng)的多項(xiàng)式回歸分析模型, 并運(yùn)用該模型預(yù)測(cè)后5期的不均勻沉降; 基于前10期的卡爾曼濾波數(shù)據(jù), 用多項(xiàng)式回歸模型建模, 然后利用該模型得到后5期的預(yù)測(cè)結(jié)果; 根據(jù)前10期的濾波結(jié)果, 用卡爾曼濾波模型對(duì)后5期的不均勻沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)。將3種方法所得的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比, 并進(jìn)行殘差分析, 其結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

3種方法所得到的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值殘差的絕對(duì)值均小于2 mm, 說(shuō)明這幾種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際觀測(cè)值較為吻合, 都適用于歷史建筑不均勻沉降的預(yù)測(cè), 但是卡爾曼濾波預(yù)測(cè)值的中誤差只有0.174 mm, 預(yù)測(cè)精度最高。相比之下, 傳統(tǒng)多項(xiàng)式回歸分析模型的預(yù)測(cè)誤差較大, 其預(yù)測(cè)值的中誤差為1.122 mm, 明顯大于另外兩種方法。同時(shí), 基于卡爾曼濾波值的多項(xiàng)式回歸模型由于剔除了建模數(shù)據(jù)中的部分隨機(jī)干擾, 其預(yù)測(cè)精度與傳統(tǒng)的多項(xiàng)式回歸模型相比有所提高, 但是沒(méi)有達(dá)到卡爾曼濾波模型的預(yù)測(cè)精度。

根據(jù)以上分析, 卡爾曼濾波模型相比于多項(xiàng)式回歸模型, 能夠更好地預(yù)測(cè)歷史建筑的不均勻沉降。在預(yù)測(cè)過(guò)程中, 多項(xiàng)式回歸模型每一次預(yù)測(cè)更新都需要將前幾期的數(shù)據(jù)重新整合建模。相比之下, 卡爾曼濾波模型不需要儲(chǔ)存大量數(shù)據(jù), 只需要新一期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)即可進(jìn)行預(yù)測(cè), 大大節(jié)省了時(shí)間和成本, 因此卡爾曼濾波模型更適合于實(shí)際工程。

3 結(jié)束語(yǔ)

(1)與傳統(tǒng)的多項(xiàng)式回歸模型相比, 卡爾曼濾波模型能夠更好地預(yù)測(cè)歷史建筑的不均勻沉降。它可以實(shí)時(shí)、 快速地處理大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù), 提高了預(yù)測(cè)效率, 有效運(yùn)用于實(shí)際工程。

(2)基于卡爾曼濾波的多項(xiàng)式回歸模型可以對(duì)初始的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正, 剔除數(shù)據(jù)中部分隨機(jī)擾動(dòng)的影響, 一定程度上提高了多項(xiàng)式回歸模型的預(yù)測(cè)精度。

(3)在實(shí)際應(yīng)用中, 需要考慮卡爾曼濾波的收斂速度，且濾波初值的選取對(duì)濾波效果的影響較大, 其預(yù)測(cè)值可能帶有模型誤差, 需要進(jìn)一步研究。