復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件證明的另一種方法及應(yīng)用

高 敏

(齊齊哈爾工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，黑龍江 齊齊哈爾 161005)

復(fù)變函數(shù)理論以其完美理論和精湛的技巧深入各個(gè)學(xué)科中，為航空航天、道路橋梁、通信行業(yè)的飛速發(fā)展提供了有力的技術(shù)支撐[1-4]，李曉焱、王麗穎、高喜花[5-14]等人在基礎(chǔ)理論方面研究了復(fù)變函數(shù)的可微、解析性質(zhì)等基礎(chǔ)理論及應(yīng)用進(jìn)行了研究.本文在基本理論[15]的支持下，對(duì)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件進(jìn)行了證明，旨在豐富復(fù)變函數(shù)理論，為判斷復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)提供有效的方法.

定理：設(shè)復(fù)變函數(shù)f∶G→G?f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),f(z)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充要條件為u(x,y)和v(x,y)在ρ(x,y)可微且滿足C-R方程

1 定理證明

1.1 必要條件

(1)+(2)可知ρ2Δv=ρ2(AΔy+BΔx)+ρ2(Δyo1(ρ2)+Δxo2(ρ2))

Δv=AΔy+BΔx+Δyo1(ρ2)+Δxo2(ρ2)

下證Δyo1(ρ2)+Δxo2(ρ2)=o(ρ)

于是 Δv=AΔy+BΔx+o(ρ)

由*方程組可知,

(3)+(4)可知-ρ2Δu=ρ2(-AΔx+BΔy)+ρ2(Δyo2(ρ2)-Δxo1(ρ2))

同理可證 Δxo1(ρ2)-Δyo2(ρ2)=o(ρ)

于是 Δu=AΔx-BΔy+o(ρ)

1.2 充分條件

由u,v可微，于是可知

f′(z)=

2 算例分析

例：判斷f(z)=(x+y)+2yi是否可導(dǎo)？

解法1(定義法)：

由上可知函數(shù)f(z)=(x+y)+2yi不可導(dǎo)

解法2

由題意可知，u=x+y,v=2y

復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)需滿足兩個(gè)條件，二者缺一不可，這兩個(gè)條件也為快速判斷函數(shù)是否可導(dǎo)提供了依據(jù)，通過對(duì)比可知,利用函數(shù)是否滿足C-R方程來判斷，可以大大提升判定的速度，從而可以快速判斷實(shí)際問題的研究?jī)r(jià)值.