基于累積前景理論的M/M/1排隊(duì)模型

羅非非， 郭永江

(北京郵電大學(xué) 理學(xué)院，北京100876)

本文主要研究累積前景理論框架下M/M/1排隊(duì)中顧客的最優(yōu)到達(dá)率問題.M/M/1是指服務(wù)臺(tái)數(shù)量為1，等待空間無限，外部到達(dá)是泊松過程，服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間為獨(dú)立同分布的指數(shù)分布隨機(jī)變量序列的排隊(duì)模型.根據(jù)顧客被服務(wù)的優(yōu)先順序，可以分為先到先服務(wù)、最短運(yùn)行時(shí)間法則、最高優(yōu)先權(quán)服務(wù)法則等多種.根據(jù)顧客掌握的信息情況，可分為顧客知道自己在排隊(duì)中的位置與顧客不知道自己在排隊(duì)中的位置兩種情形.Vany[1]研究了顧客的最優(yōu)服務(wù)率問題，并假定顧客知道自己在排隊(duì)中的具體位置.Chen和Frank[2]研究了先到先服務(wù)的排隊(duì)模型，但顧客不知道自己在排隊(duì)中的具體位置.關(guān)于排隊(duì)模型的研究大多是基于期望效用理論進(jìn)行的，本文研究了在累積前景理論框架下先到先服務(wù)的M/M/1排隊(duì)模型，并假定顧客不知道自己在排隊(duì)中的具體位置.

Tversky和Kahneman[3]提出了前景理論，這一理論主要為了解決如下問題：某些時(shí)候使用期望效用理論解釋人們的風(fēng)險(xiǎn)決策行為與實(shí)際情況不相符，如著名的阿萊悖論問題(1)1952年莫里斯·阿萊斯設(shè)計(jì)了一個(gè)對(duì)100人測(cè)試的賭局：賭局1，100%的機(jī)會(huì)得到100萬元.賭局2，10%的機(jī)會(huì)得到500萬元，89%的機(jī)會(huì)得到100萬元，1%的機(jī)會(huì)什么也得不到.雖然賭局2的期望(139萬)比賭局1(100萬)的期望高，但絕大多數(shù)人選擇了賭局1.該理論主要提出幾個(gè)關(guān)鍵結(jié)論：

1)人們往往容易放大極小概率發(fā)生的可能性，低估極大概率事件發(fā)生的可能性，因此作用在概率p上的概率權(quán)重函數(shù)W(p)才是人們內(nèi)心關(guān)于概率度量的最真實(shí)反映，并且對(duì)于概率空間上的全集S來說有W(S)=1，對(duì)于空集Φ有W(Φ)=0.兩個(gè)在發(fā)生概率上完全互補(bǔ)的事件Ac與A，其概率權(quán)重之和W(PA)+W(PAc)<1，揭示了人們對(duì)于不確定事件態(tài)度的重要特征.換句話說，事件發(fā)生的機(jī)率在人們心理上的度量不具有可加性，正是這一重要性質(zhì)解釋了阿萊悖論現(xiàn)象；

2)人們?cè)谧鰶Q策時(shí)，不同結(jié)果帶給他的主觀價(jià)值取決于這個(gè)結(jié)果給他的財(cái)富帶來的變化，而非財(cái)富的最終狀態(tài).因此對(duì)于財(cái)富最終的收益v，如果高于參照點(diǎn)r，人們會(huì)產(chǎn)生獲得感，反之產(chǎn)生損失感；

3)關(guān)于獲得與損失，人們的決策行為是不同的.對(duì)于獲得而言，人們往往是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，對(duì)于損失而言，人們往往是風(fēng)險(xiǎn)偏好的.

Hu和Nasiry[4]研究了前景理論下帶有損失厭惡情緒的顧客對(duì)市場(chǎng)需求所產(chǎn)生的影響.Weingarten[5]等將前景理論的單目標(biāo)情形拓展為多目標(biāo)下的前景理論，論證了多目標(biāo)情況下前景理論仍具有損失厭惡和敏感度遞減的性質(zhì)，且不同的目標(biāo)函數(shù)之間是非可加的.但是前景理論無法滿足動(dòng)態(tài)一致性、一階隨機(jī)占優(yōu)等性質(zhì)，Tversky和Kahneman[6]在Quiggin[7]提出的等級(jí)依賴效用理論的基礎(chǔ)上將前景理論發(fā)展為累積前景理論，解決了前景理論無法滿足一階隨機(jī)占優(yōu)等的問題.吳鑫育[8]基于等級(jí)依賴效用理論，指出市場(chǎng)投資者在低估尾部概率事件的同時(shí)會(huì)高估中高概率事件.Baucells[9]等人給出了累計(jì)前景理論下二階隨機(jī)占優(yōu)的充要條件.Keskin[10]證明了累計(jì)前景理論下非合作博弈中正則形式的博弈均衡的存在性.

與前景理論不同的是，概率權(quán)重函數(shù)從作用于密度函數(shù)變成了直接作用于分布函數(shù).基于累積前景理論的排隊(duì)模型，其描述的顧客心理效用需要滿足如下條件:

1)人們?cè)谧鰶Q策時(shí)，不同結(jié)果帶給他的主觀價(jià)值取決于該結(jié)果帶來的財(cái)富變化，而非財(cái)富的最終狀態(tài)；

2)人們?cè)谧鰶Q策時(shí)，不同結(jié)果帶給他的主觀價(jià)值(損失/獲得感)取決于該結(jié)果帶來的財(cái)富變化，而非財(cái)富的最終狀態(tài)；

3)對(duì)于獲得，人們往往是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的.對(duì)于損失，人們往往是風(fēng)險(xiǎn)偏好的.人們對(duì)損失會(huì)更為敏感，即顧客是損失厭惡的；

4)人們會(huì)高估小的概率，低估大的概率，距離概率p=0和p=1越遠(yuǎn)，人們對(duì)概率變化的敏感度會(huì)降低.換句話說，排隊(duì)模型需要滿足如下三個(gè)條件：

1)顧客進(jìn)入隊(duì)列后會(huì)有一個(gè)衡量損失/收益的參照點(diǎn)r，如果最終收益比參照點(diǎn)高，人們會(huì)產(chǎn)生獲得感，反之產(chǎn)生損失感；

2)對(duì)于獲得，主觀價(jià)值是實(shí)際價(jià)值的凹函數(shù).對(duì)于損失，主觀價(jià)值是實(shí)際價(jià)值的凸函數(shù).損失感的主觀價(jià)值函數(shù)比獲得感的主觀價(jià)值函數(shù)更加陡峭；

3)人們心理上關(guān)于事件發(fā)生可能性大小真實(shí)度量的概率權(quán)重函數(shù)，此函數(shù)擴(kuò)大了小概率，減小大概率，離p=0和p=1越遠(yuǎn)，概率權(quán)重函數(shù)越平坦.

累積前景理論已被廣泛應(yīng)用在各類風(fēng)險(xiǎn)決策問題中，如He和Zhou[11]將CPT運(yùn)用于單周期投資組合模型，并著重分析了該模型的適定性問題.Li和Zhang等[12]研究了CPT框架下非零參照點(diǎn)的報(bào)童模型，但對(duì)模型的適定性問題沒有進(jìn)行討論.Chen和Frank[2]提出了一種排隊(duì)定價(jià)模型，但該模型是基于EU理論的，沒有考慮參照點(diǎn)、顧客對(duì)正負(fù)收益的不同行為表現(xiàn)等問題.

在M/M/1排隊(duì)中，在滿足一些基本的假設(shè)下，模型很容易滿足適定性.就本文研究的問題而言，適定性指在顧客的最優(yōu)到達(dá)率下，其最優(yōu)效用值是有限的.反之，不適定性是指在最優(yōu)到達(dá)率處，顧客會(huì)產(chǎn)生一個(gè)負(fù)無窮的心理效用.基于累積前景理論，本文發(fā)現(xiàn)商家服務(wù)速率越高，最優(yōu)顧客到達(dá)率越高.但在參照點(diǎn)、S-型價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)的相互作用下，難以分析其他要素對(duì)顧客最優(yōu)到達(dá)率的影響，但是通過數(shù)值解發(fā)現(xiàn)：累積前景理論下各要素對(duì)最優(yōu)到達(dá)率的影響與期望效用理論下的分析結(jié)果近乎一致.在數(shù)值案例中，CPT顧客的最優(yōu)到達(dá)率總是比EU理論顧客的最優(yōu)到達(dá)率低.

1 模 型

考慮一個(gè)M/M/1的排隊(duì)模型，市場(chǎng)所有潛在的顧客按照速率為Λ的泊松過程到達(dá).市場(chǎng)上的所有潛在顧客可以選擇進(jìn)隊(duì)或者不進(jìn)隊(duì)，所有實(shí)際進(jìn)隊(duì)的顧客是按照參數(shù)為λ的柏松過程到達(dá)，λ∈[0,Λ].服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間是均值為1/l的指數(shù)分布，服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù).設(shè)顧客等待的邊際成本為β，如果第i位顧客的等待時(shí)間記為Xi，則第i顧客的等待時(shí)間成本為βXi.顧客知道實(shí)際到達(dá)率λ，但不知道自己在隊(duì)伍中的具體位置.根據(jù)M/M/1的結(jié)論可知，當(dāng)l>λ時(shí)，實(shí)際進(jìn)隊(duì)顧客的等待時(shí)間為參數(shù)為l-λ的指數(shù)分布隨機(jī)變量，否則顧客的期望等待時(shí)間為無窮大(見Wolff[13])，等待時(shí)間的分布函數(shù)記為F(·).自然地，本文假設(shè)l>λ.

如果顧客選擇進(jìn)隊(duì)，顧客得到價(jià)值為v的服務(wù)，商品價(jià)格為p，滿足v-p>0.如果該顧客的等待時(shí)間為X，則顧客的經(jīng)濟(jì)收益為v-p-βX.經(jīng)濟(jì)收益的參照點(diǎn)設(shè)為r，如果經(jīng)濟(jì)收益高于r，顧客會(huì)產(chǎn)生獲得感，否則產(chǎn)生損失感.本文采用He和Zhou[11]相似的定義方法，u+(·)與u-(·)分別表示獲得時(shí)的價(jià)值函數(shù)與損失時(shí)的價(jià)值函數(shù)，都是R+到R+的映射.W+(·)與W-(·)分別表示獲得時(shí)的概率權(quán)重函數(shù)與損失時(shí)的概率權(quán)重函數(shù)，都是[0,1]到[0,1]上的映射.令x0=v-p-r，這表示沒有等待時(shí)間時(shí)顧客的經(jīng)濟(jì)收益與參考點(diǎn)之間的偏差，并且規(guī)定r

V=x0+r-βX,

(1)

其CPT效用值為

(2)

具體地，因?yàn)镕(x)=1-e-(l-λ)x，x>0，所以

(3)

如果顧客選擇不進(jìn)隊(duì)，他將得到s的機(jī)會(huì)價(jià)值.如果s>v-p，那么所有的顧客都選擇不進(jìn)隊(duì).因此假定s

(4)

對(duì)于機(jī)會(huì)價(jià)值s，可以看作是顧客將選擇進(jìn)入排隊(duì)的花費(fèi)投資到其他資產(chǎn)的機(jī)會(huì)成本，也可將此問題看作是顧客在M/M/1和M/M/∞兩種排隊(duì)之間做選擇的問題.對(duì)于為何將不進(jìn)隊(duì)的收益與進(jìn)隊(duì)的參考點(diǎn)進(jìn)行相減，可考慮如下情形：如果顧客選擇不進(jìn)隊(duì)的經(jīng)濟(jì)收益參照點(diǎn)為rout，選擇進(jìn)隊(duì)的經(jīng)濟(jì)收益參照點(diǎn)為rin，顧客不進(jìn)隊(duì)的經(jīng)濟(jì)收益為vout，不進(jìn)隊(duì)的機(jī)會(huì)價(jià)值為s=vout-rout+rin.此時(shí)s-rin=vout-rout，這正是顧客不進(jìn)隊(duì)的實(shí)際收益.

注1 對(duì)u±(·)的理解：假設(shè)一個(gè)人的初始財(cái)富為V0，經(jīng)過投資之后的財(cái)富值為V1，稱財(cái)富的變化V1-V0為經(jīng)濟(jì)收益.他對(duì)投資所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益參考點(diǎn)為r，稱V1-V0-r為實(shí)際收益.實(shí)際收益是衡量一個(gè)人產(chǎn)生損失感或獲得感的標(biāo)準(zhǔn).價(jià)值函數(shù)u±(·)是作用在實(shí)際收益上的函數(shù)，它衡量了一個(gè)人對(duì)實(shí)際收益的主觀感知.直觀而言，人們對(duì)實(shí)際收益從0元變到100元的感知和實(shí)際收益從100000元變到100100元的感知是不一樣的，人們對(duì)后者實(shí)際收益變化的敏感度比前者小.

注2 對(duì)W±(·)的理解：W±(·)是作用在實(shí)際概率的權(quán)重函數(shù)，它代表了人們對(duì)概率的真實(shí)感知.人們往往喜歡夸大極小概率事件發(fā)生的機(jī)率，比如購(gòu)買彩票、參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)等，因?yàn)槿藗儠?huì)覺得小概率事件會(huì)在自己身上發(fā)生.人們對(duì)概率從0變到0.01(或者概率從0.99變到1)的感知與概率從0.3變到0.31的感知是不一樣的.距離實(shí)際概率p=0與p=1越遠(yuǎn)，人們對(duì)實(shí)際概率變化的敏感度會(huì)逐漸遞減.

根據(jù)式(3)、(4)的關(guān)系，本文需要求解以下三種情形中的顧客最優(yōu)到達(dá)率λCPT：

?λ∈[0,Λ],U(λ)>U*;

?λ∈[0,Λ],U(λ)

?λ∈[0,Λ],U(λ)=U*.

第一種情況代表了無論進(jìn)隊(duì)速率為多少，顧客進(jìn)隊(duì)的效益都會(huì)比不進(jìn)隊(duì)的效益高，這種情況下將會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)上所有的潛在顧客全部進(jìn)隊(duì)，此時(shí)顧客的最優(yōu)到達(dá)率λCPT=Λ.若發(fā)生第二種情況，那么市場(chǎng)上所有的顧客全都不進(jìn)隊(duì)，即λCPT=0.第三種情形代表了只有部分顧客選擇進(jìn)隊(duì)的情況，λ∈(0,Λ)，同時(shí)還包含兩個(gè)邊界點(diǎn)，λ=0或λ=Λ.簡(jiǎn)便起見，本文將情形三統(tǒng)稱為“只有部分顧客進(jìn)隊(duì)”.并將情形一稱為“所有顧客全部進(jìn)隊(duì)”，情形二稱為“所有顧客全不進(jìn)隊(duì)”.

2 基本假設(shè)

本文給出問題需要的四個(gè)基本假設(shè)，關(guān)于模型所有討論均假定基本假設(shè)成立.對(duì)效用函數(shù)u±(·)和概率權(quán)重函數(shù)W±(·)的基本假設(shè)如下：

假設(shè) 1u±(·): 是R+→R+的嚴(yán)格單增函數(shù)，連續(xù)、嚴(yán)格凹、二階可微，u±(0)=0.

假設(shè) 2W±(·): 是[0,1]→[0,1]的單調(diào)不減函數(shù)，連續(xù)、二階可微，W±(0)=0，W±(1)=1.

關(guān)于價(jià)值函數(shù)，Tversky和Kahneman[6]提出：

u+(x)=xα,u-(x)=kxθ,

(5)

其中：k=2.25，θ=α=0.88.

關(guān)于概率權(quán)重函數(shù)，Tversky和Kahneman[6]使用了如下形式：

(6)

γ=0.61，δ=0.69.后來Tversky[14]又提出了新的一種概率權(quán)重函數(shù)：

(7)

其中：1>γ+,γ->0，σ+,σ->0.以上三式都滿足假設(shè)1與假設(shè)2.Wu和Gonzalez[15]對(duì)上述參數(shù)的數(shù)值估計(jì)值進(jìn)行了研究.

假設(shè) 4 當(dāng)商家價(jià)格p=0且λ=0時(shí)，有

U(λ=0;p=0)>U*.

(8)

在假設(shè)4的情況下，問題(P)的第二種情況不會(huì)出現(xiàn).本文指出商家的逐利心理不可能讓問題(P)的第一種情況出現(xiàn)，因?yàn)樵诒ＷC不流失市面上所有潛在顧客的情況下，商家會(huì)將價(jià)格提升到情形三等式出現(xiàn)的情況，此時(shí)的顧客最優(yōu)到達(dá)率仍然為Λ，但是商家的獲利會(huì)更高③.因此問題(P)可改寫成：

U(λCPT)=U*, (P1)

其中：λCPT滿足λCPT(v,l,p,s,β)∈[0,Λ].

3 主要結(jié)論

3.1 適定性

在求解問題(P1)之前，本文還需要解決模型的適定性問題.但是大多數(shù)應(yīng)用累積前景理論的文獻(xiàn)卻很少對(duì)這方面的問題進(jìn)行研究.不適定的M/M/1排隊(duì)模型顯然是沒有意義的，這種情況下無論實(shí)際的排隊(duì)速率是多少，顧客都會(huì)選擇不進(jìn)隊(duì).本文指出就M/M/1排隊(duì)而言，模型的適定性只與W-(·)有關(guān).

定義1 當(dāng)顧客選擇進(jìn)入隊(duì)伍時(shí)，無論實(shí)際的排隊(duì)速率為多少，顧客將會(huì)得到一個(gè)負(fù)無窮的心理效應(yīng)，此時(shí)稱問題(P1)是不適定的.具體地，不適定是指?λ∈[0,Λ]，有U(λ)=-∞.反之，當(dāng)顧客選擇進(jìn)隊(duì)時(shí)，在最優(yōu)進(jìn)隊(duì)速率處顧客的心理效用是有限的，稱問題(P1)是適定的.

③U(λ,p)是關(guān)于p的單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)U(Λ,p1)>U*時(shí)，商家可以通過稍微地將價(jià)格提升到p2，并且仍能保持U(Λ,p2)>U*，一直到商家將價(jià)格提升到U(Λ,pn)=U*，此時(shí)顧客數(shù)仍是Λ，但是商家獲利會(huì)更高.

將式(3)改寫為

U(λ)=I1-I2,

其中，

顯然，I1有界，I2可能有界，可能為正無窮；因此I2決定了U(λ)要么為有界量要么為負(fù)無窮.

命題 1 如果?λ*∈[0,Λ]，使U(λ*)有界，那么對(duì)?λ∈[0,Λ]，都有U(λ)有界.

證明由于?λ*∈[0,Λ]，使U(λ*)有界，因此U(λ)是在閉區(qū)間[0,Λ]上的連續(xù)函數(shù)，故結(jié)論成立.

推論1 如果?λ*∈[0,Λ]，使U(λ*)=-∞，那么對(duì)?λ∈[0,Λ]，都有U(λ)=-∞.

由命題1和推論1可知，對(duì)?λ∈[0,Λ]，要么U(λ)都有界，要么U(λ)都為負(fù)無窮.如果問題(P1)是不適定的，那么對(duì)?λ∈[0,Λ]，U(λ)=-∞，此時(shí)任意的λ∈[0,Λ]顧客的效用都為負(fù)無窮.

命題2 如果假設(shè)3成立，那么對(duì)?λ∈[0,Λ]，都有U(λ)有界，問題(P1)適定.

O(x·e-(l-λ)(1-α)x),

對(duì)?p>0而言，都有e-(l-λ)(1-α)x=O(x-p)，此時(shí)任取p>2，結(jié)論成立.

更一般地，設(shè)顧客的等待時(shí)間成本為C(x)，且C(·)是關(guān)于等待時(shí)間x的單調(diào)不減函數(shù)，如果?x0>0，對(duì)于?x>x0，只要?a∈(-∞,+∞)，滿足xa>C(x)，那么假設(shè)3可以使模型是適定的.證明過程與上述證明類似，此處不再贅述.

3.2 EU與CPT的顧客最優(yōu)到達(dá)率

基于四個(gè)基本假設(shè)成立的前提下，本文對(duì)比了EU與CPT顧客的最優(yōu)到達(dá)率.在EU和CPT框架下，只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，都有商家服務(wù)速率越高，顧客最優(yōu)到達(dá)率越高，且商家服務(wù)率增速與顧客最優(yōu)到達(dá)率增速相同.

先考慮期望效用理論的情況，即不考慮參照點(diǎn)、S-型的價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)，此時(shí)顧客選擇進(jìn)隊(duì)的心理效用為：

(9)

其中：g(·)是單調(diào)增的凹函數(shù).并假定g(·)是作用于(-∞,+∞)的二階可微函數(shù).顧客不進(jìn)隊(duì)的實(shí)際收益為s，只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，根據(jù)期望效用理論有：

E(λEU)=g(s),λEU(v,p,β,s,l)∈[0,Λ].(P2)

同樣地，此處將“所有顧客全部進(jìn)隊(duì)”和“所有顧客全不進(jìn)隊(duì)”兩種情況排除在外.

命題3 在期望效用理論下，當(dāng)只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，其他要素對(duì)最優(yōu)顧客進(jìn)隊(duì)速率λ的影響如下：

(10)

證明將問題(P2)改寫成

G(v,l,p,s,β)=E(λ)-g(s)=

-g(s)=0,

因此，

故命題得證.

在期望效用理論框架下，只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，商品價(jià)格p、不進(jìn)隊(duì)收益s和邊際等待成本β越高，市場(chǎng)需求λ越低；服務(wù)收益v、商家服務(wù)速率l越高，市場(chǎng)需求λ越高，這與直觀是相符的.

命題4 在累積前景理論下，當(dāng)只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，商家服務(wù)速率對(duì)顧客最優(yōu)進(jìn)隊(duì)速率影響如下：

(11)

并且如果服務(wù)收益v越高導(dǎo)致顧客最優(yōu)到達(dá)率λ越高，那么商品價(jià)格p和邊際等待成本β越高將會(huì)導(dǎo)致顧客最優(yōu)到達(dá)率λ越低.如果服務(wù)收益v越高導(dǎo)致顧客最優(yōu)到達(dá)率λ越低，那么商品價(jià)格p和邊際等待成本β越高將會(huì)導(dǎo)致顧客最優(yōu)到達(dá)率λ越高.

證明與命題3的證明方法類似，雖然難以確定隱函數(shù)對(duì)λ偏導(dǎo)的正負(fù)關(guān)系，但根據(jù)式(3)中l(wèi)與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系、β和p與v的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可得出此結(jié)論.

在累積前景理論框架下，商家服務(wù)速率越高，顧客最優(yōu)到達(dá)率越高，而且最優(yōu)到達(dá)率增速與商家服務(wù)率增速相同.而服務(wù)收益v對(duì)顧客最優(yōu)到達(dá)率λ的影響與商品價(jià)格p和邊際等待成本β對(duì)顧客最優(yōu)到達(dá)率的影響相反.

3.3 數(shù)值算例

由于u±(·)與W±(·)的相互作用，本文無法求出顧客最優(yōu)到達(dá)率的解析解，也難以分析除商家服務(wù)速率l之外其他要素對(duì)顧客進(jìn)隊(duì)速率的影響.但本文通過數(shù)值解發(fā)現(xiàn)CPT與EU的數(shù)值解表現(xiàn)大致相當(dāng).

先考慮期望效用理論的簡(jiǎn)單情形，設(shè)g(x)=x.問題(P2)顧客最終選擇的服務(wù)速率為：

(12)

再考慮累積前景理論，本文采用式(4)、(5)的價(jià)值函數(shù)與概率權(quán)重函數(shù)，令k=2.25，θ=α=0.88，γ=0.61，δ=0.69.分別考慮EU理論與CPT理論下各要素對(duì)顧客最優(yōu)到達(dá)率的影響，為了便于與EU理論做比較，此處假設(shè)參照點(diǎn)r=0.

從圖1可以看出，在只有部分顧客進(jìn)隊(duì)時(shí)，累積前景理論下各要素對(duì)顧客最優(yōu)到達(dá)率的影響與期望效用理論下得出的結(jié)論是一致的.就此例而言，在CPT和EU下，商品價(jià)格p、不進(jìn)隊(duì)的機(jī)會(huì)價(jià)值s、顧客等待的邊際時(shí)間成本β越高，顧客最優(yōu)到達(dá)率越低.商家服務(wù)速率l和服務(wù)收益v越高，顧客最優(yōu)到達(dá)率越高.但是CPT顧客的最優(yōu)到達(dá)率比EU顧客的最優(yōu)到達(dá)率略低.

圖1 CPT與EU的最優(yōu)顧客到達(dá)率λ隨各要素的變化圖，r=0，k=2.25，θ=α=0.88，γ=0.61，δ=0.69.Figure 1 Optimal arrival rate λ vseach factor under EU and CPT, r=0, k=2.25,θ=α=0.88,γ=0.61,δ=0.69.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了CPT下的M/M/1排隊(duì)模型，并將參照點(diǎn)、S-型的效用函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)都包含在內(nèi).由于顧客等待時(shí)間的分布已知，且實(shí)際到達(dá)率被限定在有限區(qū)間內(nèi)，因此模型很容易滿足適定性，并且模型的適定性只與損失時(shí)的概率權(quán)重函數(shù)W-(·)有關(guān).對(duì)于適定的模型，很難求出CPT的解析解，又由于無法求出效用函數(shù)U(λ)的單調(diào)性，因此難以分析各要素對(duì)最優(yōu)進(jìn)隊(duì)速率的影響.但另一方面，在EU模型中顧客進(jìn)隊(duì)的效用E(λ)是單調(diào)遞減的嚴(yán)格凹函數(shù)，這使得研究各要素對(duì)最優(yōu)進(jìn)隊(duì)速率的影響變得極為容易.在數(shù)值解的案例中，各要素對(duì)最優(yōu)顧客到達(dá)率的影響在CPT與EU下的表現(xiàn)十分相似.