構(gòu)造法在抽象函數(shù)問題中的應(yīng)用研究

劉建軍

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

抽象函數(shù)盡管教材上沒有提及，但是教輔資料上、高考試卷中出現(xiàn)了不少的關(guān)于抽象函數(shù)的題目.由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以很受命題專家的青睞.盡管學(xué)生預(yù)學(xué)了，老師們也深入淺出地講解了，但學(xué)生作業(yè)和測試時依然感覺困難，甚至無從下手.于是，我對此問題進(jìn)行了深入思考和研究.事實(shí)上，解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題，主要是依據(jù)題設(shè)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造，在此過程中，需要學(xué)生把握抽象函數(shù)的本質(zhì)，并合理應(yīng)用.下面我們一起來感悟構(gòu)造法的魅力，體會抽象函數(shù)的“神秘莫測”.

一、抽象函數(shù)的概念

我們把沒有給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù).一般形式為y=f(x)，有的還附有定義域、值域等，如：y=f(x),(x>0,y>0).

二、抽象函數(shù)的常見形式

2.正比例函數(shù)型:f(x+y)=f(x)+f(y)；f(x-y)=f(x)-f(y).

5.周期函數(shù)型:f(x+T)=f(x)(T≠0).

三、構(gòu)造法在抽象函數(shù)中的應(yīng)用

1.構(gòu)造方程

例1 定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2．求f(0)的值.

分析f(0)雖然是一個常數(shù)，但需要確定其具體值，因此我們可以將其看成一個未知數(shù)，依托題設(shè)“f(x+y)=f(x)f(y)”建立關(guān)于“f(0)”的方程.一個未知數(shù)只需一個方程，于是解法就確定了，令x=y=0即可求解.

解令x=y=0得，f(0+0)=f(0)f(0).

移項(xiàng)整理得，f(0)[1-f(0)]=0.解得，f(0)=0或f(0)=1.

下證f(0)≠0：

令y=0得，f(x)=f(x)f(0).若f(0)=0，則f(x)=0.此與f(1)=2矛盾.

所以f(0)=1.

評析本問題中應(yīng)注意增根的甄別.學(xué)生可以從一次方程最多有一個根入手，但學(xué)生一般不具有這個理論高度.我們老師通常是在指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)“f(x+y)=f(x)f(y)”引導(dǎo)下注意到的.排除的過程也帶有一定的經(jīng)驗(yàn)主義，因此抽象函數(shù)教學(xué)應(yīng)該遵循螺旋上升的原則.

2.構(gòu)造特殊值

例2定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)．求證：對任意x∈R，都有f(x)>0.

分析“當(dāng)x>0時，f(x)>1”這個條件比結(jié)論范圍更高，只能作為輔助條件使用，條件“f(x+y)=f(x)f(y)”的右端出現(xiàn)了乘積式，為構(gòu)造平方式提供了機(jī)會，因此同一變量即可.進(jìn)一步處理關(guān)鍵問題，排除平方式不為零，這需要精準(zhǔn)構(gòu)造.

下面證明f(x)≠0：

假設(shè)存在x0∈R，使得f(x0)=0，則對任意x>0，有f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)f(x0)=0.這與已知當(dāng)x>0時，f(x)>1矛盾.所以不存在f(x0)=0的情形.所以對任意x∈R，都有f(x)>0.

評析本問題難點(diǎn)是構(gòu)造x0，并排除f(x0)=0，這需要深刻理解題設(shè)中的兩個抽象等式，并合理運(yùn)用.同時，構(gòu)造不等式與排除特殊值要同時兼顧，否則都會陷入僵局.

3.構(gòu)造單調(diào)性的定義式

例3定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2．解不等式f(3-2x)>4．

分析此不等式是由抽象函數(shù)構(gòu)造出來的，必須利用函數(shù)的單調(diào)性解答.為此，要做兩個準(zhǔn)備.一是將右端的4等價變形為f(x0)，這里的x0待定；二是證明本函數(shù)的單調(diào)性，這里務(wù)必緊扣單調(diào)性的定義.

解任取兩個實(shí)數(shù)x1，x2，且x10.由已知得，有f(x2-x1)>1．

于是f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1).所以f(x)在R上遞增.

等價拆分x2.

評析本問題中對于初學(xué)者來說，不容易想到，必須深刻領(lǐng)會已知的“f(x+y)=f(x)f(y)”，構(gòu)造出這種結(jié)構(gòu)并恰當(dāng)放縮才能得到定義所需要的f(x1)，f(x2)的大小.

分析一般地，判斷函數(shù)的單調(diào)性的方式是知道某區(qū)間內(nèi)兩變量x1，x2的大小的情況下，依據(jù)f(x1)，f(x2)的大小，由定義判斷而得.本題由于函數(shù)關(guān)系不明確，所以無法通過常規(guī)的方式解答，只能挖掘抽象關(guān)系，借助定義判斷.

解f(x)在(0，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．

下面證明之.

所以f(x2)

評析本問題中任取兩正實(shí)數(shù)對于學(xué)生來說，很難想到，必須深刻領(lǐng)會已知的“當(dāng)x>1時，f(x)<0”，并恰當(dāng)構(gòu)造“x>1”才能得到定義所需要的f(x1)，f(x2)的大小.

4.構(gòu)造奇偶性的定義式

例5 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+1，求證：f(x)+1為奇函數(shù)．

分析本問題首先需要學(xué)生理清要證什么，其次才是怎么證明.將f(x)+1看作一個整體h(x),即h(x)=f(x)+1.要證h(-x)=-h(x)，即證f(x)+1=-[f(-x)+1].解題過程就朝著這個目標(biāo)前進(jìn).

證明令x=y=0，則f(0+0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1.

令y=-x，則f(0)=f(x)+f(-x)+1，即-1=f(x)+f(-x)+1，所以f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1].所以f(x)+1為奇函數(shù)．

評析抽象函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是探究f(x)與f(-x)的關(guān)系．往往需要通過賦值法掃除障礙，構(gòu)造出所需關(guān)系式.分析法在解題中有重要作用.否則極易出現(xiàn)思路混亂，邏輯不清.

5.構(gòu)造周期性的定義式

解因?yàn)閒(x+6)=f((x+3)+3)

(1)

(2)

所以f(x)的周期T=6.

因?yàn)楫?dāng)1≤x≤3時，f(x)=x，所以f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)

評析構(gòu)造(1)式有一定的前瞻性.為了讓抽象關(guān)系式中的負(fù)號消失，我們務(wù)必利用兩次這個抽象關(guān)系式，可以理解為“負(fù)負(fù)得正”，進(jìn)而構(gòu)造出周期關(guān)系式.f(4)，f(5)，f(6)的計(jì)算也需要構(gòu)造已知的抽象關(guān)系式.

6.構(gòu)造中心對稱

A.0 B.mC.2mD.4m

解由f(-x)=2-f(x)得f(x)-1=-[f(-x)-1]，于是函數(shù)h(x)=f(x)-1是奇函數(shù).而f(x)=h(x)+1的圖象是由h(x)的圖明向上平移1個單位而得.

所以f(x)關(guān)于(0，1)對稱.

因此對于每一組對稱點(diǎn)xi+xi′=0，yi+yi′=2，

故選B．

評析本題構(gòu)造對稱中心是關(guān)鍵，一個是已知函數(shù)，一個是抽象函數(shù)，依托已知函數(shù)去論證抽象函數(shù)，思路上是先猜后證.符合數(shù)學(xué)的研究規(guī)律.對學(xué)生的思維要求較高，不愧為是當(dāng)年(2016)的高考把關(guān)小題.

7.構(gòu)造軸對稱

例8 已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x)，若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則所有橫坐標(biāo)和為( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

分析本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對稱性質(zhì)．根據(jù)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x)，分析函數(shù)的軸對稱性，可得函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，進(jìn)而得到答案．

評析y=|x2-2x-3|的對稱性受翻折變換的掩飾，部分學(xué)生會“受騙”，不能很好地運(yùn)用對稱性化簡問題.m的奇偶性對問題也有一定的干擾，使得f(x)=f(2-x)導(dǎo)出的對稱軸難以發(fā)揮作用.

四、教學(xué)反思

抽象函數(shù)問題本身比較復(fù)雜，我們在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)研究，研究學(xué)情，研究教法.本著螺旋上升的教育理念，我們可以在必修一第二章結(jié)束后安排這個內(nèi)容.學(xué)生學(xué)完冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后，再學(xué)抽象函數(shù)，有助于學(xué)生對此概念理解，建議不在《函數(shù)及其表示》一節(jié)開展這方面教學(xué).單元整體設(shè)計(jì)是突破這個難點(diǎn)的一種好辦法，第二章的體例是先介紹函數(shù)的概念、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖象等函數(shù)通性，再通過三個重要初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)加深對理論的理解，再從特殊到一般，研究抽象函數(shù)，教學(xué)效果應(yīng)該不錯.在這過程中，我們要注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的滲透，如方程思想，消元法等.