空中交通延誤傳播動(dòng)力學(xué)的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)建模與分析

Qing Cai, Sameer Alam *, Vu N. Duong

? 2021 THE AUTHORS. Published by Elsevier LTD on behalf of Chinese Academy of Engineering and Higher Education Press Limited Company This is an open access article under the CC BY-NC-ND license(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

1. 引言

空中交通方便了人們的生活，是現(xiàn)代重要的交通基礎(chǔ)設(shè)施?？罩薪煌ň哂邪踩愿?、速度快的特點(diǎn)，是旅客出行的首選，由此使得空中交通需求顯著增長[1,2]?？罩薪煌ㄅc空中交通系統(tǒng)相互關(guān)聯(lián)，空中交通系統(tǒng)包括了多種以非線性方式相互作用的因素[3,4]。空中交通系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力，加上各種如惡劣天氣、空域限制、機(jī)械故障等不確定因素，導(dǎo)致空中交通出現(xiàn)了難以解決的延誤問題[5]。由于空中交通需求未來將不斷增加，延誤問題在今后10年里可能會(huì)惡化。

空中交通延誤是現(xiàn)代空中交通管理（ATM）面臨的最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)之一。它不僅會(huì)損害乘客、航空公司和機(jī)場的利益，還會(huì)造成經(jīng)濟(jì)損失[6,7]。此外，空中交通延誤還加劇了對自然環(huán)境的污染[8,9]。需要指出的是，由于多種因素的影響，空中交通延誤必然會(huì)發(fā)生[5,10]。在過去的幾十年里，人們非常努力地調(diào)查了延誤的原因及其內(nèi)部的因果關(guān)系[11,12]。在全面了解了造成空中交通延誤的各種因素之間的關(guān)系后，科學(xué)家不遺余力地尋求補(bǔ)救措施以緩解延誤問題[13-15]。其中代表性的舉措包括空中交通流量管理（air traffic flow management, ATFM）[16,17]、地面等待策略（ground delay programs, GDP）[18,19]和協(xié)同決策（collaborative decision-making ,CDM）[20-22]。事實(shí)證明，以上這些措施都能減緩空中交通延誤。

雖然在緩解空中交通延誤方面仍需要更多的合作和努力，但延誤預(yù)測仍是現(xiàn)代空中交通管理中一個(gè)非?；A(chǔ)而又具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[23,24]。在決策過程中，航班延誤預(yù)測對于航空從業(yè)者具有重要意義[25,26]。因此到目前為止，研究人員研發(fā)出許多預(yù)測航班延誤的方法。其中，以機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)為代表的數(shù)據(jù)科學(xué)在延誤預(yù)測方面的發(fā)展勢頭迅猛[27-30]。關(guān)于延誤預(yù)測的文獻(xiàn)綜述可以在參考文獻(xiàn)[26]中找到。盡管存在大量的航班延誤預(yù)測方法，但由于可用的航班運(yùn)營數(shù)據(jù)量和空中交通系統(tǒng)的高度復(fù)雜性，創(chuàng)建精確的預(yù)測模型或方法仍很困難。

實(shí)際上，航空公司制定航班日程表的目的是為了最大限度地增加乘客的流動(dòng)。因此，一架飛機(jī)的行程通常由若干個(gè)航班組成（一個(gè)航班指的是兩個(gè)機(jī)場之間的飛行，這是飛機(jī)行程的一部分）。因此，前序航班的延誤會(huì)影響后序航班，造成延誤的連鎖反應(yīng)，而一架飛機(jī)造成的連鎖反應(yīng)將繼續(xù)導(dǎo)致其他飛機(jī)的連鎖反應(yīng)。因此，空中交通延誤表現(xiàn)出的連鎖反應(yīng)對航空工作者十分不利[31]。根據(jù)連鎖反應(yīng)，也被稱為延誤傳播[32]可知，前序航班的延誤在復(fù)雜的空中交通系統(tǒng)中會(huì)不斷傳播。對延誤傳播的研究吸引了無數(shù)研究者的關(guān)注，這些研究人員不僅來自航空領(lǐng)域，還來自計(jì)算機(jī)科學(xué)、管理科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)等領(lǐng)域[33,34]。與延誤預(yù)測的研究相比，延誤傳播的研究可能更具有吸引力，因?yàn)楹笳呖梢詭椭ㄎ辉斐裳诱`的源頭，計(jì)算連鎖反應(yīng)，了解延誤的演變，并且能采取有效措施減弱連鎖效應(yīng)[31]。

關(guān)于航班延誤傳播的研究已經(jīng)有很多。在這些研究中，研究人員研究了美國[32,35,36]、歐洲[37]和中國[38]等地區(qū)航班的延誤傳播現(xiàn)象。為了測量延誤傳播數(shù)量，研究人員設(shè)計(jì)了包括延誤乘數(shù)（DM）指數(shù)[39]在內(nèi)的幾個(gè)指標(biāo)。為了追蹤初始的延誤是如何傳播的，科學(xué)家主要使用基于智能體的方法來建模傳播過程[32,35,37]。由于延誤，多個(gè)航班可能需要同時(shí)提供服務(wù)。為了解決這一沖突，科學(xué)家使用了排隊(duì)論[36]。

因?yàn)榭罩薪煌ㄉ婕岸喾N相互作用的因素，所以延誤傳播是一種集合現(xiàn)象[5,40,41]。將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和工具引入空中交通研究是必要而直接的[40,42,43]。雖然航空運(yùn)輸?shù)膹?fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模歷史較短[44,45]，但其系統(tǒng)化的視角給空中交通管理提供了新的思路。雖然現(xiàn)有的有關(guān)延誤傳播的研究大部分都集中于連鎖反應(yīng)預(yù)測，但一些關(guān)于延誤傳播分析的網(wǎng)絡(luò)模型的研究已經(jīng)顯示出巨大的潛力[35,36,46]。然而，據(jù)我們所知，參考文獻(xiàn)[35,36,46]未能利用所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型的時(shí)空特性。因此，這些工作不能全面了解延誤傳播動(dòng)力學(xué)。

在本研究中，我們提出了有關(guān)空中交通延誤傳播動(dòng)力學(xué)的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)視角。具體地說，對于一組給定的飛機(jī)日志，每個(gè)日志涵蓋一個(gè)星期的飛行計(jì)劃，我們用時(shí)空網(wǎng)絡(luò)對每日交通場景進(jìn)行建模，假定每架飛機(jī)的首飛段都有一個(gè)起飛延誤。我們提出一種簡單而有效的延誤傳播機(jī)制來傳遞飛機(jī)循環(huán)時(shí)的延誤。如果多個(gè)航班由于延誤而在同一機(jī)場同時(shí)請求服務(wù)，我們將應(yīng)用我們開發(fā)的延誤分配策略來對航班進(jìn)行優(yōu)先排序。在給定的時(shí)間點(diǎn)，我們構(gòu)建了以延誤起飛航班為邊界的空間機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。在一天的周期中，我們構(gòu)建了一個(gè)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。接下來，我們分析了所構(gòu)建的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的性能程度，以量化延誤傳播動(dòng)力的強(qiáng)度、速度和嚴(yán)重程度。為了驗(yàn)證所提出的網(wǎng)絡(luò)視角的有效性，我們對2016年下半年在東南亞地區(qū)（SAR）和美國運(yùn)營的國內(nèi)航班開展了案例研究。結(jié)果表明，利用網(wǎng)絡(luò)法可以得到延誤傳播過程的細(xì)節(jié)。實(shí)驗(yàn)還表明，SAR內(nèi)的航班延誤傳播動(dòng)力在強(qiáng)度、嚴(yán)重程度和速度方面與美國有很大的不同。

2. 相關(guān)背景信息

2.1. 空間網(wǎng)絡(luò)

實(shí)踐證明，網(wǎng)絡(luò)建模是獲取復(fù)雜系統(tǒng)性行為的有效工具[44,45]。一般來說，網(wǎng)絡(luò)是節(jié)點(diǎn)和邊的集合。網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)表示焦點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)或網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的組件，而邊表示組件之間的相互作用或關(guān)系。從數(shù)學(xué)上講，網(wǎng)絡(luò)用G= {V,E}與n= |V|表示為節(jié)點(diǎn)集V的基數(shù)，用m= |E|表示為邊集E的基數(shù)。網(wǎng)絡(luò)通常用鄰接矩陣A表示，其中的αij量化了節(jié)點(diǎn)i和j之間的關(guān)系。

本文研究了空中交通的延誤傳播動(dòng)力。為了捕獲系統(tǒng)延誤，我們構(gòu)建了以機(jī)場為節(jié)點(diǎn)的機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。對于機(jī)場網(wǎng)絡(luò)G，如果有一架航班從機(jī)場i飛到機(jī)場j，則創(chuàng)建一條連接節(jié)點(diǎn)vi∈V和vj∈V的邊eij∈E。

所構(gòu)建的機(jī)場網(wǎng)絡(luò)可以根據(jù)具體的計(jì)算目的進(jìn)行加權(quán)或定向。由于機(jī)場包含地理信息，因此所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)為空間網(wǎng)絡(luò)[47]。

2.2. 時(shí)間網(wǎng)絡(luò)

實(shí)際上，復(fù)雜系統(tǒng)通常隨時(shí)間變化，它們的結(jié)構(gòu)會(huì)隨著時(shí)間而改變。為了追蹤它們的變化，科學(xué)家開發(fā)了一個(gè)有效的工具，即時(shí)間網(wǎng)絡(luò)[48]。對于一個(gè)給定的時(shí)間段，一個(gè)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)G可以用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)序列表示，即G= {Gt0,Gt1, ...,Gtend}，其中，Gti為時(shí)間點(diǎn)ti的瞬時(shí)網(wǎng)絡(luò)。

在本研究中，我們構(gòu)建了機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的邊結(jié)構(gòu)取決于空中交通需求，而空中交通需求是隨時(shí)間變化的。因此，我們可以通過創(chuàng)建一個(gè)機(jī)場網(wǎng)絡(luò)序列來建立時(shí)間機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。如前所述，機(jī)場包括地理信息。因此，我們所構(gòu)建的機(jī)場網(wǎng)絡(luò)是時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。

2.3. 空中交通延誤

延誤的概念在交通領(lǐng)域很普遍。在空中交通領(lǐng)域，延誤通常被定義為計(jì)劃航班運(yùn)行時(shí)間與實(shí)際航班運(yùn)行時(shí)間的差值。根據(jù)美國聯(lián)邦航空管理局（Federal Aviation Administration, FAA）提供的定義，如果航班超過預(yù)定時(shí)間15 min或以上，則被視為延誤[49]。在本研究中，如果航班延誤符合這一定義，我們認(rèn)為該航班延誤。

飛機(jī)的飛行過程通常包括兩個(gè)階段：地面階段，這一階段包括起飛和降落；空中階段（從輪子離開地面到輪子接觸地面），這一階段包括爬升、航行和下降。

航班延誤可能發(fā)生在任何一個(gè)階段。在地面階段，主要有以下5種類型的延誤。

· 起飛延誤：實(shí)際起飛時(shí)間與預(yù)定起飛時(shí)間不同。

· 起飛前滑行延誤：實(shí)際滑行時(shí)間與預(yù)定滑行時(shí)間不同。

· 著陸后滑行延誤：著陸后實(shí)際滑行時(shí)間與預(yù)定滑行時(shí)間不同。

· 到達(dá)延誤：實(shí)際到達(dá)登機(jī)口的時(shí)間和預(yù)定到達(dá)登機(jī)口的時(shí)間不同。

· 等泊時(shí)間延誤：實(shí)際的等泊時(shí)間和預(yù)計(jì)等泊時(shí)間不同。

在空中階段，空中延誤是指實(shí)際空中時(shí)間與預(yù)定空中時(shí)間之間的差值。

3. 研究問題與貢獻(xiàn)

3.1. 問題描述

本研究利用動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)建模與分析，研究空中交通的延誤傳播動(dòng)力學(xué)。圖1是研究問題的概念圖和基于網(wǎng)絡(luò)研究方法的核心思想。

圖1（a）描繪了一組飛機(jī)執(zhí)行飛行路線的空中交通情景。條件是每架飛機(jī)的首段航程都有起飛延誤。例如，如圖1（a）底部所示，從望加錫出發(fā)飛往雅加達(dá)的航班起飛時(shí)間延誤了10 min。由于航班的輪換，最初的延誤會(huì)傳播并引起其他航班的延誤。我們的研究目的旨在了解延誤傳播動(dòng)力學(xué)。更具體地說，我們的目標(biāo)是回答以下問題：①延誤傳播有多少？②延誤傳播能持續(xù)多長時(shí)間？③延誤傳播的速度有多快？

圖1. 研究問題的概念圖和所提出的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)方法的核心思想（研究空中交通延誤的傳播動(dòng)力學(xué)）。（a）4架飛機(jī)（以顏色區(qū)分）執(zhí)行其飛行計(jì)劃，而每架飛機(jī)首段航程均有起飛延誤；（b）對提出的網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行總結(jié)。

為了探究這些問題的答案，我們提出了動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)視角。首先將空中交通場景轉(zhuǎn)換為一個(gè)時(shí)空機(jī)場延誤網(wǎng)絡(luò)，將空間機(jī)場作為節(jié)點(diǎn)，延誤起飛航班作為邊[圖1（b）]。然后，我們分析了所構(gòu)建的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的程度屬性，以量化延誤傳播動(dòng)力的強(qiáng)度、嚴(yán)重程度和速度。

3.2. 研究貢獻(xiàn)

本研究為理解空中交通的延誤傳播動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)視角，對空中交通管理的發(fā)展有以下幾點(diǎn)貢獻(xiàn)：

（1）為延誤傳播動(dòng)力學(xué)提供了細(xì)粒度視圖?，F(xiàn)有的延誤傳播研究只提供了粗粒度的視圖，本研究利用動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)建模和分析，提供了一個(gè)細(xì)粒度的時(shí)空分辨率視圖。在假定的機(jī)場、時(shí)間和持續(xù)周期內(nèi)，基于網(wǎng)絡(luò)的方法可以追蹤延誤傳播的演變過程。

（2）為策略性空中交通管理提供幫助。本研究從強(qiáng)度、嚴(yán)重程度和速度方面對延誤傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。所提出的網(wǎng)絡(luò)方法可以用于實(shí)時(shí)的空中交通延誤傳播分析。因此，本研究的結(jié)果可以幫助航空公司提高對航班時(shí)刻表預(yù)評(píng)估的質(zhì)量，通過連鎖反應(yīng)研究使其對航班時(shí)刻表進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整以減少空中交通延誤。此外，由于網(wǎng)絡(luò)方法可以利用時(shí)空分辨率追蹤延誤傳播過程，所以本研究結(jié)果將助力航空導(dǎo)航服務(wù)提供商和機(jī)場提供更好的服務(wù)。

（3）為民航協(xié)同決策提供幫助。民航協(xié)同決策被認(rèn)為是現(xiàn)代空中交通管制的一個(gè)有前景的范例。本研究以SAR和美國的國內(nèi)航班為例進(jìn)行研究，結(jié)果表明只有樞紐機(jī)場會(huì)遭遇嚴(yán)重的延誤傳播。由于該方法可以實(shí)時(shí)估計(jì)假定機(jī)場的時(shí)間傳播延誤，因此航空公司可以選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間在樞紐機(jī)場使用民航協(xié)同決策，以減輕延誤傳播的影響。在采取若干協(xié)同決策措施之后，可以將本文所提出的方法重新應(yīng)用于新的交通場景，以幫助決策者在空中交通管理中做出決策。

4. 研究方法

4.1. 方法概述

為了解決研究問題，我們首先對提出的方法進(jìn)行概述，并在圖2中描述該過程。

從圖2可以看出，該方法的核心思想是構(gòu)建時(shí)空機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們開發(fā)了一種延誤傳播機(jī)制和一種延誤分配機(jī)制。接下來，我們將詳細(xì)闡述這兩個(gè)關(guān)鍵要素。

圖2. 航空延誤傳播動(dòng)力學(xué)的網(wǎng)絡(luò)方法流程圖。

4.2. 首段起飛延誤

在本研究中，我們將首段起飛延誤稱為飛機(jī)行程中第一航段的延誤。首段起飛延誤為激勵(lì)源，以引起連鎖反應(yīng)（出發(fā)延誤和到達(dá)延誤）。有兩種方法可以計(jì)算首段起飛延誤：從數(shù)據(jù)中獲得或從給定分布中抽樣。

這里，我們直接從真實(shí)的飛機(jī)運(yùn)行數(shù)據(jù)中得出首段飛行的出發(fā)延誤。這樣做有兩個(gè)原因：首先，從真實(shí)數(shù)據(jù)中獲得首段起飛延誤是直接且容易的；其次，基于采樣的方法需要先驗(yàn)知識(shí)，如延誤分布。

4.3. 延誤傳播機(jī)制

延誤傳播機(jī)制用于捕獲連鎖反應(yīng)造成的延誤。換句話說，對于所有航班fi∈[1,Nf]，傳播機(jī)制用于估計(jì)實(shí)際起飛時(shí)間和實(shí)際到達(dá)時(shí)間其中Nf為航班總數(shù)。延誤傳播機(jī)制基于以下假設(shè)進(jìn)行工作。

（1）航班起飛時(shí)間不得提前5 min以上?，F(xiàn)實(shí)中，航空公司可以提前制定飛行計(jì)劃，從而提前出發(fā)（實(shí)際情況可能會(huì)比原定計(jì)劃提前幾個(gè)小時(shí)）。除了調(diào)整飛行計(jì)劃，一旦完成所有必要的準(zhǔn)備程序（如加油、有效載荷裝載和乘客登機(jī)），一些航班可能會(huì)比計(jì)劃稍早起飛。在我們的模型中，假設(shè)最早的起飛時(shí)間不能超過預(yù)定起飛時(shí)間5 min。

（2）出發(fā)和到達(dá)同一機(jī)場的跑道不同。航班起降需要機(jī)場跑道服務(wù)。在本研究中，假設(shè)每個(gè)機(jī)場使用不同的跑道分別容納起降航班。在實(shí)際情況中，某些機(jī)場只有一條跑道。此假設(shè)簡化了后續(xù)建模。

（3）緩解尾流的最小時(shí)間間隔為2 min。為了減輕尾流，我們將出發(fā)/到達(dá)的最小間隔時(shí)間設(shè)定為2 min。因此，每個(gè)跑道每小時(shí)最多可服務(wù)30個(gè)航班?？紤]本研究中大多數(shù)飛機(jī)都是中等大小，基于國際民用航空組織（ICAO）規(guī)定的尾流湍流類別[50]設(shè)置最小間隔時(shí)間。

（4）空中飛行可能會(huì)有延誤。由于對流天氣、空域限制、機(jī)場擁擠等各種因素，航班可能會(huì)出現(xiàn)到達(dá)延誤。與關(guān)于延誤分析的現(xiàn)有研究不同，本研究假定航路階段沒有發(fā)生延誤，將飛機(jī)的機(jī)載延誤引入了我們的模型。我們假設(shè)航班的空中延誤是起飛延誤和預(yù)定飛行時(shí)間的非線性函數(shù)。該假設(shè)還提供了航班減少空中延誤的可能性。

基于以上假設(shè)，接下來我們將通過以下方式對所有的fi∈[1,Nf]進(jìn)行以及估算。

（1）如果fi是飛機(jī)行程的第一航段，則對的估算如下：

（2）如果fi是飛機(jī)行程的中間飛行航段，則可以通過以下方式對進(jìn)行估算：式中，表示航班fi-1的最短周轉(zhuǎn)時(shí)間，航班fi-1是fi的前一航班。

需要注意的是，不同的飛機(jī)對應(yīng)不同的最小周轉(zhuǎn)時(shí)間。通常，較大尺寸的飛機(jī)需要的最小周轉(zhuǎn)時(shí)間更長。對于給定的一組飛行計(jì)劃，我們將飛機(jī)分為三類：中型、大型和重型。然后，將最小周轉(zhuǎn)時(shí)間TTA分別設(shè)置為60 min、90 min和120 min。

式中，τ fi是一個(gè)隨機(jī)變量，表示計(jì)劃的飛行時(shí)間與估計(jì)的飛行時(shí)間之間的偏差。

在本研究中，我們使用多變量非線性回歸對τ fi進(jìn)行估算。具體如下：

式中，參數(shù)a0、a1、a2從歷史航班運(yùn)行數(shù)據(jù)中獲悉。

4.4. 延誤分配機(jī)制

由于航班延誤，多個(gè)航班可能會(huì)在同一機(jī)場同時(shí)出發(fā)。同樣地，多個(gè)航班可能同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。因此，有必要對所有出發(fā)和到達(dá)航班進(jìn)行優(yōu)先排序，并為請求出發(fā)或到達(dá)的航班分配延誤。鑒于這種情況，建議使用以下混合的出發(fā)和到達(dá)延誤分配機(jī)制，以進(jìn)一步更新和

算法1定義了當(dāng)多個(gè)航班要求與航班fi同時(shí)離開同一機(jī)場時(shí)，對進(jìn)行更新的方式。在算法1的第6步中，變量Tδ表示避免出發(fā)或到達(dá)的尾流湍流的最小時(shí)間間隔。

?

當(dāng)多個(gè)航班要求如航班fi那樣同時(shí)到達(dá)同一機(jī)場時(shí)，為了更新進(jìn)一步開發(fā)了到達(dá)延誤分配機(jī)制。本文所提出的到達(dá)延誤分配機(jī)制的工作方式與算法1中所示的完全相同。這兩種機(jī)制是同時(shí)實(shí)現(xiàn)的。

4.5. 時(shí)空網(wǎng)絡(luò)建設(shè)

上述延誤傳播和分配機(jī)制的目的是估計(jì)所有航班的實(shí)際出發(fā)或到達(dá)時(shí)間。根據(jù)估計(jì)的實(shí)際出發(fā)時(shí)間，對于給定的時(shí)間范圍[t0,tend]，以1 min的時(shí)間分辨率構(gòu)建時(shí)空網(wǎng)絡(luò)G= {Gt0,Gt1, ...,Gtend}，即t1-t0= 1 min。每個(gè)瞬時(shí)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)Gti捕獲了在時(shí)間ti出發(fā)的延誤航班。具體來說，對于網(wǎng)絡(luò)Gti而言，在其起點(diǎn)—目的地（OD）之間構(gòu)建邊，邊的權(quán)重為在ti時(shí)刻出發(fā)的對應(yīng)航班的出發(fā)延誤（以分鐘為單位）。例如，如果某個(gè)航班在ti時(shí)刻從機(jī)場a出發(fā)，其起飛時(shí)間比計(jì)劃的時(shí)間晚10 min，并且要飛往機(jī)場b，則在網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)a和b之間構(gòu)造一條邊權(quán)重為10的邊。Gti可能為空值，因?yàn)樵趖i時(shí)刻所有航班都可能同時(shí)處于空中和（或）地面上。

4.6. 延誤傳播動(dòng)力學(xué)

在文獻(xiàn)中，DM指數(shù)是用于衡量連鎖反應(yīng)延誤的最廣泛的度量標(biāo)準(zhǔn)，可以表示為DM = (D+I)/I，其中I和D分別表示初始延誤和連鎖反應(yīng)延誤。在本研究中，將預(yù)測的起飛延誤作為航班fi的D，因?yàn)榈念A(yù)測是所有航班延誤傳播的協(xié)作行為的結(jié)果。

DM度量可以直接有效地反映總體的反應(yīng)性延誤。然而，其主要優(yōu)點(diǎn)也是其主要缺點(diǎn)。DM度量不能反映延誤傳播過程的時(shí)空動(dòng)態(tài)，而這正是本文提出基于時(shí)空網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)的原因所在。

對于構(gòu)造的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)G，利用Ati來表示其瞬時(shí)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)Gti的鄰接矩陣。δ為一個(gè)持續(xù)時(shí)間。將矩陣Aφδ進(jìn)一步定義如下：

式中，Γ= [t0+ (φ- 1)δ,t0+φδ]，φ∈Φ= [1, (tend-t0)/δ]。φ是Φ范圍內(nèi)的整數(shù)。矩陣Aφδ表示Γ時(shí)間段內(nèi)瞬時(shí)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)Gti的累積網(wǎng)絡(luò)。如4.5小節(jié)所述，瞬時(shí)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)Gti可以為空。通過定義Aφδ，可以避免直接分析時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。

然后，通過以下方式分析Aφδ的時(shí)空性質(zhì)并量化延誤傳播動(dòng)力。

（1）強(qiáng)度。根據(jù)遭受連鎖反應(yīng)而延誤的飛行次數(shù)（以下以DP-mag1表示）和延誤量（以下以DP-mag2表示）來量化延誤傳播的強(qiáng)度。設(shè)為Aφδ的項(xiàng)，則相對于Γ的DP-mag1和DP-mag2的計(jì)算如下：

（2）嚴(yán)重程度。根據(jù)強(qiáng)度的定義，進(jìn)一步定義時(shí)間窗口[t0,tend]的延誤傳播嚴(yán)重程度，如下所示：

從以上等式可以看出，延誤嚴(yán)重程度實(shí)際上是測量強(qiáng)度開始超過其平均值的時(shí)間點(diǎn)與強(qiáng)度從平均值開始減小的時(shí)間點(diǎn)之間的持續(xù)時(shí)間。因此，延誤嚴(yán)重程度是傳播強(qiáng)度可以持續(xù)的時(shí)間。

（3）速度。根據(jù)強(qiáng)度和嚴(yán)重程度的定義，對于給定的時(shí)間窗口[t0,tend]，對傳播速度進(jìn)行量化，如下所示：

從式（12）可以看出，以延誤航班數(shù)為單位，dφδ表示所有機(jī)場之間的平均延誤傳播強(qiáng)度。此處不再贅述關(guān)于的延誤傳播速度的定義，因?yàn)樗哂信c以上公式化的定義類似的形式。

5. 實(shí)驗(yàn)研究

5.1. 測試實(shí)例

第4節(jié)詳細(xì)闡述了所提出的網(wǎng)絡(luò)方法，以了解航空延誤的傳播動(dòng)態(tài)。本節(jié)將說明該方法在實(shí)際飛行計(jì)劃數(shù)據(jù)中的應(yīng)用。

5.1.1. 東南亞地區(qū)航班

在本研究中，我們將SAR的航班作為第一個(gè)案例研究。SAR是亞洲的一個(gè)分區(qū)，由11個(gè)國家組成，總土地面積約為4.5 × 106km2，也是僅次于南亞和東亞的世界上第三大人口最多（總?cè)丝诔^6.41億）的地理區(qū)域。因此，SAR（有700多個(gè)機(jī)場）在世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展和航空運(yùn)輸產(chǎn)業(yè)中都發(fā)揮著重要作用。

我們從新加坡民航局（CAAS）提供的廣播式自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視（ADS-B）數(shù)據(jù)中獲取了SAR的航班時(shí)刻表，該數(shù)據(jù)涵蓋國內(nèi)和全球航班的航班時(shí)刻表，時(shí)間跨度包含2016年的6個(gè)月（六月、七月、九月、十月、十一月和十二月）。從這6個(gè)月的ADS-B數(shù)據(jù)中篩選出SAR的航班時(shí)刻表。

圖3展示了從6個(gè)月的ADS-B數(shù)據(jù)得出的空間機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。邊的權(quán)重等于其兩個(gè)相連機(jī)場之間飛行的航班數(shù)量。圖3所示的網(wǎng)絡(luò)具有139個(gè)節(jié)點(diǎn)和376條邊。對于SAR機(jī)場網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步計(jì)算節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，然后，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重對其進(jìn)行排序。

表1的上半部分總結(jié)了SAR排名前22位的最繁忙的機(jī)場的基本信息。從表1可以看出，節(jié)點(diǎn)吉隆坡國際機(jī)場（WMKK）的未加權(quán)等級(jí)最大（為51），其次是節(jié)點(diǎn)新加坡樟宜機(jī)場（WSSS）的權(quán)重（為42）。馬來西亞吉隆坡國際機(jī)場與SAR中其他機(jī)場的聯(lián)系數(shù)量最多。盡管新加坡樟宜機(jī)場是第二大節(jié)點(diǎn)，但表1記錄的加權(quán)度kw值表明，印度尼西亞蘇加諾-哈達(dá)國際機(jī)場（WIII）可以容納比新加坡樟宜機(jī)場更多的航班。在SAR，馬來西亞和泰國擁有最繁忙的機(jī)場。

圖3. 使用收集的2016年6個(gè)月的ADS-B數(shù)據(jù)構(gòu)建SAR機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。如果兩個(gè)端點(diǎn)之間有航班，則創(chuàng)建一個(gè)邊。

5.1.2. 美國的航班

第二個(gè)案例研究以美國的航班為例。已有文獻(xiàn)對美國航班數(shù)據(jù)進(jìn)行廣泛驗(yàn)證。關(guān)鍵原因是美國飛行數(shù)據(jù)的收集策略已經(jīng)確立，并且該數(shù)據(jù)可供公眾使用，人們可以從網(wǎng)站上獲取美國航班10年的飛行運(yùn)行數(shù)據(jù)。

為了更好地進(jìn)行比較，我們從美國運(yùn)輸統(tǒng)計(jì)局（Bureau of Transportation Statistics, BTS）網(wǎng)站獲得了與SAR數(shù)據(jù)在同一時(shí)間段內(nèi)的美國國內(nèi)航班時(shí)刻表。根據(jù)美國6個(gè)月的國內(nèi)航班時(shí)刻表，構(gòu)建相應(yīng)的機(jī)場網(wǎng)絡(luò)（圖4）。

圖4所示的網(wǎng)絡(luò)具有302個(gè)節(jié)點(diǎn)和2160條邊。就節(jié)點(diǎn)和邊的數(shù)量而言，美國的機(jī)場網(wǎng)絡(luò)比SAR的更復(fù)雜。表1的下半部分總結(jié)了美國排名前22位的最繁忙的機(jī)場的基本信息（按加權(quán)程度排序）。

從表1可以看出，美國機(jī)場的未加權(quán)度k值比SAR機(jī)場的大。與SAR中的每個(gè)頂級(jí)機(jī)場相比，美國的22個(gè)頂級(jí)機(jī)場與其他機(jī)場有更多的聯(lián)系。SAR的每個(gè)機(jī)場平均連接2.7個(gè)機(jī)場，而美國機(jī)場平均連接7.2個(gè)機(jī)場。通過加權(quán)度kw值可看出，機(jī)場數(shù)量和機(jī)場連接數(shù)量越多，其吞吐量就越高。

表1 SAR和美國排名前22位的機(jī)場權(quán)重

5.2. 飛行日志構(gòu)建

本研究旨在調(diào)查連鎖反應(yīng)延誤的傳播動(dòng)力學(xué)。為此，需要構(gòu)建飛行日志，以追蹤連續(xù)飛行航程之間的延誤傳播。所獲得的飛行數(shù)據(jù)包含所有飛機(jī)的尾號(hào)，該尾號(hào)是飛機(jī)的唯一標(biāo)識(shí)符。尾號(hào)相同的航班對應(yīng)同一架飛機(jī)?；诤桨嗟奈蔡?hào)，我們根據(jù)所有航班的預(yù)定起飛時(shí)間按時(shí)間順序?qū)λ泻桨噙M(jìn)行排序，從而構(gòu)建航班飛行日志。

圖4. 使用收集的2016年的6個(gè)月ADS-B數(shù)據(jù)構(gòu)建的美國機(jī)場網(wǎng)絡(luò)。如果兩個(gè)端點(diǎn)之間有航班，則創(chuàng)建一個(gè)邊。

5.3. 延誤統(tǒng)計(jì)信息概述

SAR和美國的航班時(shí)刻表提供了航班的計(jì)劃時(shí)間和實(shí)際時(shí)間，根據(jù)這些時(shí)間，可以知道航班的實(shí)際延誤時(shí)間。接下來介紹有關(guān)延誤的基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)研究。

從圖5的上半部分可以看到，在研究的6個(gè)月的每一個(gè)月內(nèi)，SAR的運(yùn)營機(jī)場數(shù)量約為130個(gè)，幾乎是美國運(yùn)營機(jī)場數(shù)量的三分之一。此外，SAR的每月運(yùn)營航班數(shù)量約為5萬，幾乎是美國的十分之一。從圖5的上半部分也可以看出，SAR航班的準(zhǔn)點(diǎn)率比美國航班低，但是SAR的平均航班延誤遠(yuǎn)低于美國。

圖5中間部分和底部分別顯示了SAR和美國航班延誤的概率分布，以及延誤分布的曲線擬合。在曲線擬合過程中，使用以下三種類型的分布：韋伯分布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布，其概率分布函數(shù)分別表示為：和其中λ、k、u、σ、α、β均為常量。

雖然不同月份的平均延誤率不同，但SAR和美國航班在不同月份的延誤分布有許多相似之處。對于這些曲線擬合，由于R2和均方根誤差（RMSE）這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)度量指標(biāo)，韋伯分布得到最佳擬合曲線。曲線擬合結(jié)果表明，正延誤服從韋伯分布。

5.4. 延誤日期的選擇

原始航班時(shí)刻表數(shù)據(jù)是按照月份記錄的，但鑒于一個(gè)月內(nèi)不同日期的航班延誤具有特殊性，且由于空中交通與技術(shù)、操作和氣象問題有關(guān)，因此以一天為單位分析延誤傳播動(dòng)力學(xué)。具體來說，從給定的每個(gè)月份的數(shù)據(jù)中提取每日的航班時(shí)刻表，作為后續(xù)分析的基礎(chǔ)。

在本研究中，從每個(gè)月中選取4天，即平均出發(fā)延誤最高和最低的各兩天，作為研究的日期。所選取的日期及其相應(yīng)的基本信息如表2所示。

表2 為研究SAR和美國航班延誤傳播動(dòng)力學(xué)而從數(shù)據(jù)中所選取的日期

（續(xù)表）

5.5. 選取起始時(shí)間點(diǎn)

當(dāng)確定了某一天有延誤時(shí)，從原始的飛行數(shù)據(jù)中提取24 h的飛行計(jì)劃。要做到這一點(diǎn)，必須確定起始時(shí)間點(diǎn)，從這個(gè)時(shí)間點(diǎn)最終可以制定飛行路線。因?yàn)檫x擇的出發(fā)時(shí)間點(diǎn)不同會(huì)導(dǎo)致航班行程的不同，從而影響最終的結(jié)果。

為了確定起始時(shí)間點(diǎn)，我們首先以一小時(shí)為間隔，在00:00到24:00的時(shí)間內(nèi)將6個(gè)月的交通需求可視化。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖5. 2016年記錄的SAR和美國航班運(yùn)行數(shù)據(jù)的延誤統(tǒng)計(jì)。Arr：到達(dá)；Dep：出發(fā)；PDF：飛機(jī)延誤的概率分布；RMSE：均方根誤差。

圖6. 從00:00到24:00（UTC時(shí)間），每隔1 h，6個(gè)月的交通需求分布。（a）SAR；（b）美國。

從圖6（a）可以看出，晚上20:00可以被視為非峰荷時(shí)間，因?yàn)樵谶@個(gè)時(shí)間段航班數(shù)量相對較少；而圖6（b）表明，美國空中交通的非峰荷時(shí)間是上午9:00。在本研究中，我們選取圖6所示的非峰荷時(shí)間作為起始時(shí)間點(diǎn)，分別從SAR和美國航班時(shí)刻表中建立每日航班行程。

5.6. 連鎖反應(yīng)延誤分析

對于每個(gè)選定的有延誤的日期，結(jié)合初始航班延誤，應(yīng)用延誤傳播和分配機(jī)制，以計(jì)算剩余航段的連鎖反應(yīng)延誤。為了研究SAR和美國航班連鎖反應(yīng)延誤之間的差異，我們計(jì)算了DM值。此外，基于預(yù)測的連鎖反應(yīng)延誤，我們計(jì)算了延誤航班的分類精度。

圖7. DM度量值的分布（a）和24 d內(nèi)延誤航班的分類精度（b）。

圖7（a）是DM度量值的分布，該度量值用于研究24 d的連鎖反應(yīng)延誤。從圖7可以看出，DM值大多分布在1～2的范圍內(nèi)，這表示1 min的初始延誤將導(dǎo)致大約1 min的連鎖反應(yīng)延誤。

5.7. 延誤傳播動(dòng)力學(xué)

DM度量是一種應(yīng)用極為廣泛的度量時(shí)延傳播效應(yīng)的指標(biāo)。然而，如圖7所示，DM度量很難為延誤傳播動(dòng)力學(xué)的強(qiáng)度、嚴(yán)重程度和速度提供有用的信息，基于這種原因，我們提出了動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)方法。

基于連鎖反應(yīng)延誤，構(gòu)建時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。為了得到延誤傳播的動(dòng)態(tài)，以每小時(shí)的量化度構(gòu)建時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。具體來說，在網(wǎng)絡(luò)建模過程中，我們設(shè)置δ= 60 min，因而可以得到Ф= [1, 24]。

5.7.1. 延誤傳播強(qiáng)度

由圖5可知，到達(dá)和出發(fā)延誤具有近似線性的關(guān)系，因此，本文只關(guān)注出發(fā)延誤。圖8為關(guān)于DP-mag1的延誤傳播強(qiáng)度。2016年7月18日，在SAR的八大機(jī)場中，吉隆坡國際機(jī)場、蘇加諾-哈達(dá)國際機(jī)場和新加坡樟宜機(jī)場最為擁擠，因?yàn)樗鼈兠啃r(shí)約有8個(gè)航班延誤，其余機(jī)場每小時(shí)約有3個(gè)航班延誤。2016年11月30日，由于平均延誤時(shí)間小于2016年7月18日，因此前八大機(jī)場的擁堵程度相對較低，而前三大機(jī)場仍然是最擁擠的。

圖8. 基于DP-mag1指標(biāo)的延誤傳播強(qiáng)度。2016年7月18日（a）和11月30日（b）SAR前22個(gè)機(jī)場的DP-mag1值；2016年7月21日（c）和11月25日（d）美國前40個(gè)機(jī)場的DP-mag1值。

從圖8可以清楚地看出，美國機(jī)場的延誤傳播強(qiáng)度高于SAR。在美國40個(gè)最繁忙的機(jī)場中，大約30%的機(jī)場在所研究的日期中（即2016年7月21日和11月25日）出現(xiàn)擁堵，而排名前兩位的機(jī)場[即亞特蘭大機(jī)場（ATL）和丹佛國際機(jī)場（KDEN）]擁堵最嚴(yán)重，每個(gè)機(jī)場大約有30個(gè)航班延誤。

延誤傳播量與延誤航班數(shù)呈顯著正相關(guān)，與機(jī)場等級(jí)呈正相關(guān)。接下來，根據(jù)每個(gè)機(jī)場發(fā)生的延誤量來研究延誤傳播強(qiáng)度。相應(yīng)的結(jié)果如圖9所示。

圖9. 基于DP-mag2指標(biāo)的延誤傳播強(qiáng)度。2016年7月18日（a）和11月30日（b）SAR前22個(gè)機(jī)場的DP-mag2值；2016年7月21日（c）和11月25日（d）美國前40個(gè)機(jī)場的DP-mag2值。

從圖9可以看出，吉隆坡國際機(jī)場在2016年7月18日（平均74 min）和11月30日（平均64 min）出現(xiàn)嚴(yán)重延誤。假設(shè)機(jī)場以最大吞吐量運(yùn)行，即1 h內(nèi)有30個(gè)航班起飛，2016年7月18日每個(gè)航班平均延誤2.5 min。2016年11月30日的交通擁堵程度低于7月18日，平均延誤時(shí)間減少到2 min。蘇加諾-哈達(dá)國際機(jī)場和新加坡樟宜機(jī)場在這兩天都有嚴(yán)重的延誤。對于清邁國際機(jī)場（VTCC）、檳城國際機(jī)場（WMKP）等一些機(jī)場來說，雖然地面延誤的航班不多，但由于連鎖反應(yīng)延誤仍造成航班嚴(yán)重延誤。

圖9（c）、（d）表明，美國航班的延誤傳播強(qiáng)度比SAR的更顯著。7月21日，最擁堵的亞特蘭大機(jī)場遭遇嚴(yán)重延誤。從圖9可以看出，亞特蘭大機(jī)場每小時(shí)的延誤約為300 min。換言之，地面上的每個(gè)航班平均有10 min的延誤傳播。11月25日，每個(gè)航班的平均傳播延誤為2 min。在SAR的前22個(gè)機(jī)場中，約有25%的機(jī)場出現(xiàn)嚴(yán)重延誤。然而，在美國排名前40位的機(jī)場中，約有40%的機(jī)場出現(xiàn)出發(fā)延誤。

5.7.2. 延誤傳播嚴(yán)重程度

通過對時(shí)空機(jī)場網(wǎng)絡(luò)的分析，可以全面研究延誤傳播動(dòng)力學(xué)的強(qiáng)度。本研究繼續(xù)從嚴(yán)重程度的角度分析延誤傳播動(dòng)力學(xué)。

在本研究中，我們將延誤傳播嚴(yán)重程度定義為傳播強(qiáng)度能夠持續(xù)的時(shí)間。由于強(qiáng)度以兩種方式量化，嚴(yán)重程度也以兩種方式衡量。從圖8的上半部分可以看出，SAR的空中交通高峰時(shí)間（延誤航班數(shù)開始超過平均值的時(shí)間）從凌晨03:00開始，到下午13:00結(jié)束。圖8的中間部分和底部表明，美國的空中交通高峰時(shí)間從下午13:00開始，到凌晨03:00結(jié)束。在圖9中可以觀察到類似的現(xiàn)象。因此，可以得出結(jié)論：美國航班的延誤傳播持續(xù)時(shí)間長達(dá)14 h，SAR航班的延誤傳播持續(xù)時(shí)間為10 h。

從以上結(jié)果可以看出，在給定航班計(jì)劃的情況下，輻度量有助于估計(jì)每個(gè)航班和機(jī)場的延誤量，而嚴(yán)重程度表示延誤傳播過程可以持續(xù)的時(shí)間。基于此，航空公司可以利用所提出的網(wǎng)絡(luò)模型和應(yīng)用量值度量，提前估計(jì)航班計(jì)劃是否會(huì)遭受重大延誤，并因此調(diào)整航班計(jì)劃，以抵消延誤傳播效應(yīng)。此外，空中交通管制員可以利用提出的指標(biāo)，協(xié)助及時(shí)監(jiān)測空中交通狀況。例如，上述結(jié)果表明，亞特蘭大機(jī)場在強(qiáng)度和嚴(yán)重程度方面存在重大延誤。在這種情況下，空中交通管制員可以考慮采取戰(zhàn)略性的空中交通管理措施，如空中交通管理，以平衡交通需求、空域和機(jī)場容量。此外，航空公司、空中交通管制員、機(jī)場和其他利益相關(guān)者可以相互協(xié)作，提出有效的CDM計(jì)劃，以實(shí)現(xiàn)更好的ATM戰(zhàn)略。

5.7.3. 延誤傳播速度

除了強(qiáng)度和嚴(yán)重程度方面的延誤傳播動(dòng)力學(xué)，航空工作者可能想知道延誤傳播的速度有多快。根據(jù)第4.6節(jié)給出的DP-spe定義，可以計(jì)算SAR和美國航班的延誤傳播速度。

圖10顯示了在上述4天中運(yùn)行的航班的延誤傳播速度。在圖10中，紅色實(shí)心曲線記錄了滿足φ∈Φ中dφδ的值，即用矩陣Aφδ表征時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的平均度。如4.5節(jié)所述，Gti網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建可以分析不同級(jí)別的延誤。本研究還計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)的平均度，用Aφδ來表征，不包括TDD＜ 15的邊，該邊由藍(lán)色實(shí)心曲線表示。

圖10. 關(guān)于DP-spe的延誤傳播速度。（a）、（b）分別為2016年7月18日和11月30日在SAR運(yùn)營的航班dφδ值；（c）、（d）分別為2016年7月21日和11月25日在美國運(yùn)營的航班dφδ值。

dφδ反映了以矩陣Aφδ為特征的網(wǎng)絡(luò)每小時(shí)的平均度。為了更好地比較延誤傳播速度，我們進(jìn)一步計(jì)算了dφδ的平均值，由圖10中的紅色和藍(lán)色虛線表示。表3記錄了SAR和美國航班所選24 d的dφδ平均值。從表3的左半部分可以看出，SAR中的航班平均延誤傳播速度，即Spd1約為14，這意味著初始的延誤每小時(shí)可導(dǎo)致14個(gè)航班的延誤。將美國的情況與SAR進(jìn)行比較，美國航班的延誤傳播速度大約是SAR的8倍。

表3 SAR和美國航班的延誤傳播速度

6. 結(jié)論

空中交通不可避免地會(huì)受到內(nèi)部和外部干擾，造成空中交通延誤，損害航空業(yè)和自然環(huán)境。對于現(xiàn)代ATM中的航空工作者來說，研究航班延誤是如何發(fā)生的以及如何減少航班延誤是至關(guān)重要的。空中交通延誤與航空運(yùn)輸系統(tǒng)的高度復(fù)雜性有關(guān)。為了最大限度地增加旅客流動(dòng)，航空公司通常會(huì)在飛機(jī)來回飛行期間計(jì)劃一個(gè)多航段的飛機(jī)時(shí)刻表。因此，一個(gè)航班的延誤很可能引發(fā)其他航班的連鎖反應(yīng)延誤，也稱為延誤傳播。

延誤傳播對空中交通是有害的，了解延誤如何在整個(gè)航空運(yùn)輸系統(tǒng)中傳播，對于實(shí)現(xiàn)航空運(yùn)輸系統(tǒng)的最佳結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和減少延誤至關(guān)重要。本文從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度研究了空中交通延誤傳播動(dòng)力學(xué)。作為對現(xiàn)有研究的補(bǔ)充，本文提出的網(wǎng)絡(luò)視角有助于決策者全面了解延誤傳播的強(qiáng)度、嚴(yán)重程度和速度。

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，我們對SAR和美國的航班進(jìn)行了廣泛的案例研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，SAR中的航班延誤傳播動(dòng)力學(xué)與美國有很大不同。我們提出的基于網(wǎng)絡(luò)的方法可以為每個(gè)機(jī)場的延誤傳播動(dòng)態(tài)提供時(shí)間細(xì)節(jié)，因此有助于ATM戰(zhàn)略和CDM計(jì)劃的實(shí)施。

Acknowledgements

The authors would like to thank Prof. Michael Ball from the University of Maryland and Mr. Narendra Pratap Singh, a senior air traffic controller, for their technical support and suggestions, which helped a lot to improve the quality of this work. This work was supported by SUG Research Grant M4082126.050 by the School of Mechanical and Aerospace Engineering (MAE), Nanyang Technological University (NTU), Singapore, and NTU-CAAS Research Grant M4062429.052 by the ATM Research Institute,School of MAE, NTU, Singapore.

Compliance with ethics guidelines

Qing Cai, Sameer Alam, and Vu N. Duong declare that they have no conflict of interest or financial conflicts to disclose.