基于Givens變換的廣義旁瓣相消器的設(shè)計

冀文輝，原浩娟，秦 琨，徐 恒，朱保安

(上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

自適應(yīng)陣列天線要求消除接收信號中的干擾和噪聲的影響，獲得最大輸出信干噪比。線性約束最小方差準(zhǔn)則(Linearly Constrained Minimum Varience，LCMV)是常用的自適應(yīng)波束形成方法之一。廣義旁瓣相消器是LCMV的一種等效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。不同GSC方法的核心區(qū)別在于阻塞矩陣B的構(gòu)造方法不同。常見的阻塞矩陣構(gòu)建方法有二項式對消、奇異值(SVD)分解等[1]。

文獻[2]利用Householder變換實現(xiàn)降維，構(gòu)造阻塞矩陣，提高了GPS接收機的快速抗干擾性能。文獻[3]利用信號子空間特征矢量和期望信號的投影導(dǎo)向矢量構(gòu)造穩(wěn)健降維阻塞矩陣，達到降維效果，運算比較復(fù)雜。文獻[4]利用波束形成無法對加性白噪聲進行抑制的特點，設(shè)計出一種新的阻塞降維矩陣，增強主輔通道關(guān)于干擾信號的相關(guān)性，更有利于抑制干擾，但運算量較大。

Givens變換可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣，使得向量在空間中旋轉(zhuǎn)，利用此數(shù)學(xué)性質(zhì)，對來波信號的導(dǎo)向矢量進行旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后的矢量在一些維度上的大小為零，即實現(xiàn)了對期望信號的阻塞?；诖耍疚奶岢鲆环N新的基于Givens變換[5]的阻塞矩陣B的構(gòu)造方法，利用Givens變換生成的B來構(gòu)造一種新的廣義旁瓣相消器。另外，此算法實現(xiàn)簡單，易于實現(xiàn)調(diào)用，可以提高信號處理的實時性。

1 基于Givens變換的GSC方法

1.1 研究思路

通過Givens變換，可以將期望信號的導(dǎo)向矢量α(θ0)旋轉(zhuǎn)為e1的‖a(θ0)‖2倍，其中e1=[1 0 … 0]T為N×1維單位矩陣，則可以利用有限個Givens矩陣的乘積的后N-1×N維的矩陣元素構(gòu)造GSC中的阻塞矩陣B。

1.2 信號模型

設(shè)均勻線陣由N個陣元組成。接收到的信號在奈奎斯特采樣率下進行采樣，在時刻k各個天線采樣得到樣本，構(gòu)成矢量x(k)∈C(N×1)，表示為：

(1)

(2)

1.3 算法原理

1.3.1 GSC結(jié)構(gòu)

在GSC結(jié)構(gòu)中，陣列接收信號經(jīng)GSC上支路的靜態(tài)權(quán)矢量，保留了期望信號、干擾和噪聲，且期望信號無失真響應(yīng)約束得到保證，各干擾分量的復(fù)幅度變化為各干擾和期望信號的空間相干系數(shù)；陣列接收信號經(jīng)GSC下支路，首先將期望信號阻塞，只剩余干擾和噪聲，再通過最小均方誤差準(zhǔn)則獲得下支路的權(quán)矢量，使得上下支路相減后的差值最小，也就意味著最大限度地消除接收信號中的干擾和噪聲的影響，獲得很純的信號分量，即獲得最大輸出信干噪比[6-8]。廣義旁瓣相消器如圖1所示。

圖1 廣義旁瓣相消器(GSC)Fig.1 Generalized sidelobe canceller

輸入信號x(k)通過GSC上支路的靜態(tài)權(quán)矢量a(θ)，獲得期望信號：

d(k)=a(θ)Hx(k)。

(3)

此外，下支路首先通過阻塞矩陣，將期望信號阻塞掉。經(jīng)N×M維阻塞矩陣B后，輸出信號矢量為：

x0(k)=BHx(k),

(4)

其中，1

下支路的最佳動態(tài)權(quán)矢量wGSC可由下式得到：

(5)

那么，廣義旁瓣相消的自適應(yīng)權(quán)向量為：

w=a(θ)-BWGSC，

(6)

要求阻塞矩陣滿足BHa(θ)=0M×1。

1.3.2 基于Givens變換的阻塞矩陣的構(gòu)建

阻塞矩陣的構(gòu)造在廣義旁瓣相消中至關(guān)重要。如果阻塞矩陣B構(gòu)造的不合適，在經(jīng)過阻塞矩陣后會出現(xiàn)期望信號的阻塞剩余。常見的阻塞矩陣構(gòu)建方法有二項式對消和奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)主分量法等。下支路阻塞矩陣輸出信號的協(xié)方差矩陣為：

(7)

選用Givens矩陣能使向量a(θ)某些元素變?yōu)榱?，又能保持該向量的長度或范數(shù)不變。具體的說，Givens矩陣U可以將非零向量a(θ)變成e1的‖a(θ)‖2倍，其中e1=[1 0 … 0]T為N×1維單位矩陣，若將Givens矩陣寫作

(8)

存在Givens變換，使得:

(9)

可以達到U2…Na(θ)=0(N-1)×1的目的，實現(xiàn)對期望信號的阻塞。

a(θ0)=(ξ1,ξ2,…,ξn)T≠0,a(θ0)∈Cn，則存在有限個復(fù)數(shù)形式的Givens矩陣的乘積，記為U，使Ua(θ0)=‖a(θ0)‖2e1。構(gòu)造U的方法文獻[5]已經(jīng)給出，此處不再贅述，得到Ua(θ0)=‖a(θ0)‖2e1。

(10)

從計算復(fù)雜度考慮，該阻塞矩陣由多個N×N維復(fù)Givens矩陣的乘積得到，矩陣乘法的運算復(fù)雜度為O(N3)，而主分量法阻塞矩陣的運算復(fù)雜度同樣也為O(N3)。本文所提的阻塞矩陣不需要依賴接收信號來構(gòu)造，實際應(yīng)用中，可以將與期望信號來波方向?qū)?yīng)的阻塞矩陣事先計算好存儲起來，后續(xù)使用時直接調(diào)用即可。而主分量法需要根據(jù)接收信號來進行奇異值求解，求取特征向量，與Givens法相比，增加了旁瓣相消的處理時間。

2 計算機仿真

2.1 仿真方法

仿真程序框圖如圖2所示。

圖2 程序框圖Fig.2 Program block diagram

2.2 仿真條件

在不同的仿真條件下，比較二項式對消GSC、奇異值分解主分量法GSC和基于Givens變換的GSC這3種方法的仿真結(jié)果。需要注意的是，在本文的仿真實現(xiàn)中，這3種方法的阻塞矩陣的維數(shù)都是N×M維，其阻塞矩陣都有降維的作用。

仿真1：期望信號1個，來波方向20°，信噪比變化范圍[-10∶5∶30] dB；稀疏旁瓣干擾信號4個，來波方向-45°，0°，-25°，30°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo實驗次數(shù)500。

仿真2：期望信號1個，來波方向20°，信噪比變化范圍[-10∶5∶30]dB；稀疏旁瓣干擾信號4個，來波方向-45°，0°，-25°，30°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo實驗次數(shù)500次。引入陣列幅相誤差，幅度誤差均方根為1 dB，相位誤差均方根為10°。

仿真3：期望信號1個，來波方向20°，信噪比變化范圍[-10∶5∶30]dB；主瓣干擾信號1個，來波方向25°，干噪比INR=30 dB，每信噪比Monte Carlo實驗次數(shù)500。

仿真4：期望信號1個，來波方向20°，信噪比變化范圍[-10∶5∶30]dB；密集旁瓣干擾信號4個，來波方向-35°，-37°，-39°，41°，干噪比INR=30，35，40，45 dB，每信噪比Monte Carlo實驗次數(shù)500。

2.3 結(jié)果與說明

仿真1：

不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比如圖3所示。

由圖3可以看出，SNRin越大，性能損失越大，與理想曲線值相差越大。干擾抑制效果變差。分析原因是由于接收信號協(xié)方差矩陣?yán)锩婧行盘柗至浚斎胄旁氡仍酱?，信號分量的影響越大，并且由于樣本?shù)為有限樣本帶來協(xié)方差矩陣估計不準(zhǔn)，以及約束向量的非魯棒性，造成信號相消現(xiàn)象。

圖3 仿真1條件下，不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比Fig.3 Under the condition of simulation 1,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

當(dāng)稀疏旁瓣干擾個數(shù)為4時，Givens GSC法稍微差于SVD主分量法，二者的性能曲線很接近。而二項式對消法在低信噪比情況下，與前2種方法有大約3 dB的性能損失。在高信噪比情況下，三者的輸出信干噪比曲線趨向重合，性能接近。Givens GSC法和SVD主分量法在多個稀疏旁瓣干擾情況下性能較好。仿真1條件下，當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖如圖4所示。

圖4 仿真1條件下，當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖Fig.4 Under the condition of simulation 1,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由圖4可以看出，三者都在期望信號方向形成主瓣。二項式對消法的旁瓣電平最高，Givens GSC次之，主分量法的旁瓣電平最低。三者的自適應(yīng)波束方向圖有明顯差異。

各算法調(diào)用阻塞矩陣耗時對比如表1所示，算法耗時為Monte Carlo實驗后所得的平均耗時。

表1 各算法調(diào)用阻塞矩陣耗時對比Tab.1 Comparison of the time consumed by each algorithm to call the blocking matrix

可以看出，主分量法調(diào)用阻塞矩陣所用的時間是Givens法的17.7倍，是二項式對消法的39.8倍。這是因為二項式對消法和Givens法調(diào)用的是已經(jīng)事先計算好所存儲的阻塞矩陣，這2種方法的阻塞矩陣的構(gòu)造不需要通過對接收信號做處理來得到，而SVD法由于需要將接收到的信號向期望信號方向的信號補空間做投影后，再對投影后的信號做奇異值分解來求取阻塞矩陣，上述過程無疑大大增加了GSC算法調(diào)用阻塞矩陣的時間。

仿真2：

在仿真1的仿真條件基礎(chǔ)上加入了陣列幅相誤差，不同信噪比條件下3種阻塞矩陣的GSC輸出信干噪比如圖5所示。

圖5 仿真2條件下，不同信噪比條件下3種阻塞矩陣的GSC輸出信干噪比Fig.5 Under the condition of simulation 2,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

通過對比圖5和圖3可以得出，當(dāng)SNRin>15 dB時，陣列幅相誤差使得3種GSC的性能都有所下降，當(dāng)SNRin<15 dB時，陣列幅相誤差對3種GSC的性能幾乎沒有影響。分析原因是，當(dāng)SNRin較大時，附加在接收信號中的期望信號分量上的陣列幅相誤差絕對值變大，利用GSC法處理時更容易將期望信號分量當(dāng)作干擾和噪聲而進行抵消，造成輸出信干噪比的下降。雷達接收信號的SNRin在實際情況下都較小，為此只需關(guān)注小輸入信噪比的情況。

當(dāng)SNR=30 dB時3種阻塞矩陣的GSC自適應(yīng)方向圖如圖6所示。

圖6 仿真2條件下，當(dāng)SNR=30 dB時3種阻塞矩陣的GSC自適應(yīng)方向圖Fig.6 Under the condition of simulation 2,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

仿真3：

考慮干擾信號來波方向位于指向期望信號的靜態(tài)方向圖主瓣內(nèi)的情況，不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比如圖7所示。

圖7 仿真3條件下，不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比Fig.7 Under the condition of simulation 3,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

由圖7可以看出，二項式對消法GSC不能夠抑制主瓣內(nèi)的干擾，幾乎失效。在SNR=-5 dB時，Givens GSC與SVD主分量法相比有5 dB左右的性能損失，隨著信噪比的增加，二者的性能曲線趨向接近，Givens法能夠一定程度的抑制主瓣內(nèi)的干擾信號，但其性能差于SVD主分量法。

分析原因是，SVD法的阻塞矩陣是通過對接收信號做奇異值分解求得的，阻塞矩陣的構(gòu)建是建立在采樣的接收樣本的基礎(chǔ)上。而Givens GSC的阻塞矩陣的構(gòu)建只與期望信號導(dǎo)向矢量有關(guān)，與采樣的接收樣本無關(guān)，構(gòu)造阻塞矩陣的先驗信息較少，導(dǎo)致Givens GSC差于SVD主分量法。而二項式對消法構(gòu)建的B矩陣，其每列只有2個矩陣元素非0，導(dǎo)致每一列阻塞信號的過程只利用陣列的2個陣元的接收信號，其他的N-2個陣元的接收信號在阻塞信號的過程里加權(quán)后為0，二項式對消法的阻塞矩陣在阻塞期望信號的同時也阻塞了其他陣元的接收信號，導(dǎo)致構(gòu)造阻塞矩陣的先驗信息不足，使得其不能夠抑制主瓣內(nèi)的干擾。

當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖如圖8所示。

圖8 仿真3條件下，當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖Fig.8 Under the condition of simulation 3,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由圖8可以看出，二項式對消法在期望信號方向沒有形成主瓣，Givens GSC法和SVD主分量法在期望信號方向形成了主瓣，干擾方向形成了零陷。Givens GSC法的旁瓣電平較高，在-10 dB左右。

仿真4：

考慮密集旁瓣干擾的情況，不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比如圖9所示。

圖9 仿真4條件下，不同信噪比條件下3種GSC輸出信干噪比Fig.9 Under the condition of simulation 4,output SINR of 3 GSCs under different SNR conditions

由圖9可以看出，Givens GSC在SNR=-5 dB時，與SVD主分量法相比有大約7 dB的性能損失，隨著信噪比的增加，二者的性能曲線趨向接近，Givens法能夠抑制密集旁瓣干擾信號，但其性能差于SVD主分量法。二項式對消法對密集旁瓣干擾信號的抑制效果很差。仿真4條件下，3種方法的性能好壞排序為：PC GSC>Givens GSC>二項式對消法GSC。

當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖如圖10所示。

圖10 仿真4條件下，當(dāng)SNR=30 dB時3種GSC自適應(yīng)方向圖Fig.10 Under the condition of simulation 4,the adaptive pattern of 3 GSCs when SNR is 30 dB

由圖10可以看出，3種方法都在干擾方向形成很深的零陷，SVD主分量法在期望信號方向形成主瓣，其他2種方法在期望信號方向沒有形成主瓣，反而在期望信號方向形成較淺的零陷，抑制了接收信號中的期望信號分量。

3 結(jié)束語

本文提出的基于Givens變換構(gòu)造阻塞矩陣的GSC法與SVD主分量法在稀疏旁瓣干擾情況下性能接近，在主瓣干擾和密集旁瓣干擾情況下，性能差5 dB左右，但其優(yōu)點在于不需要依賴接收信號構(gòu)造B矩陣，實際應(yīng)用中，可以將與期望信號對應(yīng)的阻塞矩陣事先計算好存儲起來，后續(xù)使用時直接調(diào)用即可?；贕ivens變換構(gòu)造阻塞矩陣的GSC法在各種仿真條件下的性能都優(yōu)于二項式對消法GSC，并且前者的阻塞矩陣輸出噪聲為白噪聲，而后者的阻塞矩陣輸出噪聲為色噪聲。色噪聲使得經(jīng)過阻塞矩陣的輸出信號的條件數(shù)變大，當(dāng)利用LMS法來迭代求解最優(yōu)權(quán)矢量時，條件數(shù)越大，收斂速度越慢，條件數(shù)過大會使得矩陣病態(tài)，導(dǎo)致最終求得的解與真實值誤差很大。經(jīng)過本文的理論分析和性能仿真，可以得出基于Givens 變換的GSC兼顧處理速度快和性能良好的優(yōu)點，是一種有效的自適應(yīng)抗干擾方法。