關(guān)于圓的有關(guān)內(nèi)容教材編寫及二次開發(fā)研究（三）

劉慧

[摘 要]針對研究（二）中分析的教材編寫圓的面積探究活動存在的問題，提出了對教材中圓的面積進(jìn)行二次開發(fā)的思路以及修改課程標(biāo)準(zhǔn)的建議，并結(jié)合教學(xué)實踐證明其可行性;給出了估計、猜測圓的面積之探究活動設(shè)計的建議，簡單介紹二次開發(fā)思路中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

[關(guān)鍵詞]圓;面積;教材;二次開發(fā)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0008-03

《關(guān)于圓的有關(guān)內(nèi)容教材編寫及二次開發(fā)研究（二）》中分析探討了圓的面積的“畫—分—剪—拼”方法存在的諸多問題，說明了其不可行性。為了解決《關(guān)于圓的有關(guān)內(nèi)容教材編寫及二次開發(fā)研究（二）》中提出的問題，也為了使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)圓的面積，下面將提出對教材進(jìn)行二次開發(fā)的建議并進(jìn)行說明。

一、二次開發(fā)的建議

第一，編排圓的基本知識（圓心、半徑、直徑），以及圓的周長和其求法公式（含圓周率）。

第二，編排扇形的基本知識（頂點、圓心角、弧、弧長），及用弧長和半徑表示的扇形面積公式。

第三，編排圓的面積。關(guān)于圓的面積，可以先用方格紙或圓內(nèi)接與外切正方（多邊）形進(jìn)行估計，提出猜想;再用扇形面積公式推導(dǎo)圓的面積公式。當(dāng)然，也可以不進(jìn)行估計，直接轉(zhuǎn)化為用扇形面積公式推導(dǎo)圓的面積公式。

二、二次開發(fā)的建議說明

1.需解決的問題——修改課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)內(nèi)容

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“第二學(xué)段（4～6年級）”中關(guān)于扇形的有關(guān)內(nèi)容：“5.通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。”這里也就是讓學(xué)生認(rèn)識扇形這個圖形，及其定義和構(gòu)成元素——頂點、圓心角、弧。而弧長的概念及求法，以及扇形的面積公式的內(nèi)容出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第三學(xué)段（7～9年級）“（7）會計算圓的弧長、扇形的面積”?？梢?，上述設(shè)計思路要得到落實，就有必要對課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行修改。這也是浙教版和冀教版教材在推導(dǎo)圓的面積公式時，使用扇形面積公式，而沒有明確指出的原因，因其超越了第二學(xué)段的課程標(biāo)準(zhǔn)要求。因此要使上述設(shè)計思路得以實施，建議課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段（4～6年級）的有關(guān)內(nèi)容做如下修改。

（1）在“二、圖形與幾何”中，將“（一）圖形的認(rèn)識”部分之“5.通過觀察、操作，認(rèn)識……圓，知道扇形……”（第12頁）中的“知道扇形”改為“簡單認(rèn)識扇形”，意在增加“弧長”的概念。

（2）在“（二）測量”之“4.通過操作，了解圓的……解決簡單的實際問題?！焙?，添加“會計算一些圓心角為特殊角的扇形的弧長，掌握用弧長和半徑求扇形面積的公式，并能解決簡單的實際問題”。

這樣一來，設(shè)計思路中的第二條就可以符合課程標(biāo)準(zhǔn)的形式正大光明地出現(xiàn)了。前述浙教版和冀教版教材出現(xiàn)的“猶抱琵琶半遮面”“羞羞答答”的尷尬局面也可打破，為第三條“根據(jù)扇形面積公式推導(dǎo)圓的面積公式”鋪平了道路，可大大減少機(jī)械式的拼圖等不必要的麻煩。

2.修改課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)內(nèi)容的其他原因分析

首先，現(xiàn)行教材除北師大版教材只是出現(xiàn)扇形名稱外，其他教材都給出了扇形的定義及有關(guān)概念，且都（含北師大版教材）配備了一些計算特殊扇形周長和面積的練習(xí)題。如，浙教版教材第75頁（如圖1）、76頁（如圖2）有不少與扇形面積有關(guān)的問題;蘇教版教材第101頁（如圖3）的第14題和思考題都是求扇形面積的練習(xí)題;等等。蘇教版、冀教版、西師大版、青島版教材均把扇形內(nèi)容的編排放在了圓的面積之前。故先學(xué)習(xí)扇形及其面積公式是有必要的。

其次，各教材在利用“畫—分—剪—拼”探究方法把圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形時，將圓形紙片等分后，青島版和北師大版教材就直接給出分成的小扇形，人教版教材則是分成近似的等腰三角形。這種情況下，就是不講扇形面積公式，而用三角形面積公式近似推導(dǎo)圓的面積公式，誤差更小，近似程度更高，學(xué)生也更好理解。而用分成的眾多小扇形拼成圖形，再將曲線取直轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形等學(xué)生已學(xué)過的圖形，誤差大不說，還說是圓的面積公式，學(xué)生能信服？既然如此，何必先近似得出圓的面積公式，而后到初中再由圓的面積公式推導(dǎo)出扇形面積公式呢？

最后，先學(xué)習(xí)用半徑和弧長表示的扇形面積公式，學(xué)生好懂好理解。這是因為，當(dāng)扇形的圓心角比較小時，扇形就和三角形很相似或接近，此時滲透類比方法，引導(dǎo)學(xué)生猜想扇形面積公式就很容易。按青島版教材的編排，在學(xué)生學(xué)習(xí)了扇形的有關(guān)知識后介紹弧長，然后給出一個圓心角比較小的扇形的弧長和半徑的長度，讓學(xué)生求其面積，結(jié)果在沒有任何提示的情況下，兩個班共90人中，有86人（占總?cè)藬?shù)的95.56%）用三角形面積公式求出了扇形的面積。這說明學(xué)生發(fā)現(xiàn)了扇形與三角形的相似性，很容易接受類比思想。另外，用相同的問題考查五年級已學(xué)過三角形面積的學(xué)生，甚至連扇形、弧、圓心角這些名詞都沒提，只是說明了表示弧的線有點彎曲，但弧上每一點與頂點的距離都相等，讓學(xué)生借助相似性類比已學(xué)內(nèi)容解決問題。結(jié)果兩個班共112人中，有104人（占總?cè)藬?shù)的92.86%）用三角形面積公式求出了面積。這足以說明，教師可以根據(jù)學(xué)生的猜想直接指出“扇形的面積等于弧長與半徑的乘積除以2”，或?qū)⒒￠L看成近似三角形的底，用“底乘高除以2”表示。這種處理方式既體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段“數(shù)學(xué)思考”中倡導(dǎo)的“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”的要求，又實現(xiàn)了三角形面積公式與扇形面積公式的統(tǒng)一性，有利于學(xué)生記憶和活學(xué)活用。因此，先學(xué)習(xí)扇形面積公式是可行的。

學(xué)生學(xué)了扇形面積公式后再去推導(dǎo)圓的面積公式就順理成章了?？梢龑?dǎo)學(xué)生將圓分成（可等分也可不等分）幾個扇形，求出每個扇形的面積后再求其和即可推導(dǎo)圓的面積公式。這樣，既簡單好懂，又省去了比較困難和煩瑣的操作過程。

3.圓的面積估計與猜想的編寫建議

對于圓的面積，是否需要先用方格紙或圓內(nèi)接與外切正方形進(jìn)行估計，提出猜想，再推導(dǎo)出圓的面積公式呢？浙教版、蘇教版、西師大版教材編排了“估計—猜想—驗證”，目的應(yīng)該是體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段的“二、圖形與幾何”中，“（二）測量”之“5.會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積“（第12頁），以及 “在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”的要求。其實，課程標(biāo)準(zhǔn)并未明確要求在圓的面積部分體現(xiàn)，在其他內(nèi)容中體現(xiàn)亦可，這也是其他教材都沒有此設(shè)計，而是直接推導(dǎo)圓的面積公式的原因。當(dāng)然，若教材能夠滲透數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對學(xué)生的發(fā)展還是有益的，但切忌機(jī)械式的操作計算。為此，提出以下建議：

以蘇教版教材（如圖4）和西師大版教材（如圖5）為例進(jìn)行說明。由圖可見，兩個版本的教材都是先畫一個正方形，再以正方形的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑畫圓，然后用數(shù)方格的方法，數(shù)出四分之一圓的面積和正方形面積，進(jìn)而得出圓的面積，最后計算出圓的面積是正方形面積的幾倍，得到3倍多一些的結(jié)論，至此，都未引導(dǎo)學(xué)生提出猜想。

可見，該設(shè)計不僅有機(jī)械操作計算的問題，還存在著思路顛倒的問題。因為這里是探討圓的面積問題，應(yīng)該先畫圓，再引導(dǎo)學(xué)生考慮圓的大小是由半徑確定的，而度量面積的大小是用正方形做面積單位的，啟發(fā)學(xué)生考察圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的幾倍。這樣，學(xué)生會作出相互垂直的直徑，然后作出邊長為圓的半徑的正方形，進(jìn)而比較。這不僅能促進(jìn)學(xué)生思考，建立知識間的聯(lián)系，更有利于學(xué)生思維與知識的拓展。如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的面積是相互垂直的兩條半徑構(gòu)成的正方形面積的[π]倍后，教師給出相互垂直的長、短軸分別為2a、2b的橢圓，學(xué)生可以借助類比猜出橢圓的面積是以a、b為邊長的長方形面積的[π]倍（[π]ab）。這樣，既開闊了學(xué)生的思維，又體現(xiàn)了知識的活學(xué)活用。

用方格紙直接數(shù)出四分之一圓的面積有些困難，也不精確，很難提出猜想。對此，應(yīng)讓學(xué)生通過數(shù)方格得出其范圍，再取平均值。這樣，不僅滲透了兩邊夾逼的原則（高等數(shù)學(xué)中的兩邊夾法則）和極限思想，也體現(xiàn)了平均數(shù)的應(yīng)用，更重要的是，可得到較為精確的數(shù)值，既有利于學(xué)生提出猜想，還展現(xiàn)了科學(xué)探究要精益求精的精神。例如，對于圖4、圖5中半徑為4個單位長度的圖形，學(xué)生通過拼湊可數(shù)出四分之一圓的面積在12與13之間，平均值為12.5，從而計算出圓的面積約為正方形面積的3.125倍。而若按西師大版教材（如圖5）的“四分之一圓的面積是13”計算，得到的是3.25倍，誤差之大可見一斑。又如，半徑為5個單位長度的圖形中，可數(shù)出四分之一圓的面積在19.5與20之間，平均值為19.75，計算出圓的面積約為正方形面積的3.16倍。由此兩例，再引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系圓的周長與直徑的關(guān)系，學(xué)生便可猜出圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的[π]倍。然后，再指導(dǎo)學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化為扇形便可較容易地推導(dǎo)出圓的面積公式。

綜上所述，無論是教材編寫，還是教學(xué)實踐，教師都必須考慮內(nèi)容是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平，是否建立在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上。尤其是為了展現(xiàn)新課改理念的探究活動的設(shè)計，必須考慮其可行性和啟發(fā)性。

【本文系“青藍(lán)項目：青島市教育學(xué)會 2018 年度教育研究項目——關(guān)于空間與圖形領(lǐng)域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責(zé)編 金 鈴）