WWW型雙輸入行星減速器傳動系統(tǒng)振動特性研究

張寬，張慶

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

減速器作為航天航空飛行器伺服傳動系統(tǒng)關(guān)鍵部件之一，其在工作時產(chǎn)生的振動會嚴(yán)重影響傳動系統(tǒng)的精度以及減速器的壽命。沈稼耕等人研究了兩組不同嚙合相位的行星齒輪傳動系統(tǒng)對人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)振動特性的影響[1]；劉凱文等人利用剛?cè)狁詈夏Ｐ蛯GW型行星齒輪減速器傳動系統(tǒng)進(jìn)行振動特性分析[2]。本文利用理論法和有限元法分別計(jì)算行星齒輪傳動系統(tǒng)固有頻率，并與影響激勵頻率對比分析，驗(yàn)證了振動特性對減速器的重要性，為減速器避開共振頻率提供參考依據(jù)。

1 WWW型雙輸入行星減速器的結(jié)構(gòu)及工作原理

航天伺服雙輸入差速裝置常選用結(jié)構(gòu)簡單的2K-H型輪系。圓柱齒輪2K-H型輪系按結(jié)構(gòu)分類主要有NGW型、NW型、NN型、WW型。前3種結(jié)構(gòu)都包含有內(nèi)齒輪，而小尺寸硬齒面精密內(nèi)齒輪加工困難，限制了這類行星輪系在高轉(zhuǎn)速、高精度傳動場合的應(yīng)用。WW型輪系都是由外嚙合齒輪組成，小模數(shù)外齒輪可磨齒加工，獲得較高精度的硬齒面齒輪，但WW型差速輪系是正號機(jī)構(gòu)，傳動效率低，傳動比大時甚至發(fā)生自鎖，不適合用做動力傳動。因此在WW型差速輪系的基礎(chǔ)上構(gòu)建新型WWW型的外嚙合圓柱齒輪差動輪系，既便于磨齒加工獲得高精度，又具有高的傳動效率，適用于動力傳動。

利用CAXA軟件繪制WWW型雙輸入行星減速器的機(jī)構(gòu)及裝配簡圖如圖1所示。減速器由1個WWW型2K-H負(fù)號差動輪系和1個定軸輪系組合而成。齒輪軸1和齒輪軸6為兩輸入軸，齒輪1和齒輪2 為太陽輪，齒輪3、齒輪4為行星輪，行星架H為輸出軸。齒輪2、齒輪5、齒輪6組成定軸齒輪傳動。齒輪1、齒輪4、齒輪3、齒輪2和行星架H組成兩自由度的行星齒輪傳動，該行星齒輪傳動均為外嚙合。正常工作時，由齒輪軸1和齒輪軸6同時輸入動力源，轉(zhuǎn)換后傳動比為2.5；當(dāng)電機(jī)1故障時，齒輪軸1制動，只有齒輪軸6作為輸入源，轉(zhuǎn)換傳動比為5；電機(jī)2故障時同理可保證傳動比為5。

圖1 WWW型行星減速器的機(jī)構(gòu)及裝配簡圖

表1 各齒輪參數(shù)

利用三維建模軟件CREO，建立各構(gòu)件的三維模型并進(jìn)行模型的虛擬裝配，裝配三維圖如圖2所示。

圖2 三維裝配模型

2 行星減速器傳動系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

WWW型雙輸入行星減速器的齒輪傳動系統(tǒng)由差動輪系和定軸輪系兩部分組成。定軸輪系中齒輪轉(zhuǎn)動時軸線位置固定，適宜采用固定坐標(biāo)系建立振動數(shù)學(xué)模型。差動輪系中行星齒輪在繞中心輪轉(zhuǎn)動的同時還會繞自身中心軸線自轉(zhuǎn)，齒輪在嚙合傳動時坐標(biāo)系是變化的，所以行星齒輪3和齒輪4應(yīng)該采用動坐標(biāo)系建立振動數(shù)學(xué)模型?；谛行羌芙⒉顒虞喯档膭幼鴺?biāo)系，并以行星齒輪的中心位置為動坐標(biāo)原點(diǎn)可得差動輪系端面動力學(xué)模型示意圖，如圖3所示。

圖3 差動輪系端面動力學(xué)模型示意圖

如圖3所示，首先選擇行星架、中心輪1和中心輪2共同的回轉(zhuǎn)中心O為原點(diǎn)，建立它們各自的動坐標(biāo)系，分別表示為{xH,yH,zH}、{x1,y1,z1}、{x2,y2,z2}；各坐標(biāo)系均以ωH的角速度隨行星架和中心輪中心轉(zhuǎn)動；接著以行星輪回轉(zhuǎn)中心為動坐標(biāo)系中心建立兩組行星輪的動坐標(biāo)系，行星齒輪3的動坐標(biāo)系為{xpi,ypi,zpi}，其中i=1,2,3,4；行星齒輪4的動坐標(biāo)系為{xqi,yqi,zqi}，其中i=1,2,3,4，兩組行星齒輪的動坐標(biāo)系均以ωH的角速度隨行星架轉(zhuǎn)動。因?yàn)榈趇個行星輪中心與行星架中心的連線和行星架動坐標(biāo)系沿xH軸的夾角為Φi，Φi=2π(i-1)/4，所以行星齒輪3中動坐標(biāo)系各軸方向可以進(jìn)行定義，xpi軸沿夾角Φi正方向向外，ypi軸垂直于夾角方向并與行星架轉(zhuǎn)向相同，zpi軸由行星輪中心垂直指向外，行星齒輪4坐標(biāo)軸定義同理可得。對于定軸輪系，采用定坐標(biāo)系為{xj,yj,zj}，其中j=2,5,6，分別表示齒輪2、齒輪5和齒輪6。最后各構(gòu)件沿橫向振動的微位移用xn、yn表示，沿軸向振動的微位移用zn表示，扭轉(zhuǎn)振動的微位移用un表示，其中n=1,2,…,5,6,H。

在對減速器傳動系統(tǒng)模型進(jìn)行動力學(xué)分析時，為了簡化模型，方便計(jì)算，進(jìn)行了以下假設(shè)：1)采用集中質(zhì)量法，將嚙合輪齒和軸承支撐簡化為彈簧，將齒輪和行星架等構(gòu)件視作集中剛體質(zhì)量塊；2)忽略齒側(cè)間隙、綜合誤差和輪齒間的相互滑動及摩擦的影響；3)系統(tǒng)只需建立無阻尼自由振動方程，故忽略阻尼的影響；4)兩組行星齒輪中每個齒輪的質(zhì)量、結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)動慣量和嚙合剛度等完全一致。

2.1 傳動系統(tǒng)相對位移分析

1)行星輪系彈性形變分析

假設(shè)中心輪指向行星輪的方向?yàn)閲Ш暇€正方向，根據(jù)圖3中差動輪系端面動力學(xué)模型示意圖進(jìn)行齒輪端面嚙合角、嚙合剛度和支撐剛度的定義，αt14為中心輪1與行星輪4的端面嚙合角，αt43為行星輪4與行星輪3的端面嚙合角，αt23為中心輪2與行星輪3的端面嚙合角；k14為中心輪1與行星輪4的嚙合剛度，k43為行星輪4和行星輪3嚙合剛度，k23為中心輪2與行星輪3的嚙合剛度；k1、k2、k3、k4分別為中心輪和行星輪的支撐剛度。利用定義好的齒輪參數(shù)進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)計(jì)算可得各傳動構(gòu)件的彈性形變?nèi)缦拢?/p>

中心輪1相對行星輪4的位移沿嚙合線方向投影為

δ1,qi=u1-uqi+x1sin(αt14-Φi)-xqisinαt14+

y1cos(αt14-Φi)-yqicosαt14；

中心輪2相對行星輪3的位移沿嚙合線方向投影為

δ2,pi=u2-upi+x2sin(αt23-Φi)-xpisinαt23+

y2cos(αt23-Φi)-ypicosαt23；

行星輪3相對行星輪4的位移沿嚙合線方向投影為

δqi,pi=uqi-upi+xqisinαt43-xpisinαt43+yqicosαt43-ypicosαt43；

行星架H相對行星輪3的相對位移和扭轉(zhuǎn)位移在行星架坐標(biāo)系上的投影為

行星架H相對行星輪4的相對位移和扭轉(zhuǎn)位移在行星架坐標(biāo)系上的投影為

2)定軸輪系彈性形變分析

圖4為定軸傳動部分端面動力學(xué)模型示意圖。圖中α25為齒輪2與齒輪5的嚙合角，α56為齒輪5與齒輪6的嚙合角；k25為齒輪2與齒輪5的嚙合剛度，k56為齒輪5與齒輪6的嚙合剛度；k2、k5、k6分別為齒輪2、齒輪5、齒輪6的支撐剛度。

圖4 定軸輪系端面動力學(xué)模型示意圖

齒輪5相對齒輪2的位移沿嚙合線方向的投影為

δ5,2=u5-u2+x5sinα25-x2sinα25-y5cosα25+y2cosα25；

齒輪6相對齒輪5的位移沿嚙合線方向的投影為

δ6,5=u6-u5+x6sinα56-x5sinα56+y6cosα56-y5cosα56。

2.2 傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程

定義齒輪1,2,…,6和行星架H的質(zhì)量分別為m1,m2,…,m6,mH；齒輪1和齒輪6的基圓半徑分別為rb1和rb6；在齒輪1和齒輪6上的輸入轉(zhuǎn)矩為T1、T6，行星架負(fù)載轉(zhuǎn)矩為TH。將各傳動構(gòu)件的彈性形變代入牛頓第二運(yùn)動定律，可得到各構(gòu)件的動力學(xué)微分方程。

中心輪1的動力學(xué)微分方程為：

第i個行星輪4的動力學(xué)微分方程為：

第i個行星輪3的動力學(xué)微分方程為：

行星架H的動力學(xué)微分方程為：

中心輪2的動力學(xué)微分方程為：

齒輪5的動力學(xué)微分方程為：

齒輪6的動力學(xué)微分方程為：

3 行星減速器振動特性分析

3.1 齒輪傳統(tǒng)系統(tǒng)嚙合剛度和支撐剛度的確定

行星減速器工作時，傳動系統(tǒng)齒輪嚙合過程中嚙合齒數(shù)是呈周期性變化的，輪齒承受載荷也是周期性變化的。所以嚙合剛度也是隨時間變化而周期性變化的，即嚙合剛度是時變剛度。時變嚙合剛度的計(jì)算方法主要有理論計(jì)算方法，如材料力學(xué)法和彈性力學(xué)法[3]；數(shù)值計(jì)算方法如有限元法、邊界元法和回歸法，其中材料力學(xué)法應(yīng)用較早也較廣泛，典型方法有石川公式和威伯-班納斯切克公式[4]。為了簡化計(jì)算，本型行星減速器使用平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度。平均嚙合剛度表示1mm齒寬上的剛度，再將其轉(zhuǎn)換成齒輪對嚙合齒寬上的嚙合剛度k，利用石川公式計(jì)算平均嚙合剛度[5]。石川公式計(jì)算過程如下：

cγ=(0.75εα+0.25)c′

k=106·cγ·b

式中：εα為端面重合度；c′為單對齒嚙合剛度；cγ為1mm齒寬上產(chǎn)生的平均嚙合剛度，N·mm-1·μm-1；b為接觸齒寬，k為接觸齒寬上產(chǎn)生的平均嚙合剛度，N/m，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 齒輪對嚙合剛度

WWW型雙輸入行星減速器，所有軸承均為深溝球軸承。為了簡化計(jì)算，根據(jù)文獻(xiàn)和經(jīng)驗(yàn)公式直接選取，取軸承徑向支撐剛度為1×108N/m，軸向支撐剛度為1×107N/m。

3.2 傳動系統(tǒng)固有振動特性分析

固有頻率是系統(tǒng)的物理特性，與其所受到的外部載荷無關(guān)。在忽略傳動系統(tǒng)的外部載荷與阻尼影響的情況下，建立WWW型行星齒輪傳動系統(tǒng)的自由振動微分方程

式中：M為傳動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；X為傳動系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣；K為傳動系統(tǒng)的總剛度，包括嚙合剛度和支撐剛度。

自由振動微分方程對應(yīng)的特征值問題

式中：ωi和φi分別為第i階固有圓頻率和振型矢量,i=1,p1,…，6,H。

進(jìn)一步得出系統(tǒng)第i階固有頻率為

fi=ωi/2π

代入傳動系統(tǒng)齒輪基本參數(shù)，求出的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為52階矩陣，借助MATLAB軟件編程對特征值求解，利用eig函數(shù)求出矩陣的全部特征值，程序如下(程序中略去了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的輸入)：

E=eig(inv(M)*K);

E1=sqrt(E);

f1=E1./(2*pi);

[s,f2]=sort(T1);

運(yùn)行程序可以得到的所有特征值，這些特征值即為傳動系統(tǒng)各階的固有頻率。

由MATLAB軟件的計(jì)算結(jié)果可得，WWW型行星齒輪減速器傳動系統(tǒng)的最低固有頻率為1 848Hz，所以只有當(dāng)影響激勵接近或者達(dá)到1 848Hz時，才會引起減速器傳動系統(tǒng)共振。相關(guān)技術(shù)要求給減速器的最高轉(zhuǎn)速為6 100r/min，通過最高旋轉(zhuǎn)頻率計(jì)算公式可得最高轉(zhuǎn)速下的最高旋轉(zhuǎn)頻率為101.67Hz。

根據(jù)最高嚙合頻率計(jì)算公式，選定軸輪系可得最高轉(zhuǎn)速下的最高嚙合頻率為2 440Hz。

最高旋轉(zhuǎn)頻率和最高嚙合頻率都遠(yuǎn)離理論方法計(jì)算的傳動系統(tǒng)最低固有頻率1 848Hz，所以不會引起減速器共振。通過分析傳動系統(tǒng)的固有振動特性，可為減速器工作時避開共振頻率提供依據(jù)。

4 基于有限元的減速器傳動系統(tǒng)模態(tài)分析

有限元模態(tài)分析是通過有限元法計(jì)算得出結(jié)構(gòu)部件特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型的過程。其分析過程是將線性定常系統(tǒng)的自由振動解耦成N個正交的單自由度振動系統(tǒng)[6]。在利用經(jīng)典的線性理論方法對齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行固有頻率求解時，理想化了一些諸如齒側(cè)間隙、摩擦、阻尼影響以及齒輪嚙合時剛度矩陣的時變問題等。然而借助有限元模態(tài)分析則可以方便地解出復(fù)雜系統(tǒng)的非線性模態(tài)。本文利用有限元軟件ANSYS Workbench 對減速器齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行有限元模態(tài)分析，計(jì)算出各階固有頻率和模態(tài)振型。

首先在Pro/E中建立齒輪傳動系統(tǒng)的簡化三維模型，然后將簡化后的三維模型以stp格式導(dǎo)入到ANSYS Workbench中的Modal模塊；接著定義材料屬性：密度為7 800 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.29，并按照程序?qū)鲃酉到y(tǒng)模型進(jìn)行智能網(wǎng)格劃分；然后定義約束：在各對嚙合齒輪之間定義接觸，接觸類型為無摩擦Frictionless Support，在各轉(zhuǎn)動件添加圓柱支撐Cylindrical Support，除行星輪約束軸向位移之外，其他轉(zhuǎn)動件約束徑向位移和軸向位移。最后求解出傳動系統(tǒng)前6階固有頻率和模態(tài)振型。

傳動系統(tǒng)的前6階固有頻率如表3所示。

表3 傳動系統(tǒng)前6階固有頻率

傳動系統(tǒng)的前6階固有頻率對應(yīng)的模態(tài)振型如圖5所示。

圖5 傳動系統(tǒng)前6階模態(tài)振型圖

基于有限元ANSYS Workbench計(jì)算出減速器齒輪傳動系統(tǒng)的最低固有頻率為1 865.1Hz，當(dāng)影響激勵接近或達(dá)到1 865.1Hz時傳動系統(tǒng)會發(fā)生共振，造成齒輪損壞。已知輸入最大轉(zhuǎn)速6 100r/min,即減速器的最大旋轉(zhuǎn)頻率為101.67Hz，傳動系統(tǒng)最大嚙合頻率為2 440Hz，都遠(yuǎn)離傳動系統(tǒng)的最低固有頻率，所以減速器傳動系統(tǒng)不會發(fā)生共振。

5 結(jié)語

根據(jù)某航天飛行器的技術(shù)要求，設(shè)計(jì)出滿足需求的高性能WWW型雙輸入行星減速器；利用理論計(jì)算方法和有限元模態(tài)分析法對減速器齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行振動特性分析，結(jié)果驗(yàn)證了減速器影響激勵不會引起傳動系統(tǒng)的共振。

理論計(jì)算時，由于建立的齒輪傳動系統(tǒng)模型忽略齒輪和行星架自身彈性變形，忽略阻尼和摩擦因素的影響以及簡單化齒輪嚙合剛度時變性等因素，因此理論計(jì)算的固有頻率與減速器傳動系統(tǒng)實(shí)際固有頻率存在一定偏差。但理論計(jì)算出的固有頻率已經(jīng)遠(yuǎn)離了傳動系統(tǒng)影響激勵引發(fā)的頻率。

基于有限元模態(tài)分析，能夠準(zhǔn)確有效地計(jì)算出非線性復(fù)雜系統(tǒng)的固有振動特性，相對于傳統(tǒng)理論計(jì)算法更加準(zhǔn)確，且有限元模態(tài)分析的固有頻率結(jié)果與理論計(jì)算的結(jié)果接近，由此驗(yàn)證了利用理論法計(jì)算的齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程的正確性，同時為減速器避免共振提供了重要的參考數(shù)據(jù)。由于研究時間和資源有限，只對靜態(tài)狀況下減速器傳動系統(tǒng)部分做了振動特性分析，對于減速器傳動系統(tǒng)帶有實(shí)際載荷及轉(zhuǎn)速的預(yù)應(yīng)力振動特性分析需要在今后工作中逐步完成。