《用列舉法求概率（樹狀圖）》教學(xué)實錄與評析

張寶丹 劉小紅

用列舉法求概率（樹狀圖）是人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第25章第2節(jié)第3課時內(nèi)容.學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前已經(jīng)了解隨機(jī)事件、概率等概念，知道用列表法求概率.本節(jié)課學(xué)習(xí)用樹狀圖法求概率，教學(xué)伊始從學(xué)生熟悉的情景切入，然后引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，讓學(xué)生掌握用樹狀圖求概率的方法，解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決較復(fù)雜問題的能力.

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：請同學(xué)們觀看小視頻.（播放動畫視頻：小丁和哥哥去上學(xué)，過馬路遇到紅綠燈，能夠做到遵守交通規(guī)則）看完視頻，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：小丁和哥哥看見紅燈就停下，看見綠燈就向前走.

生2：小丁和哥哥遵守交通規(guī)則.

生3：小丁和哥哥上學(xué)要經(jīng)過兩個十字路口，每個路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會相同，求小丁和哥哥上學(xué)時經(jīng)過每個路口都是綠燈的概率.

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)！那么，概率是多少呢？

生：[1/4].

師：你是怎么知道的？

生：用列表法計算.

師：你是怎么想到用列表法計算的呢？

生：當(dāng)一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.

師：說得好！你還想到求概率的其他方法嗎？

生：用樹狀圖法.

師：對。這節(jié)課我們學(xué)習(xí)用樹狀圖法求概率.

【評析】教師播放動畫視頻，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，同時引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理所學(xué)知識，為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ).

二、合作探究，發(fā)現(xiàn)新知

師：請同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案中的“探究一”.

課件演示：小丁上學(xué)要經(jīng)過三個十字路口，每個路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會都相同，求小丁上學(xué)時經(jīng)過每個十字路口都是綠燈的概率，能用列表法解決嗎？如果不能，你還有什么方法？

生分小組進(jìn)行交流.

生：由題目可知，小丁上學(xué)要經(jīng)過三個十字路口，經(jīng)過每個十字路口都會遇到紅燈、綠燈這兩種情況，所以，共有八種情況，而每個十字路口遇到紅燈和綠燈的機(jī)會都相同，由圖1可知，他經(jīng)過每個路口都是綠燈的情況占八種情況當(dāng)中的一種，因此，概率是[1/8].

師：其余同學(xué)有補(bǔ)充嗎？

生：（補(bǔ)充）書寫格式不規(guī)范，首先要寫“解：依題意可知”，最后要寫“共有8種可能的結(jié)果”.

師：這名同學(xué)的建議非常好！解題格式要規(guī)范.這個小組先進(jìn)行分類，然后通過圖形把所有可能的結(jié)果都表示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.仔細(xì)觀察圖形，你覺得它像什么？

生：像一棵倒著長的樹.

師：是的.這種解題的方法我們把它叫作樹狀圖法.那么，什么時候用樹狀圖法計算概率呢？

生：當(dāng)一次實驗涉及三個或三個以上因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法.

師：想一想，我們怎樣畫出樹狀圖？

生：實驗中涉及三個因素，第一個因素中有兩種可能的情況，第二個因素中各有兩種可能的情況，第三個因素中各有兩種可能的情況，這樣就可以畫出一棵倒著長的樹.

【評析】教師通過變式，把實驗中的兩個因素變?yōu)槿齻€因素，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用列表法難以解決這個問題，從而引發(fā)思考，在小組合作學(xué)習(xí)中尋找新的解決方法——樹狀圖法.

三、學(xué)以致用，深入理解

師：請同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案中的“探究二”.

課件演示：甲、乙、丙三個盒子中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干.甲盒中裝有兩張卡片，分別寫有字母A、B;乙盒中裝有三張卡片，分別寫有字母C、D、E;丙盒中裝有兩張卡片，分別寫有字母H、I.要從三個盒子中各隨機(jī)取出一張卡片，求：（1）取出的三張卡片中恰好有一個，兩個，三個寫有元音字母的概率各是多少？（2）取出的三張卡片全是輔音字母的概率是多少？

生思考交流，師巡堂指導(dǎo).

師：下面請小組來展示你們的學(xué)習(xí)成果.

生：二十六個英文字母中，元音字母有a、e、i、o、u，其余都是輔音字母.由題目可知，有甲、乙、丙三個盒子，也就是三個因素，可以用樹狀圖解決問題.甲盒中的兩張卡片分別寫著字母A、B，乙盒中的三張卡片分別寫著C、D、E，那么就有六種情況;丙盒中有兩張卡片，有可能抽到H，也有可能抽到I，加起來共有12種可能的結(jié)果.其中帶有一個元音字母的有ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以，取出帶有一個元音字母的概率是[5/12];依此類推，帶有兩個元音字母的概率是[4/12]，化簡后是[1/3];取出的卡片中有三個元音字母的概率是[1/12]（如圖2）.

生：（補(bǔ)充）三張卡片上全是輔音字母的有BCH、BDH兩種，全是輔音字母的概率是[2/12]，化簡后是[1/6].

師：這個小組在展示說明時思路清晰，語言流暢.同學(xué)們想一想，列表法和樹狀圖法的優(yōu)點分別是什么？

生：用樹狀圖法或列表法計算概率，可以清晰地表示出某個事件發(fā)生的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，能夠比較方便地求出事件發(fā)生的概率，這是最直觀最常用的計算方法.

師：它們的區(qū)別又是什么呢？

生：當(dāng)實驗包含兩個因素時，兩種方法都可以用，當(dāng)實驗中涉及三個或三個以上因素時，用樹狀圖法比較方便.

【評析】抽卡片是學(xué)生熟悉的游戲，教師引導(dǎo)學(xué)生用樹狀圖法解決問題，能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握用樹狀圖求概率的方法.教師適時的追問，有利于學(xué)生明確這兩種求概率方法的優(yōu)劣，在解決實際問題時選擇合適的方法.

四、鞏固提升，解決問題

師：學(xué)校要舉行元旦晚會.為了活躍氣氛，組織者設(shè)計了一個轉(zhuǎn)盤游戲，游戲中的兩個圓盤分別被等分成三個扇形和四個扇形（如圖3）.小明和小亮玩轉(zhuǎn)盤游戲，他們同時轉(zhuǎn)動兩個圓盤，指針停止后指向區(qū)域得到兩個數(shù)字.若兩個數(shù)的乘積為奇數(shù)，則小明勝;若兩個數(shù)的乘積為偶數(shù)，則小亮勝.你認(rèn)為這個游戲公平嗎？請說明理由.

生1：這個游戲不公平。第一個轉(zhuǎn)盤有三個因素，第二個圓盤有四個因素，可以求出共有12種可能的結(jié)果，計算它們的乘積，兩數(shù)乘積為奇數(shù)一共有1，3，3，9四種可能，概率是[4/12]，化簡后是[1/3]，而兩數(shù)乘積為偶數(shù)一共有八種可能，概率是[8/12]，化簡后是[2/3]，所以，小亮獲勝的概率大于小明（如圖4）.

生2：我用列表法計算。根據(jù)題意，先把第一個轉(zhuǎn)盤的三個因素寫成一列1，2，3，第二個轉(zhuǎn)盤的四個因素寫成一行1，2，3，4，然后羅列出12種可能的結(jié)果（如圖5）.后面的做法和前面的同學(xué)一樣，小亮獲勝的概率大于小明.

師：這個小組做到了一題多解.游戲是否公平，關(guān)鍵要看什么？

生：看概率是否相等，如果概率相等，游戲是公平的，反之則不公平.

【評析】通過分析轉(zhuǎn)盤游戲公平與否的問題，學(xué)生想到了一題多解，無形中鞏固了列表法和樹狀圖法的知識，明確游戲是否公平與概率有關(guān).

師：既然這個游戲不公平，你能為他們設(shè)計一款公平的游戲嗎？

生獨立思考后交流.

生1：若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則小明勝;若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則小亮勝.我用列表法展示給大家看.第一行分別是2，3，4，5，第二行分別是3，4，5，6，第三行分別是4，5，6，7，這些結(jié)果每一種出現(xiàn)的可能性都相等，所有的可能結(jié)果一共有12種，兩數(shù)之和為奇數(shù)的情況共有6種，所以，兩數(shù)之和為奇數(shù)的概率是[1/2].同理，兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率也是[1/2]，二者的概率相等.因此，這樣設(shè)計游戲是公平的.

生2：若兩數(shù)乘積大于4，則小亮勝;若兩數(shù)乘積小于4，則小明勝.我用樹狀圖法解決這個問題（如圖6）.先求出每一種結(jié)果的兩數(shù)乘積，可以看出乘積大于4的有5種情況，概率為[5/12]，乘積小于4的概率也是[5/12]，所以，兩數(shù)乘積大于4和小于4的概率相等，因此，游戲是公平的.

生3：我還有一個方案，把第一個圓盤的數(shù)字看成十位數(shù)，把第二個圓盤上的數(shù)字看成個位數(shù)，由此組成兩位數(shù)，如果是奇數(shù)，則小明勝;如果是偶數(shù)，則小亮勝.把這些所有的可能列在一個表格當(dāng)中，這些數(shù)分別是11，21，31，12，22，32，13，23，33，14，24，34，共有12種可能的結(jié)果.組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為[6/12]，即[1/2]，組成的兩位數(shù)為偶數(shù)的概率為[6/12]，化簡后是[1/2]，二者的概率相等，按照規(guī)則，游戲是公平的.

師：同學(xué)們設(shè)計了多種不同的方案，想法非常好！老師發(fā)現(xiàn)還有同學(xué)設(shè)計了不同的方案，因為時間有限，所以不能逐一展示，課后同學(xué)們可以相互交流你們的方案.

【評析】請學(xué)生設(shè)計游戲方案，為學(xué)生提供問題解決的平臺，這是教學(xué)的亮點.教師這樣做，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，開闊思路，體現(xiàn)了課堂教學(xué)的深度與廣度.

五、梳理反思，感悟收獲

師：我們來小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，說一說你有什么收獲？你會提出什么建議？你還有哪些困惑？

生1：列表法、樹狀圖法都適用于涉及兩個因素的試驗，但是實驗中涉及三個或三個以上因素時，用列表法不太方便，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法.

生2：我學(xué)會了分類和數(shù)形結(jié)合的方法.

生3：我知道如何判斷游戲是否公平.

生4：如果實驗中的因素再多幾個，還能用樹狀圖法計算概率嗎？有沒有其他方法求概率？

師：求概率的方法有很多，上了高中還要學(xué)習(xí)，同學(xué)們有興趣的話繼續(xù)探究.

【評析】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，談收獲，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，掌握學(xué)習(xí)方法，將課內(nèi)學(xué)習(xí)延伸至課外.

【總評】這是一節(jié)有梯度、有深度、有寬度的課，體現(xiàn)在三個方面：首先，教師從學(xué)生熟悉的紅綠燈、摸卡片、玩轉(zhuǎn)盤等情景切入教學(xué)，使學(xué)生積極投入學(xué)習(xí)活動當(dāng)中，并在輕松愉悅的氛圍中暢所欲言，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性.其次，學(xué)生自主探究、合作交流，大膽展示學(xué)習(xí)成果，分享自己的想法和感悟，教師及時反饋回應(yīng)，適當(dāng)引導(dǎo)，適時鼓勵，為學(xué)生順利完成探究任務(wù)注入了“潤滑劑”，課堂教學(xué)高潮迭起，精彩紛呈.最后，學(xué)生經(jīng)歷了探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，體現(xiàn)了知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，觸及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，體會到了數(shù)學(xué)中所蘊含的思想方法，是一節(jié)指向?qū)W科素養(yǎng)發(fā)展的課.

（本文所用課例獲2019年賀州市“一師一優(yōu)課，一課一名師”活動優(yōu)課一等獎）

（責(zé)編 歐孔群）