在推理中觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，在想象中發(fā)展幾何直觀

何靜 劉朝建

[摘 要]在學(xué)生已經(jīng)預(yù)學(xué)了新知的前提下，教學(xué)就不能僅僅停留在知識層面。以“長方體的認(rèn)識”為例，借助操作將學(xué)生的思維引入深處，使學(xué)生觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]長方體;數(shù)學(xué)本質(zhì);幾何直觀

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0061-03

如果學(xué)生已經(jīng)預(yù)學(xué)了新知，那教師在課堂上還教嗎？怎么教？教什么？把新授課上成復(fù)習(xí)課？把新授課上成練習(xí)課？……這是我一直以來的困惑。于是，在教學(xué)“長方體的認(rèn)識”之前，我給學(xué)生布置了一項作業(yè)——“我為長方體代言”，讓學(xué)生在寒假里通過自學(xué)和制作長方體框架圖等活動，對長方體的特征有所了解。但是，學(xué)生對長方體就有了從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的認(rèn)識了嗎？教學(xué)時應(yīng)該如何基于學(xué)生已有的活動經(jīng)驗，使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度對長方體有更深刻的認(rèn)識？學(xué)生的幾何直觀在這節(jié)課上應(yīng)該得到怎樣的發(fā)展？這節(jié)課后究竟應(yīng)該給學(xué)生留下什么觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西？為了更好地回答這些問題，我在“長方體的認(rèn)識”的教學(xué)中將“在推理中觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，在想象中發(fā)展幾何直觀”設(shè)為教學(xué)的主要目標(biāo)。

一、追根溯源，初識立體

1.感受點、線、面、體的關(guān)系

師：如果一個點沿著同一方向運動，能形成什么？

生（齊）：形成一條線段。

師（PPT演示）：我們可以把這個過程叫“點動成線”。閉上眼睛想一想，如果一條線沿著一個方向平移，能形成什么？

生（齊）：形成一個長方形（或正方形）。

師（PPT演示）：線段沿著一個方向平移形成長方形，那我們就說“線動成面”，這個面可能是長方形，也可能是正方形。如果讓這個長方形在空中垂直落下，長方形掃過的空間，又會是一個什么圖形呢？（長方體）你是怎么想到的？可以用這本書代替這個長方形試一試。

師（PPT演示）：垂直落下的長方形掃過的空間果然是一個長方體！這節(jié)課我們就一起來認(rèn)識長方體。

2.認(rèn)識頂點、棱、面

師：剛剛我們經(jīng)歷了“點動成線” “線動成面”“面動成體”，看來點、線、面是研究立體圖形的重要元素。

師（手持長方體學(xué)具）：在長方體中，這些點叫頂點，這些線叫棱，這些面叫長方體的面。

【設(shè)計意圖：“長方體的認(rèn)識”是學(xué)生認(rèn)識立體圖形的初始課，“點動成線”“線動成面”“面動成體”的演示，能讓學(xué)生了解立體圖形的演變過程，對學(xué)生建構(gòu)立體圖形框架，了解點、線、面、體間的關(guān)系都有著重要的作用?！?/p>

二、化繁為簡，探其本質(zhì)

師：在寒假里大家都完成了作業(yè)“我為長方體代言”，也制作了長方體框架，接下來就進行一個小測試。

1.生生對話，辨析面的特征

PPT出示：長方體有（?）個面，這些面都是（）形，它們相對的面大?。?）。

生1：長方體有6個面，這些面都是長方形，它們相對的面大小相等。

生2：我不同意！在長方體中，有時有2個面是正方形。長方體的6個面不一定都是長方形，有時是正方形。

師：也就是可能6個面都是長方形，也有可能是2個面是正方形，4個面是長方形。

師：不用長方體實物，能用你的雙掌把這6個面表示出來嗎？

師：請說明相對的面是大小相等的。

（引導(dǎo)學(xué)生利用“面動成體”說明相對的面由平移而來，所以大小相等）

師：剛剛大家都說到了“平移”，平移后物體的特點是——大小、方向、形狀不變，我們一起來平移看看。

（學(xué)生閉上眼睛邊想邊用手勢演示）

2.師生合作，明確頂點的特征

PPT出示：長方體有（）頂點。

生3：8個 。我是一個個數(shù)出來的。

師：每次都要拿一個長方體來數(shù)嗎？誰能根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的知識說明長方體有8個頂點？

生4：長方形有4個點，往上平移時，得到的面也有4個點，平移的過程中沒有增加過，所以一共8個。

師：這8個點可不可以是左右兩個面的頂點相加？或前后兩個面的頂點相加？

師：你們都同意長方體有8個頂點？可是長方體有6個面，每個面有4個頂點，是不是應(yīng)該有24個頂點？

生5：長方體中的這三個面共用了一個頂點，你剛剛算了3次，24還要除以3才行！

生6：我來總結(jié)，長方體有6個面，每個面有4個頂點，一共有24個頂點，三個面共用了一個頂點，算了3次，24要除以3，等于8 。

師：看來要求有多少個頂點，不僅僅可以通過數(shù)的方法，還可以通過找點與面的關(guān)系推理得到。

3.層層深入，探究棱的特征

PPT出示：長方體有（）條棱，這些棱分別叫（）、（ ）、（）。

生7：長方體有12條棱，這些棱分別叫長、寬、高。

師：你是用什么方法知道長方體有12條棱的？（數(shù)出來）除了數(shù)還有其他方法嗎？

生7：長方體有4條高、4條長，還有4條寬，一共就有12條棱。

生8：長方體有6個面，每個面有4條邊，一共就有24條棱，因為一條棱算了2次，所以只有12條棱。

師：一條棱算2次就是說兩個面共用一條棱，一條棱連接了兩個面。

生9：我還有一種方法，一共有8個頂點，每個頂點有3條邊，就有24條棱，但是每條棱算了2次，也是12條。

師：同學(xué)們用不同方式得出有12條棱。能求長方體的棱長總和嗎？

生10：長方體有4條高、4條長、4條寬，把它們加起來就行了。

生11：長加寬加高的和乘4。

師：這里的4是什么意思？

生12：4條高、4條長、4條寬。

師：這里的4僅僅是指4條高、4條長、4條寬嗎？

生13：還表示有4組長、寬、高。

師：通過剛才的探究，大家對長方體有了更深的認(rèn)識，知道頂點個數(shù)可以推導(dǎo)出棱的多少，知道有6個面可以推導(dǎo)出頂點的多少?？磥睃c、線、面是相互聯(lián)系和相互依存的。

【設(shè)計意圖：通過自學(xué)小測試，教師能夠了解學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，找準(zhǔn)教學(xué)的切入點。

長方體有8個頂點、12條棱、6個面，每個面都是長方形，相對的兩個面大小相等，這些知識對五年級的學(xué)生來說并不難，因為他們已經(jīng)初步具有脫離實物進行空間想象的能力。學(xué)生用雙掌比畫長方體的“上下”“左右” “前后”六個面時，能調(diào)動多種感官參與想象，讓具體與抽象之間無痕過渡。

教師僅僅是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)記住長方體有“8個頂點，6個面，12條棱”，還是幫助學(xué)生通過推理在頭腦中形成一個三維空間的立體體系？如果僅僅記住這些，頂點、棱、面在學(xué)生頭腦中是孤立的、單一的知識點。而通過推理從多個角度感悟頂點、棱、面之間數(shù)量與形狀的關(guān)系，通過推理論證發(fā)現(xiàn)長方體特征背后的一些道理，學(xué)生才能既發(fā)展空間觀念，又感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與好玩。為思維而教，發(fā)展學(xué)生的空間觀念正是教育的目標(biāo)所在?！?/p>

三、視動結(jié)合，發(fā)展三維

1.動手操作

師（出示長方體框架）：這個框架最多可以去掉多少條棱，或者是最少要保留多少條棱，你依然能感受到這個長方體的大??？拿出你們做的長方體框架，拆一拆，說一說。

師：很多同學(xué)都說只要3條棱就可以確定長方體的大小了，確定嗎？（確定?。┱娴拇_定？（確定?。┎桓牧耍浚ú桓牧耍。?/p>

師（出示2條長和1條寬）：這是幾條棱？（3條）行嗎？

生1：三條棱需要的是長、寬、高。

生2：至少要保留一組長、寬、高，才能知道這個長方體的大小。

出示：

師：閉上你的眼睛，在腦中想出1條長、1條寬，形成1個面，再想出1條高，從而形成1個長方體。

師：長和高只能組成前面嗎？（前面和后面）

師：左右兩個面是由哪2條棱組成的？（寬和高）長和寬呢？（上下面）

師：通過剛才的想象，說說你的感受。

生3：我現(xiàn)在一閉上眼，腦海中就有一個長方體。

生4：感覺長方體好簡單！

2.展開想象

師：在這8幅圖中，如果以圖①為底面，請找出另外5個面，使它們成為一個長方體。

師：應(yīng)該選哪一幅圖作為前面？說說你的理由。先在腦中想，再用手中的學(xué)具擺一擺。

師：上面該擺在哪里？

（根據(jù)學(xué)生的回答，教師把⑧號圖放在不同的四個方向讓學(xué)生想象）

師：其實你們剛剛擺的這幅圖就是長方體的展開圖。

師：現(xiàn)在大家都是魔法師，閉上眼睛，讓前面“站起來”，后面也“站起來”，左右也“站起來”，上面“蓋上去”，成了一個長方體嗎？

【設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)的兩個活動重在幫助學(xué)生鞏固提升，建立空間觀念。其一，利用“拆”，讓學(xué)生把握長方體的核心要素。先利用剩下的3條棱（長、寬、高）想象長方體的大小，再根據(jù)長、寬、高構(gòu)建一個長方體，從而發(fā)展學(xué)生的空間思維能力。其二，動手操作對學(xué)習(xí)幾何而言是一個重要方法，但是沒有經(jīng)過思考或沒有思維挑戰(zhàn)的動手操作，如行尸走肉，沒有價值。讓學(xué)生在8個面中選出6個面后拼出一個長方體的平面展開圖，學(xué)生既感受到了面與棱之間的關(guān)系，又體會到相對的面相等。最后讓圖形“站”起來，學(xué)生在三維圖與展開圖之間切換與想象，拓展和提升了空間想象力?！?/p>

四、維度變化，回味幾何

師：課前我們說的“點動成線”的線只有長短，用1個數(shù)就可以描述，是一維的?！熬€動成面”的面是由長和寬來描述，需要2個數(shù)，所以是二維的。那長方體是幾維的？（三維）需要哪些數(shù)來描述？（長、寬、高）

師：今天我們只學(xué)習(xí)了長方體，有同學(xué)很納悶——為什么不學(xué)正方體呢？

生1：學(xué)了長方體就不需要學(xué)習(xí)正方體了，學(xué)習(xí)長方體后我就已經(jīng)認(rèn)識了正方體。

師：對啊，正方體其實就是特殊的長方體。這節(jié)課的學(xué)習(xí)與你們課前的自學(xué)相比較，有哪些不一樣的感受呢？

生2：通過今天的學(xué)習(xí)，我對長方體的認(rèn)識更深入了！知道從一個頂點出發(fā)的三條棱就可以確定一個長方體。

生3：自學(xué)的時候我只知道長方體的一些表面知識，比如長方體有6個面、8個頂點、12條棱，現(xiàn)在還知道了它們的內(nèi)涵和特征。

【設(shè)計意圖：維度變化，回味幾何， 前后照應(yīng)。課前，“點動成線”“線動成面”“面動成體”在學(xué)生的頭腦中已建立表象，隨著教學(xué)的推進，學(xué)生對長方體有了深入的認(rèn)識。課末，利用“點動成線”“線動成面”“面動成體”揭示“一維”“二維”“三維”，學(xué)生不僅看到表象，更能探其根本。

學(xué)生通過這堂課的學(xué)習(xí)，頭腦中留下的不僅僅是“特征”，還留下了研究的方法。學(xué)生對 “為什么不學(xué)正方體？”的回答就是最好的印證?！?/p>

綜上，教學(xué)不能僅僅停留在知識層面，想象是發(fā)展和培養(yǎng)空間觀念的重要途徑，推理可以讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。推理與想象并行，思維與空間同在！

（責(zé)編 金 鈴）