例談基本圖形的教學(xué)策略

高曉程

摘 ? 要：基本圖形的教學(xué)要在學(xué)生理解圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過變式強(qiáng)化圖形的本質(zhì)屬性，從不同層次設(shè)置練習(xí)，鞏固圖形結(jié)構(gòu)，深化對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解，從而助力學(xué)生直觀想象的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：教學(xué)策略;旋轉(zhuǎn);直觀想象

基本圖形的教學(xué)目的是發(fā)展學(xué)生的直觀想象.直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養(yǎng)[ 1 ].直觀想象能力比較強(qiáng)的學(xué)生當(dāng)看到幾何圖形的一部分時(shí)，能將圖形的全貌補(bǔ)充完整，從而解決問題.但很多時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，并不是將基本圖形告訴學(xué)生，學(xué)生就能應(yīng)用.故要深化學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷基本圖形結(jié)構(gòu)的形成過程，從不同的感官和角度理解圖形的結(jié)構(gòu)，助力學(xué)生從復(fù)雜圖形中識(shí)別基本圖形，或是從一般圖形中構(gòu)造基本圖形.

本文以“共頂點(diǎn)，等線段”這個(gè)基本圖形為例，談?wù)劵緢D形教學(xué)的策略.

1 ?重視對(duì)基本圖形結(jié)構(gòu)的生成過程

圖形的結(jié)構(gòu)是圖形的基礎(chǔ)，無論是從復(fù)雜圖形中識(shí)別還是構(gòu)造圖形都是基于圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行識(shí)別和構(gòu)造的.因此，基本圖形的教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生明白基本圖形的結(jié)構(gòu)，更要認(rèn)識(shí)基本圖形的結(jié)構(gòu)為何是這樣的.在教學(xué)過程中應(yīng)注重圖形結(jié)構(gòu)的生成過程，讓學(xué)生主動(dòng)參與到圖形結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)與構(gòu)建的過程，深化對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解.

為了讓學(xué)生參與“共頂點(diǎn)，等線段”這個(gè)基本圖形的結(jié)構(gòu)生成，首先讓學(xué)生完成下面三個(gè)問題，通過從圖形中尋找經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，通過問題（4），找出這些圖形的共同特征，歸納圖形的基本結(jié)構(gòu).

（1）如圖1，等腰RtΔABC，∠C=90°，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，連接DB，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且CF=CD，圖中是否存在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，并敘述旋轉(zhuǎn)的過程.

（2）如圖2，ΔABC和ΔBED均為等邊三角形，A，D，E三點(diǎn)共線，圖中是否存在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，并敘述旋轉(zhuǎn)的過程.

（3）如圖3，正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，連接OE，作OF⊥OE交CD于點(diǎn)F，圖中是否存在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，并敘述旋轉(zhuǎn)的過程.

（4）上述的三個(gè)問題中都存在著經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，觀察圖1～圖3，這三組旋轉(zhuǎn)變換有何共同特征？這三幅圖形有何共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：這是學(xué)生學(xué)完旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)之后，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決圖形問題.通過引導(dǎo)學(xué)生圍繞旋轉(zhuǎn)的三要素先觀察圖1～3，找出圖形中經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，在敘述旋轉(zhuǎn)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三組旋轉(zhuǎn)變換的共同特征，旋轉(zhuǎn)中心都是兩個(gè)三角形公共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度都是兩條相等線段的夾角.接著讓學(xué)生關(guān)注題干條件，每個(gè)小題中都有提供等腰三角形，然后讓學(xué)生結(jié)合在圖1～3中找到的旋轉(zhuǎn)變換對(duì)比分析，等腰三角形的兩條腰就是旋轉(zhuǎn)變換中的一組對(duì)應(yīng)邊，等腰三角形的頂角就是旋轉(zhuǎn)角，等腰三角形頂角的頂點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心.

2 ?通過變式促進(jìn)對(duì)基本圖形結(jié)構(gòu)的理解

通過改變外部圖形的條件，讓學(xué)生辨析圖形中是否存在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)能重合的兩個(gè)三角形，進(jìn)一步明確外部圖形的結(jié)構(gòu)，可以深化學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解，提升對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)能夠從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等三角形奠定基礎(chǔ).

（5）如圖4，等腰三角形ABC和等腰三角形DEF的形狀相同，但大小不一樣，當(dāng)這兩個(gè)等腰三角形如何放置時(shí)，可以得到兩個(gè)全等三角形，使得它們可以通過旋轉(zhuǎn)完成重合？請(qǐng)?jiān)诳瞻滋幃嫵鍪疽鈭D，并確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

（6）如果圖4中的兩個(gè)等腰三角形的頂角∠A與∠D不相等，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)還能得到可重合的兩個(gè)三角形嗎？

（7）請(qǐng)歸納，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)能得到兩個(gè)重合的三角形的圖形應(yīng)具備什么條件？

（8）想一想，為何圖形中存在“共頂點(diǎn)，等線段”的結(jié)構(gòu)可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等三角形？

設(shè)計(jì)意圖：通過前面4個(gè)問題讓學(xué)生獲得如下經(jīng)驗(yàn)，圖形中有等腰三角形時(shí)可能存在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可完全重合的兩個(gè)三角形，其中旋轉(zhuǎn)中心是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角是等腰三角形的頂角.問題（5）從等線段共頂點(diǎn)到讓學(xué)生動(dòng)手自己擺放，體驗(yàn)當(dāng)頂點(diǎn)不重合時(shí)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)能重合的兩個(gè)三角形不存在，當(dāng)?shù)捉堑捻旤c(diǎn)重合時(shí)，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)能重合的兩個(gè)三角形不存在，此時(shí)兩個(gè)三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后位似.從而明確第一個(gè)條件兩組相等的線段要共頂點(diǎn).問題（6）從兩個(gè)相似的等腰三角形到兩個(gè)等腰三角形不相似，讓學(xué)生體會(huì)從相似有旋轉(zhuǎn)，到不相似沒有旋轉(zhuǎn)的變化中，明確圖形的第二個(gè)條件，相等的線段的夾角要相等，并且這個(gè)夾角就是旋轉(zhuǎn)角.通過問題（7）讓學(xué)生歸納圖形特征：圖形中可以找到兩組等線段，且這兩組等線段滿足兩個(gè)條件，四條線段共頂點(diǎn)，且相等線段的夾角相等，從而獲得圖形的基本結(jié)構(gòu).最后通過問題（8）構(gòu)建圖形結(jié)構(gòu)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的聯(lián)系，從旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的角度再次認(rèn)識(shí)圖形結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生明白和接受圖形的結(jié)構(gòu).

3 ?設(shè)置有層次的練習(xí)掌握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征

學(xué)生習(xí)得一個(gè)基本圖形除了讓學(xué)生充分經(jīng)歷圖形結(jié)構(gòu)的形成過程之外，要讓學(xué)生會(huì)在具體的情境中應(yīng)用還需要一定程度的練習(xí).通過設(shè)置有層次的練習(xí)可以助力學(xué)生掌握基本圖形.練習(xí)可以分為三個(gè)層次：

層次一：能直接從圖形中看出“共頂點(diǎn)，等線段”，主動(dòng)尋找或是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等三角形.該層次的練習(xí)不一定要讓學(xué)生完整解決問題，可以是根據(jù)條件或圖形添加輔助線，或是完成某個(gè)部分的求解.如圖5，AD是邊長(zhǎng)為6的等邊ΔABC的BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CF的位置，如果要添加一條輔助線，你會(huì)如何添加？為什么？目的是鞏固圖形結(jié)構(gòu)，通過練習(xí)建立“共頂點(diǎn)，等線段”與旋轉(zhuǎn)型的全等三角形的聯(lián)系，發(fā)展直觀想象，為學(xué)生解決后兩個(gè)層次的問題鋪墊.

層次二：能從條件或結(jié)論中推斷需要改變線段的位置但不改變線段的長(zhǎng)度，主動(dòng)尋找“共頂點(diǎn)，等線段”構(gòu)造旋轉(zhuǎn)改變線段位置.該層次的練習(xí)要讓學(xué)生明白當(dāng)需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等三角形時(shí)要尋找圖形中“共頂點(diǎn)，等線段”.如圖6，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF.明確尋找或構(gòu)造基本圖形的目的，

層次三：借助直觀想象，根據(jù)“共頂點(diǎn)，等線段”先構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知條件解決問題.練習(xí)的最終目標(biāo)就是要學(xué)生能活動(dòng)直觀，靈活應(yīng)用圖形解決問題.如已知∠MON=60°，P為射線OM上的點(diǎn)，OP=1.如圖7，α=60°，A，B均為射線ON上的點(diǎn)，OA=1，OB>OA，ΔPBC為等邊三角形，且O，C兩點(diǎn)位于直線PB的異側(cè)，連接AC.判斷直線AC與OM的位置關(guān)系并加以證明.

基本圖形的教學(xué)是發(fā)展學(xué)生直觀想象的過程，教學(xué)的過程要重視圖形結(jié)構(gòu)的理解，讓學(xué)生知其然，知其所以然，知其何以所以然.通過從一類圖形中歸納，抽象出基本圖形的結(jié)構(gòu)，利用所學(xué)的幾何知識(shí)解釋說明基本圖形的結(jié)構(gòu)，通過有層次的變式練習(xí)促進(jìn)不同程度的學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解，從而掌握基本圖形的本質(zhì)屬性，發(fā)展直觀想象.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.