復(fù)合頂板錨桿力學(xué)特征分析

王建偉，展勤建

(1.瓦斯災(zāi)害監(jiān)控與應(yīng)急技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400037；2.中煤科工集團(tuán)重慶研究院有限公司，重慶 400037；3.太原理工大學(xué)，山西 太原 030024；4.廣東石油化工學(xué)院，廣東 茂名 525000)

0 引 言

由于各分層間物理性能差異較大，層間黏結(jié)力較低[1-3]，相對于單一巖層，復(fù)合頂板內(nèi)錨桿的力學(xué)特征存在獨(dú)特的復(fù)雜性。盡管國內(nèi)外學(xué)者針對復(fù)合頂板的錨固支護(hù)技術(shù)進(jìn)行了深入的研討，相關(guān)理論已取得了長足有效的發(fā)展，為巷道圍巖的穩(wěn)定控制做出了一定貢獻(xiàn)，涉及的研究手段及治理方法亦不失為有效的技術(shù)途徑[4-5]。然而，由于研究焦點(diǎn)主要集中于復(fù)合頂板巷道圍巖的穩(wěn)定性控制和錨桿支護(hù)系統(tǒng)整體作用效果的探討：或?yàn)闅w納分類復(fù)合巖層的破壞機(jī)理及形式，并提出相應(yīng)的巷道圍巖控制措施[6-9]，或?yàn)橥怀鲥^桿支護(hù)系統(tǒng)對軟硬相間巖層的加固效果[5,10-12]，但未能形成通識(shí)的基礎(chǔ)理論。

復(fù)合頂板巷道的穩(wěn)定控制勢必成為后續(xù)煤炭開采過程中主要的技術(shù)難題之一。隨著淺部優(yōu)質(zhì)資源的日益枯竭，由于技術(shù)瓶頸的制約和綜合機(jī)械化高強(qiáng)度開采，加速開采巖性劣化及地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度加劇的深部資源的進(jìn)程已日益凸顯[13-14]。加之與沉積巖形成有關(guān)的煤系地層對巷道層位的影響，復(fù)合頂板成為煤炭資源開采過程中常見的頂板類型。然而，由于缺乏必要的針對性研究，復(fù)合頂板的錨桿支護(hù)體系設(shè)計(jì)通?；诮?jīng)驗(yàn)主義和感知性能，加之經(jīng)濟(jì)因素的制約，往往使得復(fù)合頂板的錨固支護(hù)系統(tǒng)不盡合理，甚至承受由于頂板事故的發(fā)生所帶來的問題[15]。因此，有必要針對復(fù)合頂板巷道合理支護(hù)技術(shù)開展進(jìn)一步系統(tǒng)深入的研究。其中，探尋復(fù)合頂板內(nèi)錨桿合理的力學(xué)模型，進(jìn)而開展錨桿力學(xué)特征分析顯得尤為重要。

縱觀已有研究，當(dāng)前復(fù)合頂板巷道的錨桿支護(hù)技術(shù)仍然處于起步階段，復(fù)合頂板內(nèi)錨桿力學(xué)特征分析的研究更鮮見于文獻(xiàn)。本文基于一定的條件假設(shè)，借鑒樁基礎(chǔ)平衡理論的研究成果，建立了復(fù)合頂板內(nèi)錨桿力學(xué)模型，通過理論推導(dǎo)、案例的MATLAB解析計(jì)算及FLAC3D模擬對比分析，驗(yàn)證了復(fù)合頂板內(nèi)錨桿力學(xué)模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了復(fù)合頂板錨桿的軸力與膠結(jié)面上切應(yīng)力分布形態(tài)分析。相應(yīng)研究手段及結(jié)論為復(fù)合頂板內(nèi)錨桿的力學(xué)特征分析及支護(hù)設(shè)計(jì)提供一種有效的新途徑。

1 復(fù)合頂板錨固體系的本構(gòu)方程

1.1 條件假設(shè)及模型的建立

為了建立復(fù)合頂板內(nèi)錨桿的力學(xué)模型，將錨桿側(cè)巖體阻力以周-邊彈簧代替，彈簧的剛度系數(shù)為ki=2.75Gi/(πD)，錨桿端部巖體阻力以端部彈簧代替，剛度系數(shù)為k0=8G1/[πD(1-μ1)]。其中，Gi為第i層圍巖的剪切模量，如G1為錨固端部所在巖層的剪切模量，μ1為錨固端部所在巖層的泊松比，D為錨固體直徑。由此建立的復(fù)合頂板錨固系統(tǒng)的軸向力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 錨固系統(tǒng)軸向力學(xué)模型

在忽略次要因素的基礎(chǔ)上提出以下假設(shè)條件。①錨桿為連續(xù)彈性的均質(zhì)圓截面桿體，錨固體在軸向變形時(shí)滿足平面設(shè)計(jì)；②雖已有研究表明復(fù)合頂板為正交各向異性或各向異性體，但由于錨桿力學(xué)特征主要表現(xiàn)在軸向方向上，其與復(fù)合頂板巖層的層位關(guān)系存在一定的特殊性，本文認(rèn)為錨固劑及復(fù)合頂板錨固段內(nèi)各分層仍為各向同性的均質(zhì)彈性體；③錨固段內(nèi)巖體處于完全線彈性狀態(tài)，錨桿與圍巖之間的相互作用采用線彈性彈簧加以實(shí)現(xiàn)；④不考慮圍巖變形產(chǎn)生的附加荷載等其他因素對錨桿受力特征的影響；⑤忽略錨桿在軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面的改變量以及圍巖與膠結(jié)面滑移所帶來的損傷效應(yīng)；⑥不考慮實(shí)際工程中軟弱結(jié)構(gòu)面、節(jié)理裂隙、斷層結(jié)構(gòu)以及巖層交界面處的離層等因素；⑦錨桿-錨固劑-圍巖黏結(jié)良好，即錨桿與圍巖滿足變形協(xié)調(diào)的條件。

截取長度為dx的錨固微元體為研究對象，如圖1所示，由平衡條件可得錨固微元體軸向平衡方程，見式(1)。

(1)

式中：A為錨桿橫截面積；C為錨桿圓截面周長；ui為錨桿軸向位移函數(shù)；σi為錨桿橫截面上的正應(yīng)力；i為錨固段內(nèi)巖層的編號(hào)，i=1，2，…，n。

由胡克定律可得式(2)。

(2)

將式(2)代入式(1)可得式(3)。

(3)

1.2 錨固段內(nèi)錨桿位移函數(shù)

錨固微元體取于第一層巖層內(nèi)，此時(shí)有式(4)。

(4)

(5)

由此，式(5)的解為式(6)。

u1=C1eα1x+C2e-α1x

(6)

同理可得式(7)。

(7)

1.3 自由段內(nèi)錨桿位移函數(shù)

錨固微元體取于自由段內(nèi)時(shí)，此時(shí)有式(8)。

(8)

式中，σ*為錨桿橫截面上的正應(yīng)力，由此可得式(9)。

(9)

式中，u*為自由段內(nèi)錨桿軸向位移函數(shù)。因此，自由段內(nèi)錨桿位移函數(shù)的解為式(10)。

u*=C2n+1x+C2n+2

(10)

1.4 邊界條件和連續(xù)條件

設(shè)巷道支護(hù)平衡時(shí)，錨桿根部軸力為F，則錨桿錨固系統(tǒng)對應(yīng)的邊界條件為式(11)。

(11)

為了保證錨桿的完整性，各段間還應(yīng)滿足位移的連續(xù)條件，見式(12)。

(12)

與此同時(shí)，各段間還應(yīng)滿足錨桿軸力連續(xù)條件見式(13)。

(13)

1.5 常數(shù)項(xiàng)的求解

觀察式(7)可知，若要完整獲得錨桿位移函數(shù)的解，則必須完成常數(shù)項(xiàng)求解過程。結(jié)合上述公式，為說明常數(shù)項(xiàng)的存在和唯一性，本文給出了n=4時(shí)錨桿位移函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)求解過程及結(jié)果。結(jié)合上述邊界條件和連續(xù)條件可得獨(dú)立方程見式(14)。

(14)

由式(14)可得相應(yīng)常系數(shù)項(xiàng)見式(15)。

式中：

λ1=(1+α3/α4)[(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ1+

(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ2]+

“從政經(jīng)驗(yàn)型”類似宋元時(shí)期的“概論體”，是宋元以來官箴書的主流類型與模式。所謂“從政經(jīng)驗(yàn)”，即作者直接表達(dá)或論述從政者在到任離職、人際關(guān)系、行政事務(wù)等方面所應(yīng)遵循的原則、秉持的官德、注意的事項(xiàng)，或辦事的方法技巧等，以達(dá)到對官員進(jìn)行勸誡與教導(dǎo)之目的?？梢哉f，宋元及明代中前期大多數(shù)官箴書基本上都屬于此種類型。晚明官箴書依舊繼承了宋元以來的這種書寫方式。如佘自強(qiáng)的《治譜》直接論述或表達(dá)官吏在從政中應(yīng)注意的事項(xiàng)及施政的方法技巧，這就是宋元官箴書的主流模式。

(1-α3/α4)[(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ5+

(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ6]

λ2=(1+α3/α4)[(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ3+

(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ4]+

(1-α3/α4)[(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ7+

(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ8]

λ3=e2α4L3{(1-α3/α4)[(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ1+

(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ2]+

(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ6]}

λ4={(1-α3-α4)[(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ3+

(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ4]+

(1+α3/α4)[(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ7+

(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ8]}e2α4L3

其中：

結(jié)合上述求解結(jié)果及理論分析可知，復(fù)合頂板內(nèi)錨桿的位移函數(shù)主要由下列參量控制：α1，…，αi，…，αn，(i=1，2，…，n)。

2 算例驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證上述力學(xué)模型的正確性，結(jié)合工程實(shí)際，選取一算例，矩形煤巷埋深420 m，巷道寬4.0 m，高3.0 m，巷道頂板為復(fù)合頂板。錨桿支護(hù)間排距為1.0 m×1.0 m，錨桿選取直徑為25 mm的左旋無縱筋螺紋鋼錨桿，錨桿彈性模量為200 GPa。巷道頂板自上而下的巖層分別為：①細(xì)砂巖，剪切模量G1=7.6 GPa，泊松比μ=0.20，巖層厚度為6.0 m，L1=1.0 m；②砂巖，剪切模量G2=3.80 GPa，巖層厚度為1.0 m；③砂質(zhì)泥巖，剪切模量G3=1.75 GPa，巖層厚度為1.0 m；④泥巖，剪切模量G4=0.90 GPa，巖層厚度為1.0 m。

本文主要通過FLAC3D模擬監(jiān)測數(shù)據(jù)和理論計(jì)算數(shù)據(jù)的對比分析加以驗(yàn)證。模擬過程中不僅對巷道兩側(cè)的煤層(單一巖層)內(nèi)錨桿不同截面位置的位移進(jìn)行了監(jiān)測，而且對頂板(復(fù)合巖層)內(nèi)錨桿不同截面位置的位移進(jìn)行了監(jiān)測。FlAC3D模型及巷道錨桿支護(hù)工況如圖2所示，位移監(jiān)測結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖2 FlAC3D建模和支護(hù)工況示意圖

由圖3可知，模擬監(jiān)測和理論計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)出相同的位移分布形態(tài)。其中，巷道兩側(cè)煤體內(nèi)錨桿位移誤差僅介于1.66×10-4～4.0×10-2mm，誤差百分比介于0.01%～9.17%。而巷道頂板內(nèi)錨桿位移誤差范圍僅介于0～5.0×10-2mm，誤差百分比介于0%～9.83%。由此可見，無論是煤體(單一巖層)內(nèi)的錨桿，或是復(fù)合頂板內(nèi)的錨桿，數(shù)值模擬與理論計(jì)算的差異均較小，基本控制在10%以內(nèi)。這表明采用上述理論模型進(jìn)行錨桿力學(xué)特征分析是可行的，相應(yīng)理論推導(dǎo)過程及計(jì)算結(jié)果是可靠的。

圖3 理論計(jì)算和數(shù)值模擬的位移曲線

3 錨桿軸力與切應(yīng)力分布規(guī)律

結(jié)合上述理論推導(dǎo)過程可知，復(fù)合頂板內(nèi)錨桿軸力計(jì)算公式見式(16)。

(16)

同時(shí)，由于dFi=kiCuidx=τiCdx,則有式(17)。

(17)

結(jié)合上述理論分析，在設(shè)定錨桿錨固段長度為Ln=4.0 m，將錨固段內(nèi)復(fù)合巖層數(shù)量設(shè)定為n=4，通過設(shè)置軟硬相間巖層的不同高度，進(jìn)行了錨固段內(nèi)任意截面位置錨桿軸力的理論計(jì)算可知，雖然錨桿軸力的解析結(jié)果主要由α1，…，αi，…，αn，(i=1，2，…，n)控制，由于復(fù)合巖層厚度一般較小，各分層厚度在一定范圍內(nèi)的變化，似乎對于錨桿軸力的分布形態(tài)影響甚微。結(jié)合工程實(shí)際，本文僅通過復(fù)合頂板內(nèi)各分層剪切模量的梯度性變化，進(jìn)行了錨桿軸力、膠結(jié)面切應(yīng)力分布形態(tài)的考察和隨剪切模量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)機(jī)制分析。

3.1 復(fù)合頂板錨桿軸力分布規(guī)律

設(shè)巷道復(fù)合頂板內(nèi)錨固段內(nèi)自上而下巖層剪切模量分別為G1、G2、G3、G4，自上而下的巖層厚度分別為h1=h2=h3=h4=1.0 m，錨桿端部所處巖體泊松比設(shè)定為μ1=0.20。 需要說明的是，為進(jìn)行剪切模量梯度性變化的巖層，其剪切模量均為0.2 GPa，錨桿根部軸力F=100 kN，錨桿軸力分布形態(tài)如圖4所示。

圖4 不同剪切模量時(shí)錨桿軸力分布形態(tài)

1) 結(jié)合上述理論分析，復(fù)合頂板的各分層內(nèi)錨桿軸力的分布形式為分段的指數(shù)函數(shù)，分段形式主要受分層間剪切模量的差異化影響，指數(shù)函數(shù)的分段邊界為各分層的上下交界面位置。這將導(dǎo)致錨桿軸力的分布均在各分層的交界面位置出現(xiàn)拐點(diǎn)。

2) 分層剪切模量的梯度性變化，將影響錨固段內(nèi)錨桿軸力的整體分布形態(tài)。上下分層(圖4)剪切模量的梯度性變化，將導(dǎo)致錨固段內(nèi)錨桿軸力的分布形態(tài)呈現(xiàn)相反的響應(yīng)特征。上分層剪切模量增大，則錨固段內(nèi)錨桿軸力整體增大；下分層剪切模量增大，則錨固段內(nèi)錨桿軸力整體減小。

3) 而關(guān)于中部分層(圖4)剪切模量的梯度性變化，錨桿軸力分布形態(tài)呈現(xiàn)相同的響應(yīng)特征，值得注意的是，發(fā)生梯度性變化的分層將錨固段錨桿分為兩個(gè)區(qū)段，區(qū)段的分界點(diǎn)位于本分層內(nèi)，為了說明問題，劃定分界點(diǎn)上方為上區(qū)段，下方為下區(qū)段。隨著某分層剪切模量的增大，上區(qū)段錨桿軸力逐漸減小，而下區(qū)段錨桿軸力逐漸增大，且相對于該分層上下交界面距離愈小，關(guān)于剪切模量的響應(yīng)程度愈強(qiáng)烈。

4) 錨桿軸力關(guān)于不同分層的剪切模量的梯度性變化亦有所不同，相對于下分層距離愈小，隨著分層剪切模量的增大，錨桿軸力的響應(yīng)程度愈強(qiáng)烈，在分層厚度一致的情況下，錨桿軸力關(guān)于下分層剪切模量的響應(yīng)程度最為強(qiáng)烈，增幅及增量的峰值出現(xiàn)在交界面位置。

3.2 膠結(jié)面上切應(yīng)力分布規(guī)律

為了說明問題，在3.1部分錨桿軸力計(jì)算時(shí)選定的分層剪切模量基礎(chǔ)上，進(jìn)行了錨固段錨桿膠結(jié)面上切應(yīng)力計(jì)算，結(jié)合分層剪切模量的梯度性變化，不同剪切模量膠界面上切應(yīng)力分布形態(tài)如圖5所示。

圖5 不同剪切模量時(shí)切應(yīng)力分布形態(tài)

1) 由于理論模型基于錨桿軸向平衡理論，隨著各分層剪切模量的梯度性變化，錨桿膠結(jié)面上切應(yīng)力分布形態(tài)呈現(xiàn)出與錨桿軸力相對應(yīng)的響應(yīng)特征。錨桿膠結(jié)面上切應(yīng)力的分布形式亦為分段的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的分段邊界同為各分層的上下交界面位置；同時(shí)，由于支護(hù)荷載一定，錨固段內(nèi)錨桿軸力增大的同時(shí)，膠結(jié)面上的切應(yīng)力減小。不同之處在于，軸力出現(xiàn)拐點(diǎn)位置，切應(yīng)力產(chǎn)生突變。

2) 膠結(jié)面上切應(yīng)力峰值主要出現(xiàn)在兩個(gè)位置，其一為錨桿自由段與錨固段的交界處附近(端錨形式)，或是錨桿根部(全錨形式)，這將會(huì)在錨固段內(nèi)各分層剪切模量差異化較小時(shí)出現(xiàn)；其二為錨固段內(nèi)剪切模量相對較大的分層交界面位置，這將會(huì)在錨固段內(nèi)各分層剪切模量差異化較大時(shí)出現(xiàn)。

3) 與錨桿軸力的響應(yīng)特征有所不同的是，分層剪切模量的增大將導(dǎo)致其他分層內(nèi)錨桿膠界面上切應(yīng)力減小，相對于該分層的距離愈小，響應(yīng)程度愈強(qiáng)烈。而該分層內(nèi)錨桿膠結(jié)面上的切應(yīng)力全區(qū)段增大，且沿上分界面至下分界面方向上，切應(yīng)力的增量及增幅逐漸增大。

4 結(jié) 論

1) 由于分層間剪切模量的差異化，復(fù)合頂板內(nèi)錨桿位移、軸力及膠結(jié)面切應(yīng)力分布形式均為分段的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的主要控制量分別為α1，α2，…，αn。指數(shù)函數(shù)的分段邊界為各分層的上下交界面位置。錨桿軸力在上下交界面位置出現(xiàn)拐點(diǎn)，而膠結(jié)面上切應(yīng)力則在此出現(xiàn)突變。

2) 分層剪切模量對錨桿軸力的影響機(jī)制方面。上下分層剪切模量的梯度性變化，將導(dǎo)致錨固段內(nèi)錨桿軸力分布形態(tài)呈現(xiàn)相反的響應(yīng)特征，上分層剪切模量增大，則錨固段內(nèi)錨桿軸力整體增大；下分層剪切模量增大，則錨固段內(nèi)錨桿軸力整體減小。而中部分層剪切模量梯度性變化時(shí)，將錨固段錨桿分為兩個(gè)區(qū)段，分界點(diǎn)位于該分層內(nèi)，隨著剪切模量的增大，上區(qū)段錨桿軸力逐漸減小，而下區(qū)段逐漸增大。相對該分層上下交界面位置愈小，關(guān)于剪切模量的響應(yīng)程度越為強(qiáng)烈。

3) 錨桿膠結(jié)面上切應(yīng)力峰值主要出現(xiàn)在兩個(gè)位置，其一為錨桿自由段與錨固段的交界附近(端錨形式，)或是錨桿根部(全錨形式)，這將會(huì)在錨固段內(nèi)各分層剪切模量差異化較小時(shí)出現(xiàn)；其二為剪切模量相對較大分層的下交界面位置，這將會(huì)在復(fù)合頂板內(nèi)各分層剪切模量差異化較大時(shí)出現(xiàn)。

4) 分層剪切模量的增大將導(dǎo)致其他分層內(nèi)膠結(jié)面上切應(yīng)力減小，相對于該分層距離愈大，減小的幅值及幅度愈??；而該分層內(nèi)膠結(jié)面上切應(yīng)力增大，沿上分界面至下分界面方向，增量及增幅逐漸增大。