坡面徑流下泥沙起動臨界水深研究

何貴平，朱崇林，謝 艷，雷孝章

（1.四川大學水利水電學院，成都610065；2.四川大學水力學與山區(qū)河流保護國家重點實驗室，成都610065；3.四川省公路規(guī)劃勘察設(shè)計研究院有限公司，成都610041）

0 引 言

泥沙起動問題一直是泥沙運動力學中關(guān)注的重點，泥沙起動通常有滾動、滑動、躍移3種模式。在工程應用中，水庫排沙、河床演變、航道治理以及橋梁沖刷、水環(huán)境保護等方面與泥沙起動均有密切的聯(lián)系［1］。同時開展泥沙起動研究有助于進一步豐富和發(fā)展泥沙運動理論。因此，研究泥沙起動的臨界條件對于理論和工程應用方面均有重要的實際意義。

目前，研究泥沙起動的臨界條件主要從臨界起動切應力、臨界起動流速和臨界起動功率3 個方面入手。竇國仁［2］將泥沙起動問題總結(jié)為3 種狀態(tài)，將動未動、少量動和普遍動，并根據(jù)其發(fā)生機率進一步推導出了泥沙起動切應力和起動流速的表達式。何文社等［3］通過考慮相對暴露度、附加質(zhì)量力等影響因子，采用滾動模式，推得了非均勻沙起動臨界無因次切應力公式。劉興年等［4］分析了粗細化過程中非均勻沙的起動規(guī)律，進而導出了非均勻沙分級起動流速的計算公式。張俊宏等［5］對國內(nèi)外非均勻沙起動研究的成果進行了分析和總結(jié)，指出了3 種泥沙起動臨界判別條件在各自的應用中存在的問題。程燁等［6］基于顆粒間相對暴露度的分布規(guī)律，推導出了3 種泥沙起動模式的起動概率。吳巖等［7］與李林林等［8］分別采用滾動和滑動模型推導出了滲流作用下岸坡泥沙起動流速公式。

綜上所述，以往大多數(shù)研究都是針對平坡及岸坡上的泥沙起動，對于坡面薄層水流下泥沙起動的研究至今較少。李林林等［9］通過引入附加質(zhì)量力的辦法，采用滑動起動模式，得到了正負坡上泥沙起動概率的計算公式，并進一步推導出了起動標準為中動時的無量綱起動切應力的表達式。朱崇林等［10］通過室內(nèi)水槽沖刷實驗，采用滾動模式并結(jié)合斜坡徑流-滲流耦合模型推導出了臨界水深的理論表達式，但其理論分析中并未考慮到泥沙間相互作用的影響。本文從相對暴露度的角度出發(fā)，采用滾動模式建立坡面徑流作用下斜坡臨界水深的表達式，計算得到的理論值與實測值較為符合，精度較高。

1 理論分析

1.1 暴露度分析

暴露度法是描述非均勻泥沙顆粒之間相互影響的方法之一，均勻沙起動則可以作為非均勻沙起動的一種特殊情況進行處理。另一種方法則通過直接引入附加質(zhì)量力來表示這種相互影響作用。Paintal［11］在考慮均勻沙在床面上的位置時，提出了涉及相鄰上下游顆粒的絕對暴露度的概念。其理論主要是通過平均床面來反映絕對暴露度，并將其作為一個修正項引入作用力表達式。本文采取韓其為等［12］提出的相對暴露度概念，由于泥沙顆粒處于床面的位置隨機且作用于顆粒上的水流速度隨機，故單顆粒泥沙的起動具有偶然性。為簡化這種隨機作用，引入了相對暴露度的概念，如圖1所示。

圖1 泥沙顆粒暴露度示意圖Fig.1 Schematic illustration of exposure of sediment particles to slopes

在床面上，將暴露度Δ定義為所研究顆粒的最低點與下游相鄰顆粒接觸點的豎向距離，暴露角α則定義為研究顆粒的球心位置同下游相鄰顆粒接觸點連線與豎直方向的夾角，如圖1（a）所示；在斜坡上，本文將暴露度Δ定義為研究顆粒最低點與下游顆粒接觸點在垂直斜坡方向上的距離，暴露角α定義不變，如圖1（b）所示。其相對值Δ′則統(tǒng)一用暴露度Δ與泥沙顆粒半徑R的比值，即Δ/R，來表示。從圖中可以看出，當Δ越大時，隱蔽作用越強。

進行均勻沙分析時，Δ′可取為均勻分布，其分布函數(shù)為［13］

式中：ξΔ′表示Δ′的隨機變量為Δ′的最小值，當泥沙顆粒均勻且緊密排列時，Δ′m=0.134。

由式（1）可求得Δ′的數(shù)學期望為［7］：

對于非均勻沙，可將泥沙顆粒進一步劃分為粗顆粒、中顆粒和細顆粒，并求得各粒組Δ′的數(shù)學期望［7，14］。

式（3）～式（5）中：Dl為第l組泥沙粒徑為非均勻沙的平均粒徑，可用計算；其中，n為分組數(shù)，P1，l為床沙組配，即第l粒組泥沙所占質(zhì)量分數(shù)。

1.2 泥沙起動流速公式推導

由圖2 可知，在坡度為θ的斜坡上，假設(shè)水流方向與斜坡方向平行，且與斜坡水平軸成90°夾角。泥沙在水流作用下所受的力有：水流拖曳力Fd、上舉力FL、水下重力W′。由于坡面泥沙起動條件的推導基于的是水流為連續(xù)流動的過程，因此忽略垂直滲流的影響。各力分別說明如下：

圖2 斜坡上泥沙顆粒起動示意圖Fig.2 Schematic diagram of sediment particle starting on slope

式中：Cd為阻力系數(shù)，一般取0.4；CL為上舉力系數(shù)，一般取0.1；γs、γ分別為泥沙和水的容重；U0為泥沙起動時水流瞬時底速；ρ為水的密度；D為泥沙粒徑。

從圖2由幾何關(guān)系還可得：

聯(lián)立式（9）和式（10）可得：

本文采用滾動模式，以所研究泥沙顆粒與下游相鄰顆粒相接觸點O為起動支點，構(gòu)建力矩平衡式可得：

將式（6）～式（11）代入到式（13），并取a=b=R/3，化簡后得：

式（14）中Gs為泥沙顆粒比重，令：

當Δ′取緊實排列時，考慮實際坡面流傾角多為0～30°之間，在此范圍內(nèi)驗證可知，φ（θ，Δ′）隨著坡度的增加，其值逐漸降低。而當θ取為定值時，一定范圍內(nèi)，φ（θ，Δ′）隨著Δ′的增加而增大，將式（15）代到式（14）。則：

1.3 起動臨界水深推導

為獲取斜坡橫斷面上的流速分布，選取坡面徑流條件下的水流剖面建立徑流-滲流模型。如圖3 所示，假設(shè)斜坡無限長，以水流方向為X軸正方向，垂直水流方向向上為Y軸正向，建立如圖所示坐標系。坡面與水平方向夾角為θ，坡面長度為L，坡面徑流沿Y軸方向水深為h，沿Y方向土層厚度為H，下部為基巖。沿X軸方向的流速為ux，坡內(nèi)滲流流速沿X軸方向為vx，并忽略垂直滲流的影響。

圖3 徑流-滲流耦合模型Fig.3 Coupling model of runoff-seepage

針對所建徑流-滲流耦合模型，采用文獻［15］中水流的流速分布：

式中：γ w為水的容重；η為水的動力黏滯系數(shù)；n、K分別為坡面土體的孔隙率和滲透率；

由式（17）可知，令y=0即可得水流底部流速：

聯(lián)立式（16）和式（18）即可得出徑流條件下泥沙起動的臨界水深：

由于滲透率K的量級較小，故式（19）右邊第二項可忽略。同時，引入一個暴露度坡度因子λ（θ，Δ′），并令λ(θ，Δ')=式（19）可化為

由式（20）可知，臨界起動水深主要與顆粒粒徑D、比重Gs、滲透率K、孔隙率n、斜坡坡度θ以及相對暴露度Δ′有關(guān)。理論表達式結(jié)合實際情況分析可得，θ一定時，一定范圍內(nèi)，當Δ′越大，其隱蔽作用越強，泥沙顆粒越不容易起動，故所需的臨界水深值越大；Δ′一定時，在相應的坡度范圍內(nèi)，當坡度越大，重力分力對泥沙起動的影響就越大，相比之下，水流對泥沙的作用進一步削弱，故所需的臨界水深較小。綜上所述，斜坡上泥沙的起動主要與泥沙自身的物理性質(zhì)、坡度還有相對暴露度相關(guān)。

2 公式驗證

本文采用朱崇林等［10］的散粒體顆粒起動實測臨界水深對式（20）進行驗證。結(jié)果見表1 和圖4～6。實驗條件下每組粒徑、每一坡度下分別測量了3 次，盡量避免了人為誤差帶來的影響。

圖4 粒徑0～5 mm下臨界水深計算值與實測值的比較Fig.4 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 0～5 mm diameter

表1 斜坡臨界起動水深計算值與實測值比較Tab.1 Comparison between calculated and measured values of critical starting water depth of slope

圖5 粒徑5～10 mm下臨界水深計算值與實測值的比較Fig.5 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 5～10 mm diameter

圖6 粒徑10～20 mm下臨界水深計算值與實測值的比較Fig.6 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 10～20 mm diameter

由表1 和圖4～6 可以看出，隨著坡度的增大，各粒組的相對誤差值總體上呈現(xiàn)出增加的趨勢。同時隨著泥沙粒徑的增加，同一坡度上的起動臨界水深相對誤差值也在逐步增大。在粒徑5～10 和10～20 mm 之間，存在一個“分界粒徑”，其值約為10 mm，在該粒徑兩側(cè)的相對誤差值存在一個顯著的躍幅，整體相對誤差大約上升31.23%。散粒體粒徑在0～5 和5～10 mm 下，公式計算值與實測值相對誤差不超過12%，最小為0.97%，精度較高；然而在粒徑10～20 mm 下，二者的相對誤差值開始顯著增高，最高為44.10%。分析產(chǎn)生該結(jié)果的原因有：①泥沙的粒徑較大，而此時的臨界水深較淺，坡面上的水流無法完全覆蓋泥沙顆粒，此時在水流作用下，水下重力大小、水流拖曳力和上舉力的作用力大小及位置都有可能要發(fā)生改變；②由于實測數(shù)據(jù)的缺乏，在計算過程中，對散粒體泥沙進行了均勻沙處理，而大顆粒泥沙之間的嵌合能力更強，造成了其計算值比實測值偏低的結(jié)果；③在進行起動臨界水深的推導過程中，令水流瞬時底速的邊界條件取為y=0，可能對大顆粒泥沙起動的計算結(jié)果帶來一定偏差。

綜上所述，通過對計算值與實測值的比較，可以發(fā)現(xiàn)各粒組的相對誤差值與坡度總體上呈現(xiàn)出正相關(guān)趨勢。對同一坡度而言，起動臨界水深相對誤差值與泥沙粒徑也呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系，存在一個“分界粒徑”，超出此界限，相對誤差值將顯著增大。鑒于坡面薄層水流條件下的大顆粒泥沙受力較為復雜，對于泥沙粒徑大于10 mm 的泥沙顆粒起動問題尚有待進一步研究。

3 結(jié) 論

在采用滾動模式推導斜坡泥沙起動臨界條件的過程中，引入了相對暴露度的概念，并結(jié)合徑流-滲流耦合模型下的流速分布，最終得到了斜坡上泥沙起動臨界水深的理論表達式。該表達式表明臨界水深的大小主要與泥沙自身的物理性質(zhì)、坡度和相對暴露度有關(guān)。當Δ′取緊實排列時，表達式適用坡度范圍為0～30°，此時臨界起動水深與坡度呈負相關(guān)關(guān)系；當坡度取為定值時，在相應范圍內(nèi)，臨界起動水深與相對暴露度Δ′呈一定的正向關(guān)系。實測資料表明該表達式對于粒徑小于10 mm 的粒組的臨界起動水深值預測較為符合，具有較好的精度。同時存在一個“分界粒徑”，超出此粒徑值，計算值與實測值二者的相對誤差將顯著增大。由于坡面薄層水流條件下大顆粒泥沙并不能被水流完全覆蓋，受力情況和邊界條件等較河道中的泥沙起動問題復雜得多，因此其起動問題尚有待進一步研究。