分類討論思想在數(shù)學解題中的運用

陳艷陽

(江蘇省南通市北城中學 226000)

一、利用分類討論思想解決函數(shù)方程問題

方程問題是學生初中階段必須掌握的一個數(shù)學知識點，但是由于學生的認知水平不足，數(shù)學知識儲備量有限，在學習較為抽象的數(shù)學函數(shù)問題時，總是感到難以下手.當出現(xiàn)這種情況時，教師需要耐心引導學生，指導學生正確運用分類討論思想解決相應的方程問題，提高學生的數(shù)學解題效率.

例1現(xiàn)已知一個方程式子(a-3)x|a-1|+x2-3=0，a滿足什么條件的情況下，上述式子為一元二次方程？

解析從題目給出的信息可以得出，當x的指數(shù)小于等于2，且是自然數(shù)即可滿足要求，即|a-1|≤2.學生在解決上述問題時，容易犯的錯是，認為只有當指數(shù)為1時，才能滿足題目要求，導致答案不完整.而引入分類討論思想方法能夠有效避免學生的這一錯誤，教師指導學生將所有的可能列出來，避免答案遺漏現(xiàn)象.當|a-1|=2，時，a=3或者a=-1，將a代入一元二次方程，可得到式子x2-3=0，或者3x2+3=0.當|a-1|=1時，解得a=2或者a=0，得到一元二次方程式為x2-x-3=0，或者x2-3x-3=0.而當|a-1|=0時，解得a的值為1，此時的一元二次方程式子為x2-5=0.通過上述解析，不難發(fā)現(xiàn)將分類討論思想方法運用到數(shù)學解題中，有效避免答案遺漏的現(xiàn)象，學生的解題準確率有所提升.

二、利用分類討論思想解決三角幾何問題

三角形問題也是學生在解決數(shù)學問題中經(jīng)常遇到題型，因為幾何知識的抽象性和邏輯性，學生在解決這類問題時存在一定的難度.而且因為學生的空間想象力不足，難以準確理解此類問題的具體意思，解題思路自然存在偏差.因此，教師在教學時，需要有意識、有目的地培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，鍛煉學生的空間想象力.將分類討論思想方法運用到幾何問題解決中，有效幫助學生解決數(shù)學問題，提高學生的數(shù)學解題技能，確保學生的數(shù)學解題效率，增強學生的解題信心.

例2如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設(shè)兩條線段上存在一點P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？

圖1

解析學生在求解上述數(shù)幾何問題時，因為缺乏較強的想象力，在解決問題上存在一定的難度，如果學生繼續(xù)運用傳統(tǒng)的解題方法，可能會導致答案錯誤.因此，教師需要指導學生正確解決上述問題，首先，教師需要幫助學生回憶有關(guān)等腰三角形的定義和相關(guān)知識，然后指導學生利用課堂所學知識進行求解，正確運用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現(xiàn)在需要進行分類.首先，假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點P2和P1，此時滿足要求，即△PAB為等腰三角形.繼續(xù)假設(shè)，當線段AB為等腰三角形的腰時，又需要進行分類.首先假設(shè)當∠A為頂角時，教師引導學生利用課堂中與等腰三角形的定義知識，指導學生作圖.以點A為圓心，線段AB為半徑畫一個圓，和直線l1和l2相交于點P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求.當∠B為頂角時，同理，以點B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點P7、P8、P9和P10，滿足數(shù)學題目要求，△PAB為等腰三角形.由此可見，學生在解決初中數(shù)學三角問題時，應當正確指導學生利用分類討論思想解決數(shù)學問題，提高學生的數(shù)學解題效率，確保初中數(shù)學課堂教學質(zhì)量.

三、利用分類討論思想解決圓的相關(guān)問題

幾何數(shù)學知識是學生學習數(shù)學知識的重中之重，學生的邏輯思維不足，難以準確掌握數(shù)學幾何知識.因此，教師需要正確引導學生.初中的幾何知識包括三角形、圓形等幾何圖形，學生在解決這類問題時，因為對幾何知識的理解不透徹，無法準確抓住題目的關(guān)鍵，從題意本身出發(fā)，導致答案錯誤.所以，教師需要指導學生動手作圖，通過自主探索獲得數(shù)學新知識，既鍛煉學生的動手能力，又確保數(shù)學課堂的教學質(zhì)量.

例3已知兩個圓O1和O2的半徑分別為10和17，兩個圓存在兩個交點A和B，線段AB的長為16，求圓心距O1O2和∠O1AO2？

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學解題中運用較為廣泛，教師需要合理準確地引導學生利用分類討論思想，仔細審題，根據(jù)題目所給的信息，具體分析數(shù)學題目，確保答案的準確性，提高學生的解題技能，發(fā)展學生的數(shù)學思維.