圓錐擺模型的拓展與變式

安徽 董廷燦

一、圓錐擺模型

1.結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：一根不可伸長的輕繩拴一個可視為質(zhì)點(diǎn)的擺球，懸掛后在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，如圖1所示。

圖1

2.受力特點(diǎn)：運(yùn)動中的小球受到重力和繩對小球的拉力作用，二者的合力提供小球做圓周運(yùn)動所需的向心力。

3.運(yùn)動參量：擺線的張力、轉(zhuǎn)動半徑、向心力、向心加速度、線速度、角速度、周期。

二、常規(guī)問題

【例題】如圖1所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的細(xì)線拴在天花板上的O點(diǎn)，現(xiàn)將小球拉開，使擺線L與豎直方向的夾角為θ，并使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(這種運(yùn)動通常稱為圓錐擺運(yùn)動)。求：

(1)細(xì)線對小球的拉力大??；

(2)小球運(yùn)動的線速度大??；

(3)小球做圓周運(yùn)動的角速度及周期。

圖2

(2)根據(jù)牛頓第二定律得

【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵在于知道小球做圓周運(yùn)動向心力的來源，并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大。

【拓展】有兩根長度不同的輕質(zhì)細(xì)線下面分別懸掛小球a、b，細(xì)線上端固定在同一點(diǎn)，若兩個小球繞同一豎直軸，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，相對位置關(guān)系分別如下圖所示，在兩個擺球在運(yùn)動過程中，小球a的角速度比小球b的角速度小的是

( )

A

B

C

D

三、變式

1.給圓周擺增加一個面的束縛

【變式1】如圖3所示，長為L的繩子下端連著一質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時，繩子與垂線的夾角θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平桌面上。

圖3

【解析】(1)對小球受力分析，作出受力分析圖如圖4，根據(jù)牛頓第二定律得

圖4

mg=FN1+FT1cos60° ②

圖5

mg=FT2cosα④

聯(lián)立③④解得FT2=4mg

【變式2】如圖6所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°，一條長為L的繩(質(zhì)量不計)，一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體(物體可看作質(zhì)點(diǎn))，物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動。

圖6

【解析】小球離開圓錐面的臨界條件為圓錐體對小球的支持力FN=0，如圖7所示，設(shè)此時小球的線速度為v0，則

圖7

(1)因?yàn)関1

FTcos30°+FNsin30°=mg

圖8

(2)因?yàn)関2>v0，小球離開圓錐面，對小球受力分析如圖9所示，有

圖9

【點(diǎn)評】變式2與題根相比，增加了一個外側(cè)面的束縛；分析受力、確定向心力來源、抓住小球不脫離錐面的臨界狀態(tài)、求出小球?qū)A錐面恰好無壓力時線速度的大小是解決本題的關(guān)鍵。解題時，需先求出物體剛要離開錐面時的線速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界線速度。當(dāng)小球的線速度大于臨界線速度，則小球離開錐面；當(dāng)小球的線速度小于臨界線速度，小球仍受到圓錐面支持力。

【變式3】將一個透明玻璃漏斗倒扣在水平桌面上，如圖10所示。OC⊥AB，∠BOC=53°，一條長為L(L

圖10

(1)小球的線速度v多大時，小球與漏斗之間剛好沒有擠壓；

【解析】(1)當(dāng)小球與漏斗之間剛好沒有擠壓時，小球只受重力和繩的拉力，根據(jù)向心力方程有

(2)因?yàn)関1>v，小球擠壓漏斗，漏斗對小球的彈力FN≠0，設(shè)繩子拉力為FT。

豎直方向FTcos53°-FNsin53°=mg

解得FT=2mg

【點(diǎn)評】變式3與例題相比，增加了一個內(nèi)側(cè)面的束縛；分析受力、確定向心力來源、抓住小球不脫離漏斗的臨界狀態(tài)、求解出小球?qū)β┒穬?nèi)側(cè)恰好無壓力時線速度的大小是解決本題的關(guān)鍵。解題時，需先求出物體剛要離開漏斗時的線速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界線速度。當(dāng)小球的線速度大于臨界速度時，小球擠壓漏斗；當(dāng)小球的線速度小于臨界速度時，小球脫離漏斗。

2.給圓周擺增加一條線的束縛

【變式4】如圖11所示，兩根輕繩同系一個質(zhì)量m=0.1 kg 的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，繩AC長L=2 m，當(dāng)兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，g=10 m/s2。求：

圖11

(1)當(dāng)AC、BC均處于拉直狀態(tài)，且BC繩拉力恰好為零時，小球的角速度為多少？

(2)當(dāng)AC、BC均處于拉直狀態(tài)，且AC繩拉力恰好為零時，小球的角速度為多少？

(3)當(dāng)小球的角速度為ω=4 rad/s時，上下兩根輕繩拉力各為多少？

【解析】(1)當(dāng)恰好只有AC繩拉緊而BC繩拉直但無拉力時，根據(jù)牛頓第二定律可得

解得ω1≈2.4 rad/s

解得ω2≈3.16 rad/s

(3)由(1)(2)可知：當(dāng)2.4 rad/s<ω<3.16 rad/s時兩繩均張緊。當(dāng)ω=4 rad/s時，AC繩無拉力，BC繩與桿的夾角θ>45°。設(shè)此時BC與豎直方向的夾角為θ，對小球有

FBCcosθ=mg

FBCsinθ=mω2LBCsinθ

Lsin30°=LBCsin45°

聯(lián)立解得FBC≈2.3 N，F(xiàn)AC=0。

【點(diǎn)評】變式4與例題相比，小球多了一根懸線的束縛，但仍然做勻速圓周運(yùn)動。當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速較小時，AC繩繃緊而BC繩松弛，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速較大時，BC繩繃緊而AC繩松弛；當(dāng)AC繩拉直但沒有力時，BC繩拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出此時的角速度，當(dāng)BC繩拉直但沒有力時，AC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出角速度，當(dāng)角速度處于兩者之間時，兩繩均張緊；當(dāng)ω=4 rad/s時，BC繩子拉力的水平分力提供向心力，豎直方向分力之和與重力平衡，根據(jù)牛頓第二定律列式求解。

【變式5】如圖12所示，AC、BC兩根繩子系著一個質(zhì)量為m=0.5 kg的小球，兩繩的A、B端分別固定在豎直轉(zhuǎn)動軸上，AC繩長L=2 m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為37°和53°，(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)求：

圖12

(1)小球隨軸轉(zhuǎn)動的角速度ω=2.5 rad/s時，繩AC、BC的張力分別是多少？

(2)小球隨軸轉(zhuǎn)動的角速度ω=3.0 rad/s時，繩AC、BC的張力分別是多少？

【解析】(1)若BC繩子剛好伸直，則

解得ω0=2.5 rad/s

因?yàn)棣?=ω，所以BC繩子張力為0；根據(jù)牛頓第二定律，有

FACx=mω2Lsin37°=3.456 N

FACy=mg=5 N

(2)當(dāng)ω=3.0 rad/s>ω0時，BC繩子是伸直的，根據(jù)牛頓第二定律，有

豎直方向FACcos37°-FBCcos53°=mg

水平方向FACsin37°+FBCsin53°=mω2Lsin37°

聯(lián)立解得FAC≈7.24 N，F(xiàn)BC≈1.32 N

【點(diǎn)評】變式5與變式4相比，BC繩子的懸點(diǎn)B由小球重心的上方變?yōu)橄路?，對?yīng)的臨界條件也有所不同。當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速較小時，AC繩子繃緊而BC繩子松弛，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速較大時，兩根繩子均繃緊；解決本題的關(guān)鍵在于找出BC繩子恰好拉直的臨界狀態(tài)，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解。

【變式6】如圖13所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m=2 kg的小球，其中BC=1 m，兩繩能承擔(dān)的最大拉力相等且為F=40 N，小球隨轉(zhuǎn)軸以一定的角速度轉(zhuǎn)動，AC和BC均拉直，此時∠ACB=53°，BC⊥AB，ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，而C球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10 m/s2)(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)，求：

圖13

(1)當(dāng)BC繩剛好拉直時，角速度多大？

(2)當(dāng)小球的角速度增大時，通過計算判斷AC和BC哪條繩先斷？當(dāng)先斷的繩剛斷時，角速度多大？

(3)一條繩被拉斷后，為了讓小球能夠做圓周運(yùn)動，則小球的最大線速度為多少？

【解析】(1)當(dāng)BC繩剛好拉直時，小球受AC繩的拉力FAC和重力mg，對小球有：

水平方向FACcos53°=mω2·BC

豎直方向FACsin53°=mg

由以上方程解得ω≈2.73 rad/s

(3)當(dāng)BC繩剛好拉直后，AC繩和BC繩上的拉力分別為FAC和FBC，對小球有：

豎直方向FACsin53°=mg

水平方向FBC+FACcos53°=mω2·BC

當(dāng)小球的加速度增大時，繩AC的拉力FAC不變，繩BC的拉力FBC增大，所以繩BC先斷；由題意可知當(dāng)FBC=F=40 N時，繩BC被拉斷，由以上方程化簡可得此時的角速度ω≈5.24 rad/s。

(3)當(dāng)BC繩被拉斷后，設(shè)AC繩與豎直方向的夾角為α，則FACcosα=mg

由題意可知，F(xiàn)AC的最大值為FACmax=40 N

由以上方程可知α=60°，即當(dāng)α=60°時，對應(yīng)線速度最大，則

由幾何關(guān)系可知AC=1.25 m

由以上方程解得v=4.33 m/s

【點(diǎn)評】變式6與變式4、5相比，BC繩子的懸點(diǎn)B由小球重心的上、下兩側(cè)變?yōu)榈雀撸瑢?yīng)的臨界條件也有所不同。當(dāng)小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，對小球進(jìn)行受力分析，合外力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解角速度；線速度再增大些，F(xiàn)AC不變而FBC增大，所以BC繩先斷；當(dāng)BC繩斷后，AC繩與豎直方向夾角α因離心運(yùn)動而增大，當(dāng)小球線速度再增大時，角α隨球速增大而增大，當(dāng)AC也要被拉斷時，速度最大，根據(jù)向心力公式求解即可。

綜上所述，解決好圓錐擺問題的關(guān)鍵在于明確小球的運(yùn)動情況、受力情況、臨界狀態(tài)，再結(jié)合牛頓運(yùn)動定律、圓周運(yùn)動知識進(jìn)行求解。