哥德巴赫猜想的Python驗(yàn)證

王德貴 丁大為

哥德巴赫猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。華羅庚是中國(guó)最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936—1938年，他赴英留學(xué)，師從哈代研究數(shù)論，并開始研究哥德巴赫猜想，驗(yàn)證了幾乎所有的偶數(shù)猜想。1966年，華羅庚的學(xué)生陳景潤(rùn)在對(duì)篩法做了新的重要改進(jìn)后，證明了“1+2”，他證明了任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是質(zhì)數(shù)，另一個(gè)或?yàn)橘|(zhì)數(shù)或?yàn)閮蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，被稱為“陳氏定理”，這在當(dāng)時(shí)影響很大，但之后就再也沒有什么研究進(jìn)展了。

一、哥德巴赫猜想內(nèi)容

哥德巴赫猜想，是數(shù)學(xué)史上和質(zhì)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想，影響了一代又一代數(shù)學(xué)家。

1742年6月7日，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了一個(gè)大膽的猜想：任何不小于3的奇數(shù)，都可以是三個(gè)質(zhì)數(shù)之和（如：7=2+2+3。當(dāng)時(shí)1仍屬于質(zhì)數(shù)）。

同年，6月30日，歐拉在回信中提出了另一個(gè)版本的哥德巴赫猜想：任何偶數(shù)，都可以是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和（如：4=2+2。當(dāng)時(shí)1仍屬于質(zhì)數(shù)）。

這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。由于1已經(jīng)不歸為質(zhì)數(shù)，所以這兩個(gè)猜想分別變?yōu)椋?/p>

任何不小于7的奇數(shù)，都可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的形式;

任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的形式。

20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對(duì)于更大的數(shù)依然成立。但自然數(shù)是無(wú)限的，無(wú)法判斷是否存在某一個(gè)足夠大的偶數(shù)，成為哥德巴赫猜想的反例，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诓粩嗟奶剿髦校瑢で笾鞣N不同的解決方法。

如果想了解更深入的知識(shí)，大家可以參考相關(guān)資料。今天我們只利用Python做基本驗(yàn)證。

二、創(chuàng)意來(lái)源

在Python學(xué)習(xí)過程中，嘗試解決一些問題，特別是世界數(shù)學(xué)難題，不僅是一種樂趣，同時(shí)也能學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，了解一些數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，也可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，更能加深理解程序的優(yōu)化與調(diào)試。

三、設(shè)計(jì)思路

“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”，我們可以將要分析的任一正整數(shù)減去一個(gè)質(zhì)數(shù)，然后看看結(jié)果是不是也為質(zhì)數(shù)，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質(zhì)數(shù)，看看有沒有符合條件的兩個(gè)質(zhì)數(shù)。

“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”，我們可以將要分析的任一正整數(shù)減去一個(gè)質(zhì)數(shù)，然后看看結(jié)果是不是也為質(zhì)數(shù)，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質(zhì)數(shù)，看看有沒有符合條件的三個(gè)質(zhì)數(shù)。

這幾種方法的基礎(chǔ)都需要把正整數(shù)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)先求出來(lái)。我們用列表形式將質(zhì)數(shù)存儲(chǔ)，計(jì)算和訪問很方便。

四、Python驗(yàn)證

1.關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想

任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的形式。

這個(gè)猜想的理解是，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+

7，12=5+7……有無(wú)數(shù)個(gè)，我們無(wú)法一一列舉，通過編程也只能驗(yàn)證有限范圍，否則運(yùn)行時(shí)間將無(wú)限延長(zhǎng)。

（1）方法一：遍歷質(zhì)數(shù)列表，取出兩個(gè)質(zhì)數(shù)驗(yàn)證

程序有兩部分，一是建立質(zhì)數(shù)列表，二是在列表中確定有沒有滿足條件的質(zhì)數(shù)。有一組則程序結(jié)束，并顯示出來(lái)（圖1）。

也可以利用自定義函數(shù)，程序如圖2。

要求出不小于這個(gè)偶數(shù)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)，于是把質(zhì)數(shù)獲取做了自定義函數(shù)，利用列表把質(zhì)數(shù)列舉出來(lái)，然后便于下一步計(jì)算和驗(yàn)證。

輸入不小于4的偶數(shù)后，調(diào)用自定義函數(shù)，把這個(gè)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)放在列表里，然后利用枚舉算法，在列表中取兩個(gè)數(shù)，驗(yàn)證是否等于輸入的偶數(shù)，如果等于偶數(shù)，即輸出。

這兩個(gè)程序運(yùn)行結(jié)果是完全一樣的，它們都是在質(zhì)數(shù)列表里任意取兩個(gè)數(shù)，驗(yàn)證其和是不是等于輸入的偶數(shù)。

（2）方法二：判斷偶數(shù)與質(zhì)數(shù)的差是否為質(zhì)數(shù)

這種方法減小了時(shí)間復(fù)雜度，運(yùn)行速度更快，程序如圖3。

測(cè)試結(jié)果如圖4。

2.關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想

任何不小于7的奇數(shù)，都可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的形式。

根據(jù)前面的驗(yàn)證，修改程序，便可以驗(yàn)證“關(guān)于奇數(shù)數(shù)的哥德巴赫猜想”。即多加一重for循環(huán)，同時(shí)判斷輸入數(shù)與兩個(gè)質(zhì)數(shù)之差是否也為質(zhì)數(shù)，如果是，則輸出算式，程序結(jié)束（圖5）。

驗(yàn)證結(jié)果如圖6。