中數(shù)不等式的高數(shù)解讀與教學(xué)建議

黃燕紅

(福建省廈門第一中學(xué) 361009)

隨著時代的需要和課程的改革，中學(xué)教材中逐漸出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中一些基礎(chǔ)知識，也滲透著經(jīng)典高等數(shù)學(xué)的思想和方法，以考察學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.關(guān)注近幾年的高考試題，為了實現(xiàn)高考的選拔功能，往往考查一些基于高等數(shù)學(xué)背景的問題，并且這些問題通過轉(zhuǎn)化總能用中學(xué)知識與方法求解.因此在實現(xiàn)對學(xué)生知識傳授的完善外，要如何對中學(xué)數(shù)學(xué)知識進行高觀審視的同時又不忽視雙基的學(xué)習(xí)與鞏固，已經(jīng)成為一線教學(xué)關(guān)注的焦點.

一、中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的常用證明方法

1.用綜合法和分析法證明不等式

綜合法是基于所給的已知條件或者某些定義、定理、公式，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推出題目所要證明的不等式成立.分析法則是從題目給定的結(jié)論入手，進行逆向推導(dǎo)，使得每一步都要是上一步的充要條件，最終達(dá)到題目給出的已知條件.

2.用放縮法證明不等式

在證明過程，對不等式一端進行恰當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小.利用此方法來證明不等式的技巧性很強，主要是尋找中間變量c，使得a

3.反證法證明不等式

反證法在證明不等式問題中也被經(jīng)常使用.當(dāng)用此方法來證明不等式時，第一步，假設(shè)題目中的結(jié)論不成立；第二步，依據(jù)題中所給條件，結(jié)合相關(guān)的概念和性質(zhì)，逐步導(dǎo)出與這些概念、定理、性質(zhì)、已知條件中的任一個都矛盾的結(jié)果，從而肯定原結(jié)論是正確的.

4.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

對于一些包含n(n∈N*)的不等式，驗證n取值時不等式成立，如果假設(shè)不等式n=k(n∈N*)時成立，將n=k+1代入不等式，并運用n=k時所得到的結(jié)論，證明n=k+1時也成立.則可以說明對取得的初始值后面的任一自然數(shù)該不等式都成立.通常情況下，在此種方法中要用到放縮法.

5.導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性證明不等式

當(dāng)x屬于某個區(qū)間，有f′(x)≥0，則f(x)單調(diào)遞增；若f′(x)≤0，則f(x)單調(diào)遞減.這種證明方法技巧性比較低，有一定的套路可循，也是學(xué)生在證明不等式中常用的證明方法.

在中學(xué)數(shù)學(xué)里不等式的應(yīng)用很廣，除了上述介紹的以外，還有構(gòu)造法、借助幾何法、函數(shù)極值法等等，在看到題目時，學(xué)生要根據(jù)所給的條件分析不等式的類型，選取最優(yōu)的方法來證明，這不僅可以提高準(zhǔn)確性也大大的減少了運算時間.

二、高等數(shù)學(xué)中不等式的常用證明方法

用高數(shù)的知識和方法審視中學(xué)不等式，從更高知識層面上解不等式，不僅可以使我們居高臨下地觀察問題，確定解題思路，剖析問題實質(zhì)，尋求簡單方法，還可以提高教師把握教材的能力，開拓師生的思路.

1.利用特殊不等式的結(jié)論證明不等式

(2)伯努利不等式：對-11或r<0，則(1+x)r>1+rx；②若0

一般來說，不等式的證明都要經(jīng)過復(fù)雜的變形、運算，但通過不等式巧妙變形并且引用一些眾所周知的結(jié)論比如上述說的柯西不等式定理或者伯努利不等式定理加以演算，不僅方法新穎，而且簡單明了.

2.利用微分中值定理證明不等式

利用微分中值定理為不等式的證明帶來了許多方便之處.如果不等式經(jīng)過簡單變形后，與任一定理結(jié)構(gòu)相似，就可以在所給區(qū)間上構(gòu)造一個函數(shù)，保證該函數(shù)符合中值定理可實現(xiàn)的前提條件.其中的關(guān)鍵是對ξ點的處理，分析函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)在該點的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

3.泰勒展開式在不等式中的應(yīng)用

泰勒展開式證明不等式雖然步驟比較復(fù)雜，但是準(zhǔn)確率較高.具體做法為在區(qū)間內(nèi)的一些特殊點(端點、中點、零點)展開函數(shù)f(x)，發(fā)現(xiàn)其余項在ξ點具備的性質(zhì)，得到結(jié)論.

4.概率在不等式證明中的運用

在概率論中，所有事件的發(fā)生概率都處于0與1之內(nèi)，則有了不等式的存在.解決這類變量取值在0與1之內(nèi)的不等式，通常要完成一個不等式問題與概率問題的轉(zhuǎn)變，也就是將這些變量當(dāng)相關(guān)事件的概率，應(yīng)用概率相關(guān)知識來解不等式問題.此種做法的主要步驟分析數(shù)學(xué)問題的種類，找到匹配的概率模型，依據(jù)兩者的概念和性質(zhì)來解答.

三、不等式證明在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的差異

例2若a,b∈(0,1)，證明：a+b-ab<1.

證法一因為00，則(a-1)(1-b)<0.即a-ab-a+b<0，即a+b-ab<1.題設(shè)中的a,b∈(0,1)容易引發(fā)聯(lián)想——a,b可以視為事件A，B發(fā)生的概率，進而可借助概率的相關(guān)知識審視欲證不等式，得如下證法：

通過例題可見，在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)下，許多中學(xué)不等式試題的命題設(shè)計往往以高等數(shù)學(xué)的某些內(nèi)容為背景，通過對高等數(shù)學(xué)的一些問題進行改造和轉(zhuǎn)化，使得問題均可以用中學(xué)的方法來解決，立意雖高，但落點低，需要學(xué)生扎實的基礎(chǔ)以及一定的邏輯思維能力.

在中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不等式的解題步驟經(jīng)常顯得繁、難、偏.因為題型多變、解題方式變通性強，加上無固定的規(guī)律可循，因此，解題的關(guān)鍵就落到不等式的基本定義和性質(zhì)上來，只有基礎(chǔ)打的牢，才能達(dá)到活學(xué)活用的效果.事實上，也正是因為不等式證明求解中技巧性高、綜合性強的特點，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來一定的難度，所以課標(biāo)課程對不等式學(xué)習(xí)要求有所降低.

在高等領(lǐng)域，解題方法通常是，運用精確的定義對高中的某些結(jié)論進行證明，這是一個里程碑式的飛躍，而且大學(xué)的證明方法更加簡便快捷，使我們一目了然，不等式證明過程雖然簡潔明了，但技巧性強.在證明過程中能夠更加重視理論推導(dǎo)和抽象思維.因此，在解答題目的時候，應(yīng)重視解題策略的使用.

四、教學(xué)建議——“合理前凸”與“奠定基礎(chǔ)”

“合理前凸”指教師應(yīng)該從中學(xué)教學(xué)大綱和教材出發(fā)，以應(yīng)用廣泛且易于理解的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景，用高等數(shù)學(xué)觀點做必要的拓展，如在知識聯(lián)系面上常規(guī)方法的綜合運用拓展，題型創(chuàng)新程度上的拓展，而非偏離教學(xué)大綱的拓展，不可走形式主義，生搬硬套地將高等數(shù)學(xué)的知識下放，異化成教材的擴充教學(xué).

“奠定基礎(chǔ)”指教師教授新知時對相關(guān)舊知識進行回顧，適時地對中學(xué)數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)地加以思想上的總結(jié)和數(shù)學(xué)方法方面的提煉，使得中學(xué)數(shù)學(xué)中存在的松散狀態(tài)得到改善，幫助學(xué)生改變題海戰(zhàn)術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建屬于自己的解題和學(xué)習(xí)方法.

五、教學(xué)策略應(yīng)用

教師要適時地用較高的觀點來解釋和研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題.同時要注重比較、回顧已學(xué)知識來統(tǒng)一數(shù)學(xué)中比較松散的體系，不要一味追求高觀點而忽視雙基的鞏固.教師可以在講授新課或者平時的習(xí)題講評中把涉及到的高數(shù)背景并聯(lián)系以往的舊知講解給學(xué)生聽，這不僅能為學(xué)生奠定基礎(chǔ)還能提高一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高思維能力.以下通過案例說明“合理前凸”、“奠定基礎(chǔ)”教學(xué)策略的應(yīng)用.

案例1基本不等式

奠定基礎(chǔ)：

案例評說：上述的案例通過情景的引入，幾何畫板的運用，利用幾何直觀讓學(xué)生自主建構(gòu)了公式的形成過程，強調(diào)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.在公式的證明過程中，強化了作差法，深化了數(shù)列的橫向應(yīng)用.這些活動過程都有利于學(xué)生鞏固相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).并且在不背離《課程標(biāo)準(zhǔn)》的前提下，合理的前凸——與高數(shù)中n維空間等內(nèi)容進行了對接，同時也體現(xiàn)了特殊與一般的思想方法，有利于學(xué)生對公式的掌握與應(yīng)用.

案例2柯西不等式

已知x1,x2,x3,…xn∈R，n∈N*求證：

合理前凸(向量的內(nèi)積不等式)：

令a=(1,1,…,1),b=(x1,x2,x3,…xn)，根據(jù)向量數(shù)量積的定義有a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.

案例評說在本案例中，以柯西不等式為橋梁，充分體現(xiàn)了合理前凸，奠定基礎(chǔ)的教學(xué)策略.通過概率中平均值與方差的性質(zhì)和關(guān)系來證明不等式，不僅鞏固了概率相關(guān)知識也促進新知識與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有的知識網(wǎng)絡(luò)的融合.在不影響學(xué)時并在學(xué)生能夠接受的范圍內(nèi)，引入高等數(shù)學(xué)中n維向量內(nèi)積，拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)視野、豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題方法.

總之，合理前凸，奠定基礎(chǔ)的教學(xué)策略，能夠潛移默化地幫助學(xué)生初步認(rèn)識初等和高等知識間密切的關(guān)聯(lián)，進而在恰當(dāng)?shù)臅r候養(yǎng)成用高等知識審視中學(xué)知識的習(xí)慣，在思維方式上，達(dá)成現(xiàn)代與經(jīng)典數(shù)學(xué)之間的相輔相成，能使學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)更加細(xì)節(jié)化，整體化.教師通過梳理中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中相關(guān)聯(lián)的知識，將這二者的思維方法有機結(jié)合，運用在課堂中，不僅能使學(xué)生接受高等知識的同時，鞏固初等知識，也有利于教師提升教學(xué)水平和科研能力.