麥克斯韋-玻爾茲曼分布在易辛模型中的應(yīng)用

應(yīng) 濤，裴延波，王曉鷗，張 宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在統(tǒng)計物理的教學(xué)中，麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計是一個重點內(nèi)容. 但這部分的內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)的時候往往是一知半解，需要有更多實例來給學(xué)生講解，特別是聯(lián)系到我們現(xiàn)實生活的關(guān)于麥克斯韋-玻爾茲曼應(yīng)用的實例.

我們生活在一個豐富多彩的世界里，身邊的萬事萬物各有各的特點，比如水是柔軟流動的，石頭是堅硬的等等.但是從微觀的角度來看，這些各式各樣的宏觀物體都是由大量的微觀粒子構(gòu)成的，這些微觀粒子的無規(guī)則熱運(yùn)動導(dǎo)致了宏觀物體的不同特性.也就是說，為了了解宏觀物體特性出現(xiàn)的原因，我們需要從這個宏觀物體的微觀構(gòu)成來進(jìn)行研究.對單個的微觀粒子來說，它的個體行為是無規(guī)律的，難以捉摸的.但是大量的微觀粒子一起則會遵循統(tǒng)計規(guī)律，而這個統(tǒng)計規(guī)律在宏觀上就表現(xiàn)出實際物體的特征[1-4].

1 統(tǒng)計物理中的麥克斯韋-玻爾茲曼分布

在平衡態(tài)統(tǒng)計物理中，我們通常考慮處于某一個環(huán)境中的平衡系統(tǒng)，該系統(tǒng)的能量并不是精確固定的，因為它是在不斷的和外界環(huán)境進(jìn)行能量的交換，因此這個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也不是固定的.根據(jù)等概率假設(shè)，系統(tǒng)有一定的概率處于任意的一個微觀狀態(tài)|n〉，而該概率就是歸一化后的玻爾茲曼分布

(1)

我們在實際中觀測到的宏觀物理量都是對應(yīng)微觀量的統(tǒng)計平均值，但是進(jìn)行這些統(tǒng)計平均時需要考慮到系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的玻爾茲曼概率，也就是進(jìn)行加權(quán)平均.對某個觀測量A(比如系統(tǒng)能量)而言，我們觀察到的統(tǒng)計平均值可以表達(dá)為

(2)

其中An表示觀測量A處于狀態(tài)|n〉時的值.根據(jù)公式(2)，系統(tǒng)的平均能量可以表示為

(3)

2 麥克斯韋-玻爾茲曼分布計算統(tǒng)計平均值的困難

上述理論基于麥克斯韋-玻爾茲曼分布給出了計算宏觀觀測量即統(tǒng)計平均值的方法.但對一個實際的物理系統(tǒng)而言，其微觀結(jié)構(gòu)是非常復(fù)雜的，為了進(jìn)行理論研究，人們通常通過建立模型來簡化真實的系統(tǒng).即便如此，可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)目也是非常多的，而且通常其中很大一部分的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率非常小.如果通過以上公式進(jìn)行直接計算，其效率會非常低，即使使用超級計算機(jī)也需要消耗大量的時間.我們不妨從一個磁性材料來看，由于電子的自旋指向只有兩種，自旋向上和自旋向下，我們可以建立一個簡單的晶格模型——易辛模型來進(jìn)行研究，該模型認(rèn)為每個晶格格點會被一個電子占據(jù)，每個電子的狀態(tài)可能會是自旋向上和向下，在數(shù)學(xué)上可以用+1和-1來表示.我們可以想象該模型是極度簡化后的系統(tǒng)，實際物理系統(tǒng)要遠(yuǎn)比該模型描述的系統(tǒng)復(fù)雜.盡管如此，我們也會發(fā)現(xiàn)該模型很難進(jìn)行直接計算：假設(shè)系統(tǒng)有N個電子，每個電子的狀態(tài)(即自旋)用Si來表示，則Si可以取值+1或-1.那么，系統(tǒng)可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)為2N個.對于一個真實的物理系統(tǒng)，N通常是一個很大的值(通常是和阿伏加德羅常數(shù)6×1023一個量級)，對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)2N則是一個天文數(shù)字.也就是說，系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)隨系統(tǒng)的自由度是一個指數(shù)增長的關(guān)系，人們無法在任何計算機(jī)上演化所有這些可能的狀態(tài)，更無法精確地數(shù)值計算系統(tǒng)的統(tǒng)計平均值[8].

3 按概率分布近似求解易辛模型

(4)

如果我們定義平均每個自旋的磁化率

(5)

上述情況我們考慮了自由電子的情況，但在實際物質(zhì)中，電子間是存在相互作用的，為了簡化問題，我們只考慮相鄰近的自旋間存在相互作用的情形.此時系統(tǒng)的能量可以用下式來表達(dá)，也就是易辛模型的哈密頓量

(6)

圖1 以兩個電子的自旋指向為例，演示系統(tǒng)狀態(tài)的演化過程：初始時刻兩個格點上電子自旋分別為向上和向下.(a) 嘗試翻轉(zhuǎn)自旋1但該翻轉(zhuǎn)被拒絕，則系統(tǒng)的新狀態(tài)|n>和之前的狀態(tài)|l>一致；(b) 嘗試翻轉(zhuǎn)自旋1并接受該反轉(zhuǎn)，系統(tǒng)狀態(tài)由|l>轉(zhuǎn)變?yōu)閨n>，即兩個自旋均向下

通過上面的狀態(tài)演化過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，對任意一個初始的系統(tǒng)狀態(tài)，它向更高概率狀態(tài)演化的可能性要大于向更低概率狀態(tài)演化的可能性.也就是說，即使初始狀態(tài)的玻爾茲曼概率非常小，它也會逐漸向高概率狀態(tài)進(jìn)行演化，并且不會再回到小概率的狀態(tài)，而是在一些高概率的狀態(tài)間進(jìn)行演化.而且我們知道這些高概率狀態(tài)的數(shù)目是非常少的，從而能夠用計算機(jī)實現(xiàn)這些狀態(tài)間的演化，計算這些高概率狀態(tài)的玻爾茲曼概率并計算統(tǒng)計平均值.在有限長的演化過程中，可以近似得到系統(tǒng)宏觀統(tǒng)計平均值的近似值：

(7)

其中Mm是觀測的次數(shù).對比式(2)可以發(fā)現(xiàn)，這里計算A的統(tǒng)計平均值只是一個簡單的平均，沒有進(jìn)行加權(quán).這是因為每個狀態(tài)出現(xiàn)的權(quán)重已經(jīng)在微觀狀態(tài)的演化過程中體現(xiàn)出來了.這種方法可以在無窮多的可能微觀狀態(tài)中找到概率較大的微觀態(tài)，而忽略概率很小的微觀態(tài)(這樣的態(tài)往往占絕大多數(shù))，從而使得求統(tǒng)計平均值變得簡單.當(dāng)然這種方法忽略了小概率的狀態(tài)，會帶來一定的統(tǒng)計誤差.但根據(jù)大數(shù)法則和中心極限定理，當(dāng)觀測次數(shù)Mm較大時，該近似的效果和精確值達(dá)到一致，統(tǒng)計誤差可以忽略.

4 在易辛模型中的計算結(jié)果

使用這種方法，我們計算了二維正方晶格中易辛模型的平均每自旋的基態(tài)能量和平均每自旋的磁化率隨溫度的變化關(guān)系，分別如圖2和圖3所示.在該計算中，我們選取相互作用強(qiáng)度J=1，即系統(tǒng)具有鐵磁性，并且設(shè)置玻爾茲曼常數(shù)k=1.
圖2和圖3的橫坐標(biāo)都是溫度T，我們選取離散的T的值進(jìn)行計算，T的選取范圍從0到3，步長選取為0.02，由于該步長選取的足夠小，所以圖2和圖3中給出的不是離散的點，而是連續(xù)的曲線.由于該計算是在有限大小的晶格上進(jìn)行的，不同大小的晶格上的計算結(jié)果會有所不同，即會出現(xiàn)有限尺度效應(yīng).通常情況下，晶格越小，有限尺度效應(yīng)越明顯，而當(dāng)晶格足夠大的時候，有限尺度效應(yīng)可忽略，即所得計算結(jié)果接近于熱力學(xué)極限下的值.對所有的T的值，我們首先選取正方晶格大小為100×100，即N=10000個格點.那么對每一組參數(shù)設(shè)置(如N=10000，T=0.1，J=1和k=1)，我們可以從任意一個系統(tǒng)狀態(tài)(即10000個格點上自旋的任意分布)出發(fā)，通過玻爾茲曼概率來進(jìn)行系統(tǒng)新舊狀態(tài)的演化，最終使得系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)，然后在系統(tǒng)動態(tài)平衡下進(jìn)行大量的測量并求統(tǒng)計平均值，即可得到感興趣的物理量如能量E和每自旋的磁化率m等.對部分的T的值，我們還進(jìn)行了N=120×120的計算得到的結(jié)果與N=100×100的結(jié)果幾乎沒有差別，說明所選的系統(tǒng)尺寸已經(jīng)足夠大，有限尺度效應(yīng)可忽略.

圖2 二維易辛模型中 每自旋的能量隨 溫度的變化曲線

圖3 二維易辛模型中 每自旋的磁化率m 隨溫度的變化曲線

從圖3中我們可以看到，m隨T的變化曲線有兩條，即隨著T的降低，一條趨向于m=1，一條趨向于m=-1.在具體的計算中，m出現(xiàn)正值或者負(fù)值與初始狀態(tài)的選擇有關(guān).這二者是完全等價的，前者對應(yīng)著最終所有的自旋都是向上的，后者對應(yīng)著最終所有的自旋都是向下的，它們都表示系統(tǒng)最終趨于鐵磁態(tài)，而且溫度越低，鐵磁性越明顯.該結(jié)果說明系統(tǒng)的鐵磁性隨溫度的降低越來越強(qiáng)，并且有一個轉(zhuǎn)變的溫度Tc≈2.27，當(dāng)溫度高于該轉(zhuǎn)變溫度時，系統(tǒng)鐵磁性完全消失.

5 結(jié)論

綜上所述，我們討論了麥克斯韋-玻爾茲曼方法在統(tǒng)計物理中的應(yīng)用，并以易辛模型為例進(jìn)行了求解，研究了易辛模型中出現(xiàn)不同微觀態(tài)的概率，進(jìn)而計算了該模型的基態(tài)能量和磁化率.我們首先考慮系統(tǒng)所有的粒子間無相互作用的情況，此時系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)都具有相同的能量，微觀態(tài)的數(shù)目是隨著平均每個自旋的磁化率m的增大迅速減少的，說明系統(tǒng)最可能出現(xiàn)的狀態(tài)是對應(yīng)著m=0的.由此可見，在系統(tǒng)所有可能的2N個微觀狀態(tài)中，大多數(shù)狀態(tài)對應(yīng)的概率很小甚至可以忽略不記，所以可以只考慮少數(shù)玻爾茲曼概率較大的狀態(tài)即可.當(dāng)考慮粒子間相互作用時，由不同微觀狀態(tài)的玻爾茲曼概率之比可以進(jìn)行系統(tǒng)微觀狀態(tài)間的演化，只抽樣出現(xiàn)概率大的微觀態(tài)而忽略概率很小的微觀態(tài)，從而得到宏觀觀測量的近似值，并且該近似值隨著觀測的次數(shù)增加而趨于精確值.這說明麥克斯韋-玻爾茲曼方法并不僅僅告訴我們系統(tǒng)某個微觀狀態(tài)的玻爾茲曼概率，而且可以極大的簡化統(tǒng)計觀測量的求解.該思想并不局限于求解本文中舉例的易辛模型，我們可以將該方法推廣到更復(fù)雜的模型來求解更多復(fù)雜的宏觀觀測量如壓縮率和結(jié)構(gòu)因子等，說明麥克斯韋-玻爾茲曼方法在統(tǒng)計物理模型中具有廣闊的研究前景.