反演量子位勢支集的多水平采樣算法

常寶晶, 李 媛,2

(1.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080;2.黑龍江大學(xué) 黑龍江省復(fù)雜系統(tǒng)與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，反演技術(shù)已成為研究各種科學(xué)和工程技術(shù)問題的重要手段[1-2]。反散射理論與方法廣泛應(yīng)用于遙感、無損探測、地球物理、醫(yī)用成像和雷達(dá)目標(biāo)識別等方面[3-6]。反問題一般具有不適定和非線性的特征，數(shù)值算法實(shí)現(xiàn)比較困難。目前量子反散射的研究主要集中在理論方面[7-8], 而量子應(yīng)用領(lǐng)域急需從計(jì)算的角度來重構(gòu)有效的數(shù)值算法。近年來，聲學(xué)和電磁學(xué)反散射領(lǐng)域的算法和技術(shù)飛速發(fā)展，這也為量子反散射問題的研究帶來了啟發(fā)。如文獻(xiàn)[9]將聲學(xué)反散射中的因子分解法[10]推廣到了Schr?dinger方程情形，利用該方法反演位勢支集。

在反散射問題中，為了反演散射體的位置，通常需要預(yù)先定位一些包含所有散射體的近似域。否則，將不得不使用一個(gè)比散射體實(shí)際尺寸大得多的近似域，而這樣就會(huì)導(dǎo)致大量額外的計(jì)算。人們常采用抽樣類算法來反演散射體的形狀，如線性抽樣法[11-12]、直接抽樣法[13]和推廣的線性抽樣法[14-15]。文獻(xiàn)[16]提出了一種多水平線性采樣算法，該方法的優(yōu)點(diǎn)是降低了原始線性采樣法的計(jì)算成本。文獻(xiàn)[17]構(gòu)造了反演非均勻介質(zhì)所占區(qū)域的多水平采樣算法，該算法比直接抽樣法收斂速度快，可以很容易地分離出多個(gè)不相交的散射部分，只需幾次迭代就能找到每個(gè)部分比較滿意的初始位置。受到文獻(xiàn)[17]的啟發(fā)，本文考慮將多水平采樣算法應(yīng)用于定態(tài)Schr?dinger方程的位勢反散射問題中，用來反演Schr?dinger方程中位勢的支集。

考慮如下定態(tài)Schr?dinger方程：

(-Δ+q(x)-k2)u(x)=0，x∈Rn

(1)

式中:Δ代表Laplace算符；q(x)代表位勢；通常稱k2為能量，其中k∈R為波數(shù)，k=2π/λ，λ表示波長；空間維數(shù)n=2，3。設(shè)入射平面波

ui=eikx·d

u=ui+us

(2)

式中總場u滿足Schr?dinger方程(1)，并且散射場us在無窮遠(yuǎn)處一致滿足Sommerfeld有界條件和輻射條件：

(3)

稱上述的模型問題(1)～(3)為正散射問題。對于正散射問題可描述為：給定波數(shù)k、位勢q(x)、入射場ui, 當(dāng)散射場us滿足(3)時(shí)，求方程(1)和(2)的解u或us。

反散射問題有多種提法[18-19]，本文的提法是利用散射場的近場數(shù)據(jù)反演位勢支集，即：假設(shè)位勢q(x)具緊支集Ω，給定波數(shù)k及幾個(gè)入射方向，通過測量的散射場來反演q(x)的支集。在這類反散射問題中，需要確定散射體Ω中任意點(diǎn)x的位勢q(x)的近似值，從而近似確定散射體的形狀和位置。

對于每個(gè)入射場ui(x)，總場u(x)滿足Lippmann-Schwinger方程[20]：

(4)

式中

(5)

式中us(x)在S上測量，S為Rn中半徑為R的圓周(當(dāng)n=2時(shí))或球面(當(dāng)n=3時(shí))。

令w=q(x)u(x)，x∈D，將其分別代入式(4)和式(5)中,可得:

w=q(x)ui-q(x)(GDw)(x),x∈D

(6)

和

us(x)=-(GSw)(x),x∈S

(7)

式中D為包含支集Ω的一個(gè)抽樣域，積分算子GD和GS的定義如下

方程(6)和方程(7)將是提出的多水平采樣算法的兩個(gè)基本方程。

1 反向傳播函數(shù)

稱其為反向傳播子空間。

設(shè)wb為方程(7)在空間Vb上的最佳逼近解，即：

(8)

上式的變分形式為：

Re(us+GSwb，GSvb)L2(S)=0， ?vb∈Vb

(9)

或等價(jià)地

(10)

由于wb,vb∈Vb，則令

(11)

式中λ和μ為實(shí)常數(shù)。將式(11)代入式(10)，解得：

(12)

從而

(13)

稱wb為反向傳播函數(shù)。

2 多水平采樣算法

(14)

通過最小化狀態(tài)方程(6)所對應(yīng)的殘差方程來近似x點(diǎn)的位勢q(x)，即求：

(15)

通過計(jì)算，可得式(15)的極小值點(diǎn)q(x)有如下表達(dá)式：

(16)

式中Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部，橫線表示復(fù)共軛。對每個(gè)抽樣點(diǎn)x，計(jì)算q(x)。理論上，若q(x)≠0，則x在q(x)的支集Ω內(nèi)；若q(x)=0，則x在Ω外。顯然式(14)和式(16)的計(jì)算相對粗糙，即對w和q的近似誤差較大。但與多水平采樣算法相結(jié)合，就可以比較高效的近似定位位勢支集的位置及形狀。

為了描述多水平采樣算法，首先引入兩個(gè)概念，即“最小距離”和“具有指標(biāo)M的第一個(gè)間隙區(qū)間”。給定有限的非減序列{q1,q2,…,qm}，將序列中全部相鄰的元素作差，用dist(qi,qi+1),i=1,2,…,m-1來表示，找出最小的正的差值，稱該差值為“最小距離”。對于所有的m-1個(gè)距離，假如存在j，使得2≤j≤m-1，且距離dist(qj,qj+1)至少是序列{q1,q2,…,qj}的最小距離的M倍，則稱(qj,qj+1)為一個(gè)“間隙區(qū)間”，稱第一個(gè)這樣的“間隙區(qū)間”為“具有指標(biāo)M的第一個(gè)間隙區(qū)間”。

多水平采樣算法描述如下:

(1) 選擇一個(gè)抽樣域D，使其包含散射體Ω。在D上選擇一個(gè)均勻(粗糙的)網(wǎng)格，由正方形(2D)或立方體(3D)組成，將該網(wǎng)格記為D0。選擇一個(gè)誤差ε和指標(biāo)M，并設(shè)初始閾值c0=0和k=1。

(2) 對于任意的網(wǎng)格點(diǎn)x∈Dk-1，利用公式(14)和(16)計(jì)算q(x)的近似值。然后執(zhí)行下面的步驟：

(i) 將滿足qk(x)≥ck-1的qk的值按遞增順序進(jìn)行排序，在這個(gè)序列中找到具有指標(biāo)M的第一個(gè)間隙區(qū)間。選擇這個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)作為下一次迭代的閾值ck。

(ii) 如果某個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)x處的值qk(x)≥ck，則選擇所有以此x為頂點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)，更新Dk-1為所有選中的網(wǎng)格點(diǎn)，并刪除Dk-1中未被選擇的所有網(wǎng)格點(diǎn)。

(3) 如果|ck-ck-1|≤ε，設(shè)Dk=Dk-1并執(zhí)行步驟(4)。否則，加細(xì)Dk-1中的網(wǎng)格并記為Dk，設(shè)k=k+1，回到步驟(2)。

(4) 輸出所有Dk中的網(wǎng)格點(diǎn)來確定位勢的支集。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

式中C為Euler常數(shù)，用該式中前四項(xiàng)的和近似G(x,y)。在以下所有的實(shí)驗(yàn)中，取第一次迭代中的第一間隙區(qū)間指標(biāo)M=1016，在剩余的迭代次數(shù)中均取M=100。在第一次迭代中選取很大的指標(biāo)的原因是為了快速剔除抽樣域中距離支集較遠(yuǎn)的區(qū)域。反演的圖形中紅色曲線代表精確支集的邊界，黑色網(wǎng)格線構(gòu)成的區(qū)域代表反演的位勢支集的近似。網(wǎng)格加細(xì)基于簡單的二分法，將網(wǎng)格進(jìn)行二等分，即將每個(gè)正方形元素劃分為四個(gè)面積相等的子正方形。

例1取位勢支集Ω為以原點(diǎn)為中心、邊長為0.3λ的正方形。在Ω內(nèi)q(x)≡2。取抽樣域D=[-1.2λ,1.2λ]×[-1.2λ,1.2λ]。

圖1 一次迭代反演的結(jié)果

圖3 四次迭代反演的結(jié)果

圖4 五次迭代反演的結(jié)果

圖1～圖4分別為例1情形下第一、三、四和五次迭代后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖中看出，該算法的收斂速度非?？?，經(jīng)過五次迭代就能近似定位位勢支集的位置及大概的形狀。為了更清晰地展現(xiàn)迭代過程，在表1中給出了每次迭代開始時(shí)的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目，通過該次迭代去掉、保留和再生的網(wǎng)格數(shù)目，以及迭代結(jié)束時(shí)的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目?？梢钥吹剑谌蔚谐霈F(xiàn)了6個(gè)再生網(wǎng)格點(diǎn)，這說明該算法具有自適應(yīng)的特點(diǎn)，可以自動(dòng)調(diào)整之前迭代的結(jié)果。

例2取位勢支集Ω包含兩個(gè)邊長為0.3λ的正方形，中心點(diǎn)分別為(-0.3λ,-0.3λ)和(0.3λ,0.3λ)。在Ω內(nèi)，

取抽樣域D=[-1.2λ,1.2λ]×[-1.2λ,1.2λ]。

表1 各次迭代的網(wǎng)格點(diǎn)信息

圖5 第一次迭代反演的結(jié)果

圖7 第三次迭代反演的結(jié)果

圖8 第四次迭代反演的結(jié)果

圖5～圖8分別為例2情形下前四次迭代后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果。與例1相比，例2中需反演兩個(gè)不相交的正方形。可以看出，經(jīng)過四次迭代就能較滿意地近似出每個(gè)散射體的初始位置，而且還能快速將兩個(gè)不相交的部分分離。表2給出了各次迭代對應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)信息，仍然可以看到該算法的自適應(yīng)特征。

例3取位勢支集Ω為由半徑0.3λ和0.5λ的圓圍成的圓環(huán)，兩個(gè)圓均以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心。在Ω內(nèi)，q(x)≡2。取抽樣域D=[-2.8λ,2.8λ]×[-2.8λ,2.8λ]。

在例3中，要近似反演一個(gè)半徑為0.2λ的細(xì)圓環(huán)，抽樣域D約為圓環(huán)面積的62倍。前四次迭代的反演結(jié)果如圖9～圖12所示。與例1和例2相比，反演的圖形不再是正多邊形，但與例1和例2一樣，經(jīng)過幾次迭代，該算法依舊能反演出比較滿意的結(jié)果。相應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)信息如表3所示?？梢缘贸雠c例1和例2類似的結(jié)論。

表2 各次迭代網(wǎng)格點(diǎn)信息

圖9 第一次迭代反演的結(jié)果

圖11 第三次迭代反演的結(jié)果

圖12 第四次迭代反演的結(jié)果

表3 各次迭代網(wǎng)格點(diǎn)信息

4 結(jié) 論

本文提出了由散射場的近場數(shù)據(jù)來反演定態(tài)Schr?dinger方程中位勢支集的多水平采樣算法。多水平采樣算法是一種迭代過程，它在每次迭代中將抽樣域D進(jìn)行細(xì)分，并根據(jù)閾值來保留、刪掉一些網(wǎng)格點(diǎn)來近似找到位勢支集的形狀和位置。多水平采樣算法只進(jìn)行矩陣和向量運(yùn)算，不涉及任何優(yōu)化和求解不適定性方程的過程。該算法一般只需要較少的入射場數(shù)，閾值也很容易設(shè)定。此外，多水平采樣算法收斂速度快，可以很容易地分離出支集中多個(gè)不相交的部分，通常只需要幾次迭代就能近似找到每個(gè)部分的滿意初始位置。多水平采樣算法還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，就是它能自動(dòng)修正之前的迭代結(jié)果，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性。