數(shù)學(xué)猜想助解中考數(shù)學(xué)題的教學(xué)案例分析與思考

毛成卿

(浙江省余姚市馬渚鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 315450)

寧波市近幾來的中考數(shù)學(xué)題呈現(xiàn)出大題的題目結(jié)構(gòu)和知識(shí)點(diǎn)有全面覆蓋的特點(diǎn)，尤其是對(duì)于一些壓軸問題的分析，有助于幫助數(shù)學(xué)教師利用猜想的方式，找到應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)解題困惑的思路，一線數(shù)學(xué)教師需要時(shí)刻緊跟考試的思路變化和其步伐，從而能夠在更為簡(jiǎn)潔的表述語境之下，以更加有針對(duì)性的教學(xué)手法指導(dǎo)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)，并能夠使其解題思路更加清晰.

一、猜想與歸納之間的關(guān)系

從題目表述和提示層次方面進(jìn)行猜想，歸納是猜想的延伸部分，歸納和猜想之間的關(guān)系聯(lián)系非常緊密.當(dāng)一個(gè)問題涉及到不同的題目選項(xiàng)時(shí)，有時(shí)可能會(huì)故意給考生設(shè)置迷惑選項(xiàng)，而簡(jiǎn)單地將題目的中心思想提煉出來，從特殊的情形入手反而可以簡(jiǎn)化考生的思路，找到解決問題的根本途徑，這種研究問題的方式是以歸納猜想的方法作為考試題目破解之法的應(yīng)用過程.寧波市近幾年的中考試題在最后出現(xiàn)的大題，也就是壓軸題，往往是一道大題連著三道小題，其語言層次較為簡(jiǎn)潔，邏輯認(rèn)定比較清晰，可以從歸納和猜想的角度入手來進(jìn)行問題的解答；近幾年來的寧波市數(shù)學(xué)中考題都是層層遞進(jìn)的關(guān)系，前面的問題往往是為后面的問題做鋪墊，不能忽略不同題支之間的關(guān)系，后面的問題的設(shè)定和深化，具有一定的難度，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)層面的拓展.因此，可以從前面的鋪墊向后面的能力部分猜想和轉(zhuǎn)化.

以寧波市中考2016年第26題的問題設(shè)置為例：

求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2.當(dāng)OG=4時(shí)，求AG的長(zhǎng)；3.求證：GA平分∠OGE；4.連接BD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

從題目的設(shè)定中猜想發(fā)現(xiàn)，小題目的設(shè)問并不是非常困難，對(duì)于學(xué)生來說基本上可以通過基礎(chǔ)知識(shí)直接解答，后面的題有一定的思維難度，但是并不是很難，對(duì)于學(xué)生來說只要綜合數(shù)學(xué)知識(shí)，就可以通過猜想驗(yàn)證優(yōu)化解題思路，當(dāng)然最后一道題有一定的難度，具有選拔的功能，也是區(qū)分學(xué)優(yōu)生的重要依據(jù)之一.

二、并用類比拓展數(shù)學(xué)猜想

類比的方式與數(shù)學(xué)猜想之間的關(guān)系也是比較緊密的，類比的方式可以通過已知條件對(duì)于思路有一定延展性的，或者比較類似的研究對(duì)象進(jìn)行觀察和比較，當(dāng)然對(duì)于考生來說，中考時(shí)借助舊的知識(shí)與新的知識(shí)之間進(jìn)行類比也是一個(gè)不錯(cuò)的辦法.很多學(xué)生都對(duì)于考試中的題目進(jìn)行研究和猜想，如果其中一個(gè)研究對(duì)象具有類似的性質(zhì)，那么很有可能在判斷其解題思路的時(shí)候，會(huì)考慮把題目和解題方法之間進(jìn)行同類比較，嘗試確定解題思路.在數(shù)學(xué)題的解題過程中，尤其是對(duì)有一定難度的中考試題，類比往往具有引領(lǐng)性的指導(dǎo)作用，發(fā)現(xiàn)題目和知識(shí)點(diǎn)之間的相通之處，可以嘗試確定基本解題思路，或者以特定的定理來沖擊解題的方向.

寧波近幾年的中考題目中數(shù)學(xué)知識(shí)含量十分豐富，題目具中有較強(qiáng)的融合性.例如：2017年寧波市中考的數(shù)學(xué)題有一道新定義題，此題對(duì)特殊的四邊形和圓進(jìn)行了比較完美的考查，數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性展現(xiàn)的比較豐富，非常詳盡的考察了直觀的數(shù)學(xué)邏輯，將不同類型的三角形三個(gè)邊的關(guān)系和三角形與圓的性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)融合進(jìn)方程式，其考查方式是比較新穎的，而且對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)題目閱讀方面的能力能進(jìn)行很好的考查.

學(xué)生只有較好的知識(shí)儲(chǔ)備，結(jié)合數(shù)學(xué)思維，就能將角、邊、圖形與圖像的問題解決，留意外在的題目形式和題目考查內(nèi)核之間的關(guān)系，為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)和知識(shí)運(yùn)用能力，利用類比的方式解決問題，將同類問題放在一起進(jìn)行思考.

三、在構(gòu)筑牢固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維是鍛造一個(gè)人數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)重要的目標(biāo)，猜想屬于數(shù)學(xué)思維的范疇，同時(shí)猜想又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，尤其是在中考題目的設(shè)定中，由于有的題目確實(shí)具有一定的難度，對(duì)于學(xué)生來說，要把控題目的發(fā)展方向，一定要加深對(duì)于特殊性質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)的猜想是基于一定的數(shù)學(xué)事實(shí)基礎(chǔ)的，不能完全空想主義，以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的猜想，結(jié)合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)定理，能夠?qū)㈩惐葰w納的方式滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈感之中.很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)在日常的學(xué)習(xí)時(shí)，如果能夠打好每一步的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在融合與變化的時(shí)候，就可以舉一反三、猜測(cè)新的題目?jī)?nèi)容.利用猜測(cè)辯證法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，可以推進(jìn)數(shù)學(xué)方法論的研究，并且解密數(shù)學(xué)知識(shí)，證實(shí)特殊的數(shù)學(xué)猜想.比如，近幾年來，寧波中考的數(shù)學(xué)題目中雖然有很多不同的變化，但是這些變化往往是建立在基礎(chǔ)之上的，并不會(huì)盲目的變形，題和題之間的性質(zhì)也有一定的趨同性，這對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說是比較有利的，學(xué)生能否真正的利用綜合分析能力進(jìn)行知識(shí)遷移，將成為大部分考生非常重視的問題，所以在平時(shí)，一定要做好對(duì)于數(shù)學(xué)思維發(fā)展的積累，而不是一蹴而就的.

例如：在講《三角形的內(nèi)切圓》這部分的內(nèi)容時(shí)，教師要求圓與四邊形ABCD的各個(gè)邊都相切，切點(diǎn)分別是M，N，G，H，猜想AB+CD與AD+BC有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.這個(gè)題目，將“正方形的性質(zhì)”“圓的性質(zhì)”“內(nèi)切圓的性質(zhì)”等部分的知識(shí)都滲透其中，數(shù)學(xué)教師在平時(shí)應(yīng)該通過大量的講解和同類問題的提醒轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生實(shí)習(xí)知識(shí)的結(jié)構(gòu)更加具有含金量，在參考解答具體問題時(shí)并不是大海撈針，而是有目的有途徑的猜想，這一猜想的過程是符合其知識(shí)結(jié)構(gòu)體系需求的，從而能夠在日常練習(xí)的過程中有目的地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和演練.

四、強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過程中，加入一些實(shí)驗(yàn)的元素

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虺尸F(xiàn)良好的數(shù)學(xué)思維，為了得到某種數(shù)學(xué)結(jié)論，在典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中利用特定實(shí)驗(yàn)條件來進(jìn)行猜想，也是一種比較常用的數(shù)學(xué)試題分析方法.在考試的時(shí)候，雖然不能真正的進(jìn)行復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)，但是采用猜想的方式能夠鼓勵(lì)學(xué)生自主探索.很多學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，并且驗(yàn)證了自己原本的數(shù)學(xué)猜想，在這一過程中不僅能夠找到數(shù)學(xué)考試的規(guī)律性，而且還可以根據(jù)尋找規(guī)律的過程，舉一反三的解決更為復(fù)雜的問題，這種方式是可以通過反復(fù)的正向和反向思維達(dá)到解題目的的方法，在中考中往往能夠解決比較具有難度的考題.

比如：在三個(gè)不一樣的2*2方格選項(xiàng)中，通過實(shí)驗(yàn)畫出三角形的方式，選擇合適的三角形，要求畫出的三角形和圖中的三角形，經(jīng)過軸對(duì)稱之后，所得到的圖形是一致的.這對(duì)于學(xué)生來說，需要一定的空間邏輯思維能力，也可以利用演算紙來測(cè)試三個(gè)不同圖形的對(duì)應(yīng)組合.但是這道題要求所有的陰影部分不能完全重復(fù).

所謂的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，主要是指在實(shí)際操作的時(shí)候，學(xué)生可以通過多次猜想、演練、測(cè)試，在腦海中形成不同的印象.能夠得到最終的結(jié)論，一般是在特定的題目驗(yàn)證過程中找到數(shù)學(xué)題目活動(dòng)思維，并且通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證思路，推翻錯(cuò)誤的選項(xiàng)，找到正確的選項(xiàng).

結(jié)論：數(shù)學(xué)的猜想的運(yùn)用有很多不同的思路，無論是通過歸納、類比還是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的想法，都需要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)舉一反三.在特定的環(huán)境下，利用有規(guī)律性的猜想方式，不僅可以鍛造學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且還可以引導(dǎo)學(xué)生通過考試之后自我反思，參與數(shù)學(xué)實(shí)踐，找到驗(yàn)證和猜想的規(guī)律以及連接新舊知識(shí)的通路.從而能夠使得自身的數(shù)學(xué)思維能夠變得更為靈活，幫助學(xué)生適應(yīng)中考題目的動(dòng)態(tài)化發(fā)展.