高中數學線性變換的對角化問題探究

高鳳龍

摘要：在新課程改革背景下，高中生不僅能夠靈活地使用學科基礎知識去解決實際問題，還要在課余時間學習其他感興趣的知識，從而更好地促進高中生全面發(fā)展。在高中數學課本中，雖然線性變換是選修章節(jié)，但這是與大學知識點銜接的重點知識，學生掌握好了線性變換知識點，能夠提前接觸和了解高等數學。

關鍵詞：高中數學 ? 線性變化 ? 對角化

一、高中數學線性變換的概念

1.線性變換的概念

在高中數學教學中，線性變換指的是在構建好的xOy坐標系中，至少要存在一個點或者多個點的集合A，與另一個相對應的至少一個點或者多個點的集合B，兩個集合可以按照相應的規(guī)則進行象化的變換，并且位置不同的點在進行轉變之后所形成的點也是不相同的，所以在直角平面坐標系中將圖形進行幾何轉變，就是線性變換的過程。

2.線性變換的基本性質

線性變換自身具有三個基本性質，第一個性質是任何向量乘于零的結果都是零，它的數學表達式就是T（0）=0;第二個性質是任何的向量與一個任意的負向量之間相乘的結果就是兩個向量相減得出的負數，其數學表達式為T（-a）=-T（a）;最后一個性質是可以滿足乘法的計算規(guī)律，也就是說A既是一個一般矩陣，又是平面坐標直角系中的任意兩個向量，這個數字是實數。

3.可對角化的概念

對角化的概念可以分為兩個定義：定義一，是在多維線性的空間V中有一個稱之為σ的線性變換，在這樣的一個空間之中如果存在著個基為V，那么就稱σ在這組基下所形成的對陣為對角對陣，也就是稱之為線性變換σ是可對角化的;定義二，是在數域P的范圍內中包含了一個A矩陣的n級方陣，如果在這個數域P上有著一個n級的可逆矩陣X，能夠構成對角矩陣X-1AX，那么就稱數域P中的矩陣A為可對角化。

二、線性變換的對角化

在數域F的線性空間V上設一個數值σ的線性變換，那么如果數域F中存在著一個數λ，并且還有一個非零的向量ξ，也就得到了σ（ξ ）=λξ。在此式中，λ是σ的一個特征值，ξ則是σ屬于特征值λ的特征向量。

三、例題解析

對于高中生來說，線性變換是比較難掌握的部分。這時，學生正初步接觸高等數學，會認為該教學理念比較抽象，而且運算量大，內容廣泛。然而，《高中課程標準》涉及的線性變換更加偏向于幾何運用，然后根據大量現(xiàn)存的線性變換的性質與作用對其進行探討，僅僅只是在平面上對線性變換進行一種認知。

教師通過在課堂上講解基礎知識，能讓學生簡單認識線性變換，并且結合各種簡單的類型題進行練習，不斷深化學生對線性變換的認知。如在教學“對稱變換在幾何極小值中的應用”時，對稱變換也被稱為軸反射，在對極小值問題進行解答時起著很重要的作用。

例如：E是某一個正方形ABCD的BC 邊上的一個點，BE的長度為3，EC的長度為4，且P是對角線BD上的一個動點，現(xiàn)在要PE+PC的最小值。

在初次接受這類題型時，學生先要簡單分析題目，掌握在數學幾何思維中兩點之間線段最短的原則，把題中的PE+PC轉換成為線段;然后，在圖中過E點做出EM BD，并且還要與BA相較取一點M;最后，將MC和BD進行連接相交于P，最終只需要求出MC即可。

通過詳細分析題目，做出輔助線，由題意可知。BD是∠ABC的平分線，所以可以得出E、M兩點關于BD對稱，即PM之間的距離與PE是相同的（中垂線上的點到兩端點的距離相等），所以PE+PC=PM+PC=MC。在線段BD上取一點為Q，并且將QE、QC、QM進行連接，最終可以得出QE+QC=QM+QC>MC。所以說，MC就是PE+PC的最小值，此時，以三角形的勾股定理來計算得出MC===5。簡單分析題目能夠保障學生在解答時擁有較為清晰的思路，從而更好地加深學生對線性變換的對角化知識點的理解。

通過探究線性變換對角化問題及拓展知識點，學生能夠更加全面地認識對角化知識;通過分析一些簡單的線性變換對角化知識和比較復雜的概念分析，學生能夠掌握更多的相關知識;通過講解例題，教師能引導學生分析出解題過程及簡單的解題方法，讓學生更加直觀地理解知識點及解題過程，從而促進學生更好地發(fā)展。

參考文獻：

[1]朱萍.探討高中數學線性規(guī)劃問題的教學策略[J].數學學習與研究，2019（18）.

[2]魏江.談高中數學中如何應用建模思想[J].學周刊，2019（28）.

（作者單位：山西省呂梁市賀昌中學）