哥德爾不完備定理的不可判定性

王海東

【摘要】如果將無意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾不完備定理在一階理論中就是成立的.如果將有意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾不完備定理在一階理論中就是不成立的.由于哥德爾不完備定理在一階理論中既是成立的又是不成立的，所以哥德爾不完備定理就變成了一個(gè)不可判定的一階理論.

【關(guān)鍵詞】哥德爾不完備定理;哥德爾完備性定理;哥德爾對角化語句構(gòu)造定理

哥德爾不完備定理包括哥德爾第一不完備定理和哥德爾第二不完備定理.哥德爾第一不完備定理，是指包含二元謂語的一階理論存在著一個(gè)不可判定的對角化語句.哥德爾第二不完備定理，是指任何一種具有相容性的一階理論都不可能證明自身的相容性.由于哥德爾第二不完備定理是從哥德爾第一不完備定理中推導(dǎo)出來的，所以我們可以將哥德爾第一不完備定理視為哥德爾不完備定理的理論依據(jù).

那么，哥德爾第一不完備定理是否成立呢？顯然，要想知道哥德爾第一不完備定理是否成立，就必須知道對角化語句的構(gòu)造方法.

那么，應(yīng)當(dāng)用什么方法構(gòu)造對角化語句呢？顯然，要想知道應(yīng)當(dāng)用什么方法構(gòu)造對角化語句，就必須知道個(gè)體變元的哥德爾數(shù).

那么，什么是個(gè)體變元的哥德爾數(shù)呢？從哥德爾數(shù)的定義來看，個(gè)體變元的哥德爾數(shù)就是用大于13的質(zhì)數(shù)指數(shù)對所有個(gè)體變元進(jìn)行編碼的哥德爾數(shù).這種哥德爾數(shù)在構(gòu)造對角化語句的過程中具有一個(gè)極其重要的作用.這個(gè)作用就是將對角化語句所涉及的對角替換有序?qū)淖韵嚓P(guān)有序?qū)D(zhuǎn)變成為非自相關(guān)有序?qū)?對角替換有序?qū)褪怯蓛蓚€(gè)可以進(jìn)行對角替換的數(shù)學(xué)對象構(gòu)成的有序?qū)?自相關(guān)有序?qū)褪菍蓚€(gè)相同的數(shù)學(xué)對象視為兩個(gè)可以進(jìn)行對角替換的數(shù)學(xué)對象的對角替換有序?qū)?非自相關(guān)有序?qū)褪菍蓚€(gè)不同的數(shù)學(xué)對象視為兩個(gè)可以進(jìn)行對角替換的數(shù)學(xué)對象的對角替換有序?qū)?

從這個(gè)公式來看，對角化語句具有兩種構(gòu)造方法.第一種構(gòu)造方法是自相關(guān)構(gòu)造法.自相關(guān)構(gòu)造法就是用某個(gè)個(gè)體變元或用某個(gè)與之相對應(yīng)的哥德爾數(shù)的自相關(guān)有序?qū)?gòu)造對角化語句.第二種構(gòu)造方法是非自相關(guān)構(gòu)造法.非自相關(guān)構(gòu)造法就是用某個(gè)個(gè)體變元或用某個(gè)與之相對應(yīng)的哥德爾數(shù)的非自相關(guān)有序?qū)?gòu)造的對角化語句.

由于對角化語句具有兩種構(gòu)造方法，所以對角化語句也具有兩種表述方式.第一種表述方式是無意義對角化語句.無意義對角化語句就是用自相關(guān)構(gòu)造法構(gòu)造出來的、其數(shù)學(xué)對象不會在推導(dǎo)過程中發(fā)生任何變化的對角化語句.第二種表述方式是有意義對角化語句.有意義對角化語句就是用非自相關(guān)構(gòu)造法構(gòu)造出來的、其數(shù)學(xué)對象將會在推導(dǎo)過程中發(fā)生一定變化的對角化語句.

令A(yù)1代表無意義對角化語句，無意義對角化語句可以用以下公式表示：

令A(yù)2代表有意義對角化語句，有意義對角化語句可以用以下公式表示：

由于對角化語句具有兩種表述方式，所以我們可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：在個(gè)體變元與哥德爾數(shù)一一對應(yīng)的條件下構(gòu)造出來的對角化語句，既可以被構(gòu)造成為一種無意義對角化語句，又可以被構(gòu)造成為一種有意義對角化語句.這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是哥德爾對角化語句構(gòu)造定理.

令A(yù)代表對角化語句，我們可以用以下公式證明哥德爾對角化語句構(gòu)造定理：

證畢.

從哥德爾對角化語句構(gòu)造定理來看，任何一個(gè)對角化語句都可以構(gòu)成一個(gè)對角替換有序?qū)?這個(gè)對角替換有序?qū)褪菬o意義對角化語句和有意義對角化語句的對角替換有序?qū)?利用這個(gè)對角替換有序?qū)梢詷?gòu)造一個(gè)新的對角化語句.這個(gè)新的對角化語句就是對角化語句的對角化語句.

令A(yù)′代表對角化語句的對角化語句，對角化語句的對角化語句可以用以下公式表示：

從這個(gè)公式來看，對角化語句的對角化語句同樣具有兩種構(gòu)造方法.第一種構(gòu)造方法是無意義構(gòu)造法.無意義構(gòu)造法就是用無意義對角化語句替換有意義對角化語句的對角替換有序?qū)?gòu)造對角化語句的對角化語句.第二種構(gòu)造方法是有意義構(gòu)造法.有意義構(gòu)造法就是用有意義對角化語句替換無意義對角化語句的對角替換有序?qū)?gòu)造對角化語句的對角化語句.

由于對角化語句的對角化語句同樣具有兩種構(gòu)造方法，所以對角化語句的對角化語句也同樣具有兩種表述方式.第一種表述方式是無意義的對角化語句的對角化語句.無意義的對角化語句的對角化語句就是用無意義構(gòu)造法構(gòu)造出來的、將無意義對角化語句視為表述方式的對角化語句的對角化語句.第二種表述方式是有意義的對角化語句的對角化語句.有意義的對角化語句的對角化語句就是用有意義構(gòu)造法構(gòu)造出來的、將有意義對角化語句視為表述方式的對角化語句的對角化語句.

由于對角化語句的對角化語句同樣具有兩種表述方式，所以對角化語句的對角化語句就必然會產(chǎn)生兩個(gè)不同結(jié)論.從無意義的對角化語句的對角化語句來看，包含二元謂語的一階理論肯定存在著一個(gè)不可判定的對角化語句.因?yàn)?，這個(gè)對角化語句的數(shù)學(xué)對象不會在推導(dǎo)過程中發(fā)生任何變化.從有意義的對角化語句的對角化語句來看，包含二元謂語的一階理論肯定不存在一個(gè)不可判定的對角化語句.因?yàn)?，這個(gè)對角化語句的數(shù)學(xué)對象將會在推導(dǎo)過程中發(fā)生一定變化.

綜上所述，令Z1代表一階理論，A（x）代表根據(jù)一階理論提供的某個(gè)個(gè)體變元或哥德爾數(shù)構(gòu)造的一個(gè)對角化語句，B（A（x））代表能夠證明這個(gè)對角化語句是否符合一階理論的一個(gè)語句，我們可以用兩種方法證明哥德爾第一不完備定理：一種方法是無意義對角化語句證明法，另一種方法是有意義對角化語句證明法.

令A(yù)（x）=A1，無意義對角化語句證明法：假定Z1A（x），我們可以根據(jù)哥德爾對角化語句構(gòu)造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我們可以根據(jù)哥德爾對角化語句構(gòu)造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一階理論假定和B（A（x））的一階理論結(jié)論是不一致的，所以A（x）在一階理論中是一個(gè)不可判定的對角化語句.由于A（x）在一階理論中是一個(gè)不可判定的對角化語句，所以哥德爾第一不完備定理在一階理論中是成立的.證畢.

令A(yù)（x）=A2，有意義對角化語句證明法：假定Z1A（x），我們可以根據(jù)哥德爾對角化語句構(gòu)造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我們可以根據(jù)哥德爾對角化語句構(gòu)造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一階理論假定和B（A（x））的一階理論結(jié)論是一致的，所以A（x）在一階理論中不是一個(gè)不可判定的對角化語句.由于A（x）在一階理論中不是一個(gè)不可判定的對角化語句，所以哥德爾第一不完備定理在一階理論中是不成立的.證畢.

由此可見，只要在一階理論中引進(jìn)哥德爾對角化語句構(gòu)造定理，哥德爾第一不完備定理就會產(chǎn)生一個(gè)邏輯矛盾.這個(gè)邏輯矛盾就是：如果將無意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾第一不完備定理在一階理論中就是成立的.如果將有意義對角化語句視為被證明的對角化語句，哥德爾第一不完備定理在一階理論中就是不成立的.由于哥德爾第一不完備定理在一階理論中既是成立的又是不成立的，所以哥德爾第一不完備定理就變成了一個(gè)不可判定的一階理論.

令G1代表哥德爾第一不完備定理，我們可以用以下方法來證明哥德爾第一不完備定理的不可判定性：

由于哥德爾第一不完備定理是哥德爾不完備定理的理論依據(jù)，所以這個(gè)證明也同時(shí)證明了哥德爾不完備定理的不可判定性.

那么，哥德爾不完備定理的不可判定性從何而來呢？顯然，要想知道哥德爾不完備定理的不可判定性從何而來，就必須知道哥德爾不完備定理與哥德爾完備性定理的理論聯(lián)系.

哥德爾完備性定理指出：一階理論是完備的當(dāng)且僅當(dāng)它能夠?yàn)樽约旱娜魏我粋€(gè)語句都提供一個(gè)符合自己要求的模型.

令L1代表一階理論的一個(gè)語句，M1代表一階理論的一個(gè)模型，哥德爾完備性定理可以用以下公式表示：

從哥德爾完備性定理來看，哥德爾不完備定理的不可判定性來自無模型.只要將哥德爾對角化語句構(gòu)造定理視為一個(gè)模型，我們就可以消除哥德爾第一不完備定理的不可判定性.只要消除了哥德爾第一不完備定理的不可判定性，我們就可以消除哥德爾不完備定理的不可判定性.在消除了哥德爾不完備定理的不可判定性之后，哥德爾不完備定理就只能適用于無意義對角化語句而不能適用于有意義對角化語句了.這樣一來，哥德爾不完備定理就不再是一個(gè)具有普適性的一階理論了.我們就有可能建立起一個(gè)具有完備性的一階理論了.

令G0代表哥德爾對角化語句構(gòu)造定理，我們可以用以下方法來證明這個(gè)結(jié)論：

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