碳/碳坩堝預(yù)制體增強碳纖維纏繞線型設(shè)計

董九志 李曉晨 陳云軍 楊素君

1. 天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300387；2. 天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387；3. 天津工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，天津 300387

隨著光伏行業(yè)的快速發(fā)展，作為直拉單晶硅熱場重要部件的石墨坩堝阻礙了熱場技術(shù)的發(fā)展。為提高單晶硅的生產(chǎn)效率并降低成本，眾多機構(gòu)展開了用碳/碳復(fù)合材料坩堝替代石墨坩堝的研究。相比于石墨坩堝脆性大、強度低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等不足，碳/碳復(fù)合材料坩堝具有結(jié)構(gòu)簡單、熱膨脹系數(shù)小、質(zhì)量輕、高溫強度高、抗熱震性好，在急熱、急冷環(huán)境中使用時不開裂、使用壽命長等優(yōu)點[1-5]。當(dāng)前，碳/碳坩堝預(yù)制體多通過單次鋪層、逐層針刺加工而成，相比編織成型的碳/碳坩堝預(yù)制體，針刺技術(shù)成本低、工藝簡單，然而整體針刺成型制得的碳/碳坩堝預(yù)制體纖維連續(xù)性差，長期承載大量重物時易開裂。

碳/碳坩堝預(yù)制體增強碳纖維纏繞是在坩堝芯模碳布針刺鋪層的基礎(chǔ)上進(jìn)行碳纖維纏繞增強。均勻穩(wěn)定的纏繞線型將有效增加碳/碳坩堝預(yù)制體中連續(xù)纖維的含量，提高形狀穩(wěn)定性的同時確保其高負(fù)荷時所需的強度。在纏繞線型設(shè)計方面，郭凱特等[6]針對不等開口極孔的復(fù)合材料壓力容器，提出了一套非測地線纏繞線型設(shè)計方法，并開發(fā)了一套仿真系統(tǒng)。楊海等[7]針對纏繞過程中纖維束重疊、壓縮等原因?qū)е碌睦p繞厚度不一，分析了纖維寬度、極孔尺寸及芯模結(jié)構(gòu)等參數(shù)對纏繞厚度的影響。李海晟等[8]、李彥虎等[9]提出適用于彎管纏繞線型的數(shù)學(xué)原理和方法，確定了最佳纏繞方式并對其纏繞線型進(jìn)行了驗證性仿真。祖磊等[10]針對環(huán)形壓力容器給出了非測地線型模式和纏繞參數(shù)的最優(yōu)化設(shè)計方法，并結(jié)合均勻布滿條件對優(yōu)化線型進(jìn)行調(diào)整。王顯峰[11]對異形件的纏繞成型進(jìn)行了深入研究，提出了一種同時適用于回轉(zhuǎn)體和非回轉(zhuǎn)體的纖維纏繞方法。Park等[12]針對任意曲面，使用半測地線纏繞成型理論設(shè)計壓力容器纏繞線型。Rojas等[13]提出了適用于復(fù)雜形狀芯模的纖維纏繞方法。這些提出的理論或方法對不同結(jié)構(gòu)預(yù)制體纏繞線型進(jìn)行了研究，但對于一端封頭、一端開口的特殊非對稱結(jié)構(gòu)的碳/碳坩堝預(yù)制體增強碳纖維纏繞的研究鮮有涉及。本文基于非測地線纏繞，采用微分幾何方法和Runge-Kutta法確定不同段的纏繞線型，以纏繞角和中心轉(zhuǎn)角確定碳/碳坩堝預(yù)制體整體最佳纏繞線型，提出一種針對不同碳/碳坩堝預(yù)制體結(jié)構(gòu)尺寸的增強碳纖維纏繞線型設(shè)計方法。

1 碳/碳坩堝預(yù)制體幾何模型

以z軸為回轉(zhuǎn)軸，坩堝由橢球面和圓柱面構(gòu)成。以圓柱段最底端外圓處某點為纏繞起點，建立碳/碳坩堝預(yù)制體三維模型(圖1)及其在坐標(biāo)系下的幾何結(jié)構(gòu)(圖2)。圖2中，o為坐標(biāo)原點，H為橢球封頭高度，a為橢球長半軸、圓柱底面半徑，L為圓柱段高度。

圖1 碳/碳坩堝預(yù)制體三維模型

圖2 碳/碳坩堝預(yù)制體幾何結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)碳/碳坩堝預(yù)制體的結(jié)構(gòu)對增強碳纖維纏繞線型進(jìn)行設(shè)計，分帶開口的封頭段(上部)及圓柱段(下部)兩部分進(jìn)行研究。其中，封頭段和圓柱段的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為式(1)和式(2)。

(1)

(2)

2 增強碳纖維纏繞線型設(shè)計分析

正確設(shè)計增強碳纖維纏繞線型是保證碳/碳坩堝預(yù)制體力學(xué)性能的重要前提。增強纏繞線型設(shè)計通?？梢圆捎脦缀位椒ɑ蚓W(wǎng)格化方法。網(wǎng)格化方法通過將組合回轉(zhuǎn)體表面網(wǎng)格化，提取網(wǎng)格節(jié)點信息并按順序確定落紗點形成纏繞軌跡，但該方法不能保證纖維在開口端可以連續(xù)不斷地反向纏繞，故本文采用幾何化方法進(jìn)行增強碳纖維的纏繞。其中，纏繞角決定總體纖維纏繞線型，中心轉(zhuǎn)角決定纖維軌跡上某一點的坐標(biāo)。由于碳/碳坩堝預(yù)制體是一端有封頭的特殊結(jié)構(gòu)，圓柱段的初始纏繞角和封頭段的末端纏繞角都需要保證為90.00 °，要使纖維均勻穩(wěn)定地纏繞在預(yù)制體上，需要在纏繞過程中通過改變纏繞角來保證兩端的纏繞角要求，圓柱段采用非測地線纏繞，封頭段采用測地線或非測地線纏繞。

為避免纖維纏繞過程中出現(xiàn)打滑現(xiàn)象，纖維需滿足穩(wěn)定纏繞條件，即保證纏繞過程中的滑移系數(shù)λ不大于纖維材料的最大靜摩擦因數(shù)μ0：

(3)

式中：Kg和Kn分別為纖維纏繞軌跡上某一點的測地曲率和法曲率。

滑移系數(shù)可以取λ∈[-μ0,μ0]。當(dāng)μ0為正值時，表示該點的測地曲率與法曲率方向相同；當(dāng)μ0為負(fù)值時，表示該點的測地曲率與法曲率方向相反；當(dāng)μ0為零時，表示采用測地線纏繞。

2.1 封頭段線型設(shè)計

碳/碳坩堝預(yù)制體封頭段為標(biāo)準(zhǔn)橢圓封頭，其長短軸之比a/b=2，此時封頭段的最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力相等，橢圓封頭在相同厚度的情況下可承受的內(nèi)壓力最大，坩堝制品具有高性能。橢圓封頭段結(jié)構(gòu)如圖3所示(r為極孔半徑，H為封頭高度，2a為橢圓長軸，2b為橢圓短軸)。

圖3 橢圓封頭結(jié)構(gòu)尺寸

2.1.1 纏繞角與中心轉(zhuǎn)角方程的建立

設(shè)封頭子午線方程r=r(z)，封頭段橢圓面的參數(shù)表達(dá)式

(4)

根據(jù)微分幾何知識中曲面的第一基本量和第二基本量求得法曲率Kn。

(5)

根據(jù)Liouville公式可求得測地曲率Kg：

(6)

根據(jù)纖維穩(wěn)定纏繞的條件，最終可得到封頭段非測地線纏繞角方程和中心轉(zhuǎn)角方程：

(7)

(8)

式中：λ為滑移系數(shù)，z為曲面的軸線坐標(biāo)，r為封頭曲面子午線方程，r′和r″分別為子午線方程對軸線坐標(biāo)z的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，α為纏繞角，θ為中心轉(zhuǎn)角。

由于封頭為橢圓封頭，其子午線方程：

(9)

則有

(10)

當(dāng)λ=0時，方程轉(zhuǎn)變成測地線纏繞方程。求解微分方程(7)和(8)可得到纏繞角和中心轉(zhuǎn)角沿著芯模軸線方向的變化規(guī)律。

2.1.2 纏繞角沿芯模軸線方向變化規(guī)律

采用Runge-Kutta法求解式(9)和式(10)，可得到纏繞角和中心轉(zhuǎn)角在z方向上的數(shù)值變化。其中極孔處理論纏繞角應(yīng)為90.00 °，由于在求解過程中會在該點處產(chǎn)生奇異，取極孔處纏繞角為89.99°以滿足精度要求。對于不同尺寸的橢圓封頭芯模，只要各尺寸的對應(yīng)比例相同，則對應(yīng)各點處的纏繞角相等，即纏繞線型相同。以標(biāo)準(zhǔn)橢圓封頭a=40 cm,b=20 cm且封頭高度與短軸之比H/b分別為0.65、0.70、0.75、0.80，滑線系數(shù)λ∈[-2, 2]為例，建立纏繞角在不同滑移系數(shù)條件下沿芯模軸線方向的變化曲線，具體如圖4所示。

圖4 不同滑移系數(shù)和H/b條件下纏繞角隨芯模軸線變化曲線圖

圖4中，z=0處為封頭段與圓柱段交接處，稱此處纏繞角為封頭段的初始纏繞角和圓柱段的末端纏繞角。由圖4可知，對于橢圓封頭，在λ∈(-μ,μ)內(nèi)，存在初始纏繞角α∈(αmin,αmax)，使得橢圓極孔處的纏繞角達(dá)到89.99°，滿足橢圓封頭纏繞要求。同時最大纏繞角與最小纏繞角之間差值在20°左右，且最大纏繞角在λ=μ處，最小纏繞角在λ=-μ處。隨著滑移系數(shù)λ范圍的增加，可以使最大纏繞角更大，最小纏繞角更小，進(jìn)而使其之間的差值更大，這就使整體線型的設(shè)計具有更高的靈活性。同時可以看出隨著封頭高度H的增加，封頭段初始纏繞角α的整體數(shù)值減少。

2.1.3 封頭段非測地線軌跡仿真

由幾何關(guān)系可知纖維軌跡上任意一點的坐標(biāo)可表示為(rcosθ,rsinθ,z)

(11)

求解式(8)可得中心轉(zhuǎn)角θ在不同滑線系數(shù)和封頭高度下沿芯模軸線方向的變化范圍，進(jìn)而可根據(jù)式(11)得到封頭段纏繞軌跡上每一點的坐標(biāo)，最終得到碳/碳坩堝預(yù)制體封頭段的纏繞軌跡如圖5所示。

圖5 不同滑移系數(shù)和H/b條件下封頭軌跡仿真

2.2 圓柱段線型設(shè)計

圓柱段非測地線纏繞角與中心轉(zhuǎn)角方程：

(12)

(13)

由于碳/碳坩堝預(yù)制體為短粗型殼體，圓柱段以長徑比不大于1為標(biāo)準(zhǔn)。以λ=0.1、0.2、0.3，底面半徑r=a=40 cm，圓柱段長度L=40、60、80 cm，即長徑比分別為0.50、0.75、1.00為例，求解微分方程(12)，可得到圓柱段纏繞角隨芯模軸線方向變化的曲線(圖6)。

由圖6可知，在滑移系數(shù)一定的情況下，圓柱段纏繞角沿著芯模軸線方向逐漸減?。煌瑫r，在z方向上圓柱段長度L確定的情況下，纏繞角隨滑移系數(shù)的增加而減少。由此可以看出圓柱段末端纏繞角也存在一個可設(shè)計范圍，如在L=z=40 cm，即長徑比為0.50時，纏繞角范圍為α∈[50.28°,65.38°]，即在此范圍內(nèi)的任意一個纏繞角都表示一個滿足纖維穩(wěn)定纏繞條件的線型。

圖6 不同滑移系數(shù)下圓柱段纏繞角隨芯模軸線方向變化曲線

根據(jù)式(13)求得中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線方向的變化，可得到圓柱段非測地線纏繞軌跡(圖7)。

圖7 不同滑移系數(shù)和長度下圓柱段軌跡仿真

2.3 碳/碳坩堝預(yù)制體增強纏繞整體線型研究

為得到碳/碳坩堝預(yù)制體增強纏繞整體線型，需使圓柱段末端纏繞角和橢圓封頭段初始纏繞角相一致，即需要在過渡點處尋找到在滑移系數(shù)允許的范圍內(nèi)同時滿足兩段纏繞要求的纏繞角以進(jìn)行整體線型設(shè)計。以文中所涉及的橢圓封頭段H/b=0.75和圓柱段長徑比0.75為例，建立整體纏繞角隨芯模軸向方向曲線(圖8)。

圖8 坩堝整體纏繞角對比

圖8中，以z=60 cm為界，A區(qū)域為圓柱段纏繞角的變化曲線，B區(qū)域為橢圓封頭段纏繞角的變化曲線，圖中黑色加粗部分是滿足碳/碳坩堝預(yù)制體增強纏繞整體線型設(shè)計過渡點處的纏繞角，其可設(shè)計范圍為α∈[43.60°,52.05°]，即在此范圍內(nèi)的任意一個纏繞角都對應(yīng)一個滿足纏繞穩(wěn)定要求的纏繞線型。

同時，若使纖維纏繞均勻，需保證纏繞的每一個循環(huán)可以首尾相接，定義：

mθ=n×360° (m,n<10)

(14)

圖9給出了當(dāng)α∈[43.60°,52.05°]，中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線的變化曲線。

圖9 中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線方向變化曲線

由圖9可知，滿足纏繞穩(wěn)定要求的中心轉(zhuǎn)角θ∈[237.54°,298.55°]，其中滿足纏繞均勻要求的中心轉(zhuǎn)角可取θ=240.00 °或θ=270.00 °。

當(dāng)取θ=240.00 °時，可得到此時過渡點處纏繞角為α=44.18°，圓柱段λ=0.293，封頭段λ=-0.051，切點數(shù)為3。

當(dāng)θ=270.00 °時，可得到此時過渡點處纏繞角α=48.68°，圓柱段λ=0.221，封頭段λ=-0.138，切點數(shù)為2。

圖10所示為橢圓封頭段H/b為0.80和圓柱段長徑比為0.50時所生成的纏繞角整體變化曲線，可以看出：在過渡點并沒有一個合適的纏繞角同時滿足兩段纏繞的要求。此時，使用上述內(nèi)容所涉及的方法并不能實現(xiàn)纖維的穩(wěn)定纏繞, 解決這一問題有兩種方法:一是通過增加纏繞過程中纖維的滑移系數(shù)，擴大纏繞角的范圍，得到一個合適的過渡點纏繞角；二是通過在纏繞機的設(shè)計中增加機構(gòu)使圓柱段的可纏繞高度增加，減小圓柱段末端纏繞角，以得到合適的過渡點纏繞角，待整體纏繞完成后對多余部分進(jìn)行修剪。

圖10 坩堝整體纏繞角對比

為提高纏繞效率，可在進(jìn)行坩堝芯模的設(shè)計時考慮芯模尺寸對纏繞角的影響。在不同λ和H/b的條件下，能使纖維穩(wěn)定纏繞的圓柱段的最小長徑比如表1所示。

表1 不同λ和H/b條件下圓柱段的最小長徑比

3 增強碳纖維纏繞整體線型仿真

圖11所示為碳/碳坩堝預(yù)制體增強纏繞整體線型設(shè)計流程。

圖11 碳/碳坩堝預(yù)制體增強纏繞線型設(shè)計流程

針對2.3節(jié)中橢圓封頭段H/b為0.75時和圓柱段長徑比為0.75時所得到的各段參數(shù)，對碳/碳坩堝預(yù)制體進(jìn)行整體增強碳纖維纏繞線型循環(huán)效果仿真，結(jié)果見圖12。

圖12 整體結(jié)構(gòu)纏繞線型效果仿真圖

由圖12可以看出，纖維能均勻穩(wěn)定地纏繞在碳/碳坩堝預(yù)制體上，同時在每完成一個纏繞循環(huán)后間隔一個纖維寬度，直到碳纖維布滿整個碳/碳坩堝預(yù)制體。

4 結(jié)論

本文進(jìn)行了碳/碳坩堝預(yù)制體增強碳纖維纏繞線型設(shè)計及分析，得出：

(1) 對碳/碳坩堝預(yù)制體進(jìn)行整體纏繞增強，解決了僅采用整體針刺成型制品強度低的問題；

(2) 采用非測地線纏繞，彌補了測地線纏繞纏繞角不可改變的不足，提高了設(shè)計性，實現(xiàn)了碳/碳坩堝預(yù)制體兩端纏繞角為90.00 °的工藝要求；

(3) 提出了一種碳/碳坩堝預(yù)制體碳纖維纏繞增強的CAD設(shè)計方法，可直觀地驗證纏繞線型設(shè)計的正確性、合理性和可行性，減少了出錯率，提高了工作效率，實現(xiàn)了纏繞線型的快速設(shè)計，為下一步的CAM奠定了理論基礎(chǔ)。