兩個(gè)新的Hansen系數(shù)的遞推公式?

吳連大 張明江

(1 中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京 210023)

(2 中國科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京 210023)

1 Hansen系數(shù)的基本遞推公式

2 Hansen系數(shù)遞推的分類

利用遞推公式(R1)–(R3),可以進(jìn)行n遞推;利用遞推公式(R4),可以進(jìn)行m遞推.利用遞推公式(R1)–(R3)進(jìn)行n向前遞推,需要輔助遞推.

舉個(gè)例子,考察下列遞推過程:

綜上所述,利用遞推公式(R1)–(R4),可以實(shí)行的遞推,如表1所示.由表1可知,這里沒有普通Hansen系數(shù)的一行初值向后遞推公式,也缺少偏心率函數(shù)的向前遞推的輔助遞推公式.

表1 4種基本遞推可以實(shí)行的遞推Table 1 The recursions implemented by four basic recursion formulae

3 基本遞推公式的補(bǔ)充

3.1 普通Hansen系數(shù)的一行初值向后遞推公式

利用基本遞推公式(R1)和(R2),不難推導(dǎo)出普通Hansen系數(shù)的一行初值向后遞推公式,具體推導(dǎo)方法如下:

此即我們需要的普通Hansen系數(shù)的一行初值向后遞推公式.

遞推公式(R5)為連續(xù)3推1方式,向后遞推.它的另一個(gè)用處是:可以將不是偏心率函數(shù)的Hansen系數(shù),表達(dá)成3個(gè)偏心率函數(shù)的組合.

3.2 偏心率函數(shù)向前遞推需要的輔助遞推公式

偏心率函數(shù)向前遞推,一般采用遞推公式(R1)和(R3)進(jìn)行遞推.考察如下向前遞推過程:

其中,未被劃去的函數(shù)均是偏心率函數(shù),我們希望遞推均在這些函數(shù)中進(jìn)行.從已知的初值(第1、第2行),遞推到第3行,中間的偏心率函數(shù)均可遞推處理.但是,兩頭的遞推不出來,這時(shí)需要補(bǔ)充新的遞推公式.

對于普通的Hansen系數(shù)(包括上述遞推中的所有函數(shù)),可以利用遞推公式(R4)進(jìn)行遞推.但是,對于偏心率函數(shù),在一行中是不連續(xù)的,偏心率函數(shù)和普通的Hansen系數(shù)交替出現(xiàn),普通的Hansen系數(shù)是不能參加遞推的,這就必須推導(dǎo)新的遞推公式.

不失一般性,考察下面5個(gè)偏心率函數(shù):

如果能夠推導(dǎo)出這5個(gè)函數(shù)的遞推關(guān)系,這個(gè)問題也就解決了.

下文利用(R4)和(R5)兩個(gè)遞推公式,推導(dǎo)給出偏心率函數(shù)向前遞推需要的輔助遞推公式,具體推導(dǎo)方法如下:

(R5)式中,m ?m+1,乘以(m?1),得到

(R5)式中,m ?m?1,乘以(m+1),得到

將(3)和(4)式代入(R4)式,乘以(m+1)(m?1),即得

此即我們需要的遞推公式.

上述(R6-1)和(R6-2)式,就是偏心率函數(shù)遞推所需要的輔助遞推公式.

值得說明的是,Vakhidov利用如下遞推[6]:

注意:上述(V1)和(V2)式中,s ?k,n ??n,相應(yīng)函數(shù)表達(dá)形式即與本文一致.顯然,Vakhidov給出的表達(dá)式(V1)和(V2)[6],比公式(R6-2)復(fù)雜得多.

4 遞推方法

4.1 Hansen系數(shù)的(R5)向后遞推方法

Hansen系數(shù)的(R5)向后遞推,需要計(jì)算一行初值,遞推過程如下:

這種向后遞推,可以遞推出所有Hansen系數(shù),沒有像向前遞推那樣需要“另外計(jì)算”的函數(shù);而且,沒有奇點(diǎn),也沒有e分母.從公式上看,這是一種安全的遞推,只是初值計(jì)算量要大一些.

順便說一下,遞推出Hansen系數(shù)后,Hansen系數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以利用Hansen系數(shù)計(jì)算.從這個(gè)意義上講,這種方法多計(jì)算的“無用的”函數(shù)也不能認(rèn)為是完全無用的.

4.2 偏心率函數(shù)的(R6)向前遞推方法

偏心率函數(shù)的向前遞推過程如下:

其中,未被劃去的函數(shù)均是偏心率函數(shù).首先,利用遞推公式(R1),遞推出中間的偏心率函數(shù)(當(dāng)m=0時(shí),利用遞推公式(R3)遞推);然后,利用公式(R6-1)和(R6-2),計(jì)算兩頭的.

對于給定的k和N(n的上限),給定偏心率函數(shù)的兩行初值:

5 (R5)和(R6)遞推算例

(R5)向后遞推方法,適用于普通Hansen系數(shù)的遞推,這種方法最簡單;(R6)向前遞推方法,適用于偏心率函數(shù)的遞推,這種方法實(shí)際上利用了(R1)、(R3)和(R6)3種遞推公式,計(jì)算程序比較復(fù)雜.

對于k=1、偏心率e=0.1,相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如表2所示.這里給出該算例的目的是為了清晰地展現(xiàn)(R5)和(R6)遞推方法的遞推過程:需要哪些初值,遞推出哪些結(jié)果.表2中,給出了6列數(shù)據(jù),前3列分別是Hansen系數(shù)(e)的指標(biāo)n、?(n+1)和m;后面3列分別是Wnuk方法[7]、(R5)向后遞推和(R6)向前遞推的計(jì)算結(jié)果.Wnuk方法的計(jì)算結(jié)果用來作為參考,比對(R5)和(R6)的遞推計(jì)算結(jié)果.表2后兩列中,有下劃線的數(shù)據(jù)是遞推初值,其他均是遞推結(jié)果.

Table 2 A simple example of recursion of Hansen coefficients (e)(k=1,e=0.1)表2 Hansen系數(shù)(e)遞推的簡單算例(k=1,e=0.1)

Table 2 A simple example of recursion of Hansen coefficients (e)(k=1,e=0.1)表2 Hansen系數(shù)(e)遞推的簡單算例(k=1,e=0.1)

Note:The underlined data in the fifth and sixth columns of the table are the initial values of recursive calculations;and the numbers in italics marked in red in the sixth column are the ones with errors by comparing the calculation results of (R6)forward recursion and Wnuk’s method.

對于(R5)向后遞推,需要n=5(或?(n+1)=?6)的所有11個(gè)數(shù)據(jù)(這里從n=5(或?(n+1)=?6)開始遞推,如果遞推的階次更高,需要計(jì)算更多的初值);而對于(R6)向前遞推,需要給出n=2和n=3 (或?(n+1)=?3和?(n+1)=?4)兩行7個(gè)數(shù)據(jù),但是只要給出偏心率函數(shù)的數(shù)據(jù)即可,給出的遞推結(jié)果,同樣也只有偏心率函數(shù).

由表2中的遞推結(jié)果可見:(R5)的遞推結(jié)果較好,與Wnuk方法的計(jì)算結(jié)果一致.但是,(R6)向前遞推的結(jié)果一開始就出現(xiàn)了誤差,表2中標(biāo)為紅色的斜體數(shù)字,就是計(jì)算有誤差的數(shù)據(jù).這也許是由于遞推公式中的幾個(gè)數(shù)據(jù)相加減損失了有效數(shù)字.特別是對于絕對值較小的偏心率函數(shù),有效數(shù)字損失得比較嚴(yán)重.例如(0.1)只有5位有效數(shù)字了.如果需要遞推到更高的階,這種現(xiàn)象可能會(huì)更加嚴(yán)重,因此需要給予特別的關(guān)注.

6 結(jié)論

本文推導(dǎo)給出了兩個(gè)新Hansen系數(shù)的遞推公式(R5)和(R6),它們可以作為基本遞推公式的有效補(bǔ)充.遞推公式(R5)能夠?qū)崿F(xiàn)普通Hansen系數(shù)的一行初值向后遞推.遞推公式(R6)作為偏心率函數(shù)向前遞推需要的輔助遞推公式,能夠完整實(shí)現(xiàn)偏心率函數(shù)的兩行初值向前遞推.(R5)和(R6)遞推公式簡單,算例表明這兩種遞推方法有效.