基于MASTA的圓錐滾子軸承的低成本滾子母線設(shè)計

王修坤, 劉飛濤

（上海汽車集團股份有限公司 技術(shù)中心, 上海 201804）

1 前言

圓錐滾子軸承因能夠承受軸向和徑向的組合載荷、且預(yù)緊后軸系剛度好，被廣泛應(yīng)用于汽車變速箱承受重載的位置上。圓錐滾子軸承的滾子母線形狀對于圓錐滾子軸承內(nèi)部的應(yīng)力分布及使用壽命具有重要影響。滾子母線是直線的圓錐滾子軸承在實際應(yīng)用和理論分析中，已經(jīng)被證明是不可取的，其受到載荷后滾子邊緣和滾道之間有一個彈性趨近量，這個彈性趨近量使?jié)L道靠近滾子端部的區(qū)域被拉伸，使?jié)L子端部發(fā)生應(yīng)力集中。滾子沿軸向的應(yīng)力呈現(xiàn)啞鈴形，即所謂的“邊緣效應(yīng)”[1-2]?！斑吘壭?yīng)”導(dǎo)致滾子端部接觸應(yīng)力飆升，而軸承的壽命和滾子接觸應(yīng)力的 7次方成反比[3]?！斑吘壭?yīng)”產(chǎn)生的高應(yīng)力會使?jié)L道邊緣提前發(fā)生疲勞、剝落，剝落隨后向滾道中央迅速擴展，使軸承發(fā)生早期失效，降低軸承的旋轉(zhuǎn)精度和使用壽命，并引發(fā)整車 NVH 問題。

為克服滾子的“邊緣效應(yīng)”，將直線型母線修改為曲線型母線是根本思路，這是因為經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計的曲線型滾子母線可以改善滾子和滾道之間的應(yīng)力分布、避免發(fā)生應(yīng)力集中。除此之外，曲線型滾子還能改善滾子和滾道的潤滑條件，也能改善由于軸承安裝、加工誤差和軸系工作時撓曲而發(fā)生的滾子偏載問題。Lundberg[4]使用解析法建立了對數(shù)母線公式，基于此公式中的母線形狀，滾子可以獲得理論上均勻的矩形接觸痕跡。P. M. Johns 和 R. Gohar[5]在 Lundberg 公式基礎(chǔ)上增加了滾子接觸痕跡的半長和半寬尺寸，建立了理論上更為合理的對數(shù)母線公式。日本 NTN 的Hiroki FUJIWARA[6]和 Tatsuo KAWASE 進一步優(yōu)化出可以考慮滾子偏轉(zhuǎn)的對數(shù)母線公式。

計算機技術(shù)的進展，使數(shù)值分析法優(yōu)化設(shè)計滾子母線變得更加便捷。馬家駒[7]基于影響系數(shù)法分析了直線型、圓弧型、圓弧-直線型、對數(shù)型和直線加對數(shù)型滾子修形曲線在均勻載荷下滾子的應(yīng)力分布。夏新濤[8]等采用 ANSYS 軟件分析了滾子凸度偏移對于滾子應(yīng)力分析的影響。圓弧型和對數(shù)型母線都能很好地解決滾子的“邊緣效應(yīng)”問題。

現(xiàn)行的滾子凸度加工工藝主要有貫穿磨削法和貫穿超精法[9-10]，前者在普通無心磨床[11]上用特制砂輪和特制導(dǎo)輪，引導(dǎo)滾子以一曲線的軌跡通過磨削區(qū)，獲得滾子修形曲線；后者主要通過雙導(dǎo)輥引導(dǎo)和油石精研的方法獲得修形曲線[12]，前者的機床成本和工藝難度都要低于后者。據(jù)滾子加工供應(yīng)商的統(tǒng)計，加工高精度的對數(shù)型母線的機床成本是加工圓弧型母線機床成本的三倍以上。因此，從技術(shù)經(jīng)濟性的角度考慮，本文研究汽車變速器中圓錐滾子軸承的圓弧型和圓弧-直線型滾子的優(yōu)化設(shè)計。

MASTA 是由英國 SMT 公司開發(fā)的一款基于the Microsoft.NET 架構(gòu)建立的齒軸系統(tǒng)開發(fā)工具，可以完成齒軸系統(tǒng)的設(shè)計計算和分析。軸承滾子凸度設(shè)計和分析是 MASTA 的重要功能。MASTA 的操作界面友好，可以快速完成軸承滾子母線的設(shè)計，但尚未有文獻介紹，本文基于 MASTA 10.2版本的計算分析功能，以某款手動變速箱中間軸上后端圓錐滾子軸承的滾子母線優(yōu)化問題為例，用正交試驗法優(yōu)化出合理的滾子母線形狀。

2 建模

2.1 基于 MASTA 建立變速箱計算分析模型

圖 1 是以一款五速手動變速箱為例，使用MASTA 建立的變速箱計算分析模型。輸入軸兩端依靠球軸承支撐，中間軸兩端依靠圓錐滾子軸承支撐，圖 1 中框選的即為本次分析的圓錐滾子軸承，其標準代號為 30205，具體參數(shù)見表 1。

表1 軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖1 使用MASTA建立的變速箱二維剖面圖

為保證各個樣本分析計算的一致性，本次計算中的軸承的預(yù)緊均為 0，且分析的工況都是軸承最大受力的工況。當滾子母線為直線時，受力最大的滾子在發(fā)動機滿扭下的應(yīng)力曲線如圖 2 所示。由下圖看出，除滾子兩端區(qū)域外，滾子在軸向方向受力很不均勻，靠近滾子小端的應(yīng)力大，靠近滾子大端的應(yīng)力小，且呈線性遞減。在滾子兩端區(qū)域內(nèi)，發(fā)生了嚴重的“邊緣效應(yīng)”， 最大邊緣應(yīng)力已經(jīng)達到 4 000MPa，達到了滾子的應(yīng)力極限。

圖2 承受最大載荷的滾子沿軸向的應(yīng)力分布

2.2 滾子的兩種圓弧類修形

滾子的圓弧修形曲線分為兩種，一種是將滾子母線修為圓弧形，即為純圓弧修形；另一種是將滾子母線修為中間呈直線，兩端是圓弧的修形方式，即為圓弧-直線修形。

2.2.1 純圓弧滾子修形

令滾子母線中點為坐標原點，直線母線為 x軸，垂直于母線且過坐標原點的直線為 y 軸，那么第一種圓弧形的曲線公式如式（1）所示：

其中，R 表示圓弧修形的圓弧半徑，a 表示圓心距離滾子中心截面的距離，圖 3 是去除滾子兩端倒角后，當圓弧半徑為 2 000mm、a = 2mm時的修形母線。

圖3 純圓弧型滾子母線輪廓

2.2.2 圓弧-直線滾子修形

第二種修形方式是將滾子兩端修形為圓弧，中間修形為直線，其修形曲線部分公式：

直線部分公式：

當滾子中直線段長度為 4，圓弧直徑為 2 000mm 時的完整修形曲線如圖 4 所示：

圖4 圓弧-直線滾子母線輪廓

根據(jù)解析幾何的相關(guān)知識，公式（1）、公式（2）和公式（3）可以統(tǒng)一為下面的公式：

3 分析

為便于分析，將17 粒滾子按照角度從小到大、逆時針的順序排列，并將第 5 號滾子放在90°的位置上，如圖 5 所示：

圖5 軸承滾子的序號定義

當滾子無修形時，即滾子母線為直線時，各個滾子最大應(yīng)力如圖 6 曲線所示，當滾子母線為直線時，5 號滾子受到的應(yīng)力最大、載荷最大，最大應(yīng)力為 4 019.520 1MPa。

圖6 各個滾子的最大應(yīng)力

考慮到各個滾子的載荷和應(yīng)力大小不同，因此本文將所有滾子中受力最大的滾子的應(yīng)力作為評價滾子修形曲線優(yōu)劣的標準。

3.1 純圓弧型修形曲線的應(yīng)力分析

根據(jù)公式（1）中展示的函數(shù)關(guān)系，影響滾子修形母線的因素只有圓弧半徑 R 和母線中心偏移量 a，根據(jù)實際的常用工藝參數(shù)，將滾子修形母線圓弧半徑和母線中心兩個因素各取五個水平，分析的因素和水平如表 2 所示：

表2 影響純圓弧滾子應(yīng)力的因素和水平

根據(jù)現(xiàn)有兩種因素、五種水平，可以建立如表 3 的全因子分析表格，運用直觀分析的方法，可以發(fā)現(xiàn)偏心量對于滾子應(yīng)力的影響更大：

表3 純圓弧滾子應(yīng)力的全因子水平試驗分析表格

圖 7、圖 8 和圖 9 是根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制的趨勢圖，根據(jù)趨勢圖和試驗數(shù)據(jù)，可以判定偏心量是比圓弧半徑更為重要的影響滾子應(yīng)力的因素；最優(yōu)的圓弧半徑是1 000mm，最優(yōu)的偏心量是1mm。

圖7 圓弧半徑對于純圓弧滾子最大應(yīng)力的影響機制

圖8 偏心量對于純圓弧滾子最大應(yīng)力的影響機制

圖9 表3中25種圓弧母線下各個滾子的最大應(yīng)力

由圖 7、圖 8 和圖 9 可以看出:

① 隨著圓弧半徑變小，軸承滾子的最大應(yīng)力下降，且各個滾子的最大應(yīng)力也趨于更加一致。當偏心量從 0 向 -2 變化時，軸承滾子的最大應(yīng)力上升；但當偏心量從 1 向 +2 變化時，滾子應(yīng)力先變小后升高；當偏心量為 +1 時，滾子應(yīng)力最小。

② 就單個軸承受力而言，17 粒滾子受力呈現(xiàn)雙峰值的特性，即第 5 粒滾子和第 13 粒滾子分別代表上下半圈滾子應(yīng)力的峰值，滾子應(yīng)力的優(yōu)化主要是降低第 5 粒滾子和第 13 粒滾子的應(yīng)力。

③ 從正交分析的結(jié)果可以看出，對于滾子應(yīng)力大小影響的順序為：圓弧半徑＜圓弧偏心量。

3.2 圓弧-直線型修形曲線的應(yīng)力分析

為保證所有影響應(yīng)力變化的因素都能被考慮進凸度修形的優(yōu)化工作中，同時分析的額數(shù)量又盡可能地減少，建立如表 4 的因子水平表格和表 5 的正交分析試驗表格。

表4 影響圓弧-直線型滾子應(yīng)力的因素和水平

表5 圓弧-直線的正交試驗分析表格

根據(jù)表 5 中的數(shù)據(jù)分析，對于滾子應(yīng)力影響最大的因素是偏心量，其次是滾子的修形半徑，影響最小的是滾子修形中的直線長度。最優(yōu)的水平組合是修形半徑為1 000mm、偏心量為1mm、修形直線長度為 1mm。根據(jù)上表中數(shù)據(jù)建立的趨勢分析圖如下所示。

圖11 偏心量對于圓弧-直線型滾子最大應(yīng)力的影響機制

圖12 直線長度對于圓弧-直線型滾子最大應(yīng)力的影響機制

圖13 各種圓弧-直線母線下各個滾子最大應(yīng)力的情況

針對正交試驗分析的影響，得出圓弧半徑、偏心量和直線長度對于滾子接觸應(yīng)力的影響機制，從圖 10 ～ 13 可以看出：

圖10 圓弧半徑對于圓弧-直線型滾子最大應(yīng)力的影響機制

① 增加修形母線中的直線部分前后，圓弧半徑和偏心量對于滾子應(yīng)力的影響機制不發(fā)生變化。

② 就單個軸承受力而言， 17 粒滾子受力呈現(xiàn)雙峰值的特性，即第 5 粒滾子和第 13 粒滾子分別代表上下半圈滾子應(yīng)力的峰值，滾子應(yīng)力的優(yōu)化主要是降低第 5 粒滾子和第 13 粒滾子的應(yīng)力。

③ 隨著滾子修形圓弧半徑的減小，軸承滾子的最大應(yīng)力不斷下降，且各個滾子的最大應(yīng)力也趨于更加一致。從整個試驗來說，隨著修形圓弧半徑的下降，滾子應(yīng)力下降；當滾子圓弧中心向大端偏 1mm 時，滾子的應(yīng)力最小，此時向滾子大端或小端偏斜時，應(yīng)力迅速上升，因此偏心量的合理區(qū)間為 [0, 1.5]。

④ 從整體而言，直線段越短，越有利于降低滾子的接觸應(yīng)力，直線段長度對于軸承滾子應(yīng)力的影響趨勢和圓弧半徑對于滾子應(yīng)力的影響趨勢剛好相反。

⑤ 從正交分析的結(jié)果可以看出，對于滾子應(yīng)力大小影響的順序為：圓弧半徑＞圓弧偏心量＞直線長度，其中隨著圓弧半徑變大，應(yīng)力變大，這是因為圓弧半徑越大，修形量越??；隨著偏心量向右移動，應(yīng)力變小，因此在實際加工中，應(yīng)使圓弧中心在 [0, 1] 的范圍內(nèi)浮動；直線段越長，應(yīng)力變大，因此實際加工中，應(yīng)盡量減少直線段的長度。

由上文可知，最優(yōu)圓弧-直線組合是修形半徑為 1 000mm、偏心量為 1mm、修形直線長度為 1mm，此時計算出的滾子最大應(yīng)力是 3 052.06MPa，仍略大于純圓弧的最優(yōu)曲線下的最大應(yīng)力 3 050.73MPa（基于修形半徑為 1 000mm、偏心量為 1mm 的組合）?？梢?，純圓弧的滾子母線要優(yōu)于圓弧-直線的母線。

4 結(jié)束語

本文考慮到手動變速箱低成本的特性，將滾子圓弧修形作為改善滾子應(yīng)力分布的優(yōu)化目標，使用 MASTA 和正交試驗法作為優(yōu)化設(shè)計工具，找出最優(yōu)化的圓弧：

① 應(yīng)優(yōu)先選擇純圓弧型滾子母線，應(yīng)盡量降低滾子母線的修形圓弧半徑，最好在 2 000mm以下，偏心量應(yīng)盡量選擇在 [0, 1.5] 的范圍內(nèi)。

② 如選擇圓弧-直線型滾子母線，同樣應(yīng)盡量降低滾子母線的修形圓弧半徑，最好在 2 000mm以下，偏心量應(yīng)盡量也應(yīng)選擇在 [0, 1.5] 的范圍內(nèi)。對于直線段長度，應(yīng)盡量減少，在 1mm以內(nèi)為優(yōu)。