切線法加工非球面的軌跡控制方法設(shè)計(jì)

賀海霞，尚春民，李新

（長春理工大學(xué)，吉林 長春 130022）

0 引言

目前，計(jì)算機(jī)技術(shù)與現(xiàn)代機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的結(jié)合使加工制造技術(shù)達(dá)到一個全新的高度[1]?，F(xiàn)如今數(shù)控加工技術(shù)正在向高的質(zhì)量、高的效率和高的智能方向發(fā)展。在數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)中，數(shù)控插補(bǔ)算法精度將在機(jī)床加工過程中占據(jù)主導(dǎo)作用，決定了機(jī)床加工的精度和效率，這是因?yàn)閿?shù)控插補(bǔ)算法在一定程度上可以彌補(bǔ)工件精度的缺陷[2]。針對非圓曲線軌跡控制方法有：單圓弧插補(bǔ)、雙圓弧插補(bǔ)、等間隔插補(bǔ)、自適應(yīng)步長插補(bǔ)以及混合插補(bǔ)等。但是大多數(shù)插補(bǔ)方法均是采用直線段或圓弧線段等去逼近零件軌跡曲線，類似這種利用直線或圓弧逼近得到的曲線并不是光滑連續(xù)的。

由于上述傳統(tǒng)插補(bǔ)方法對非圓曲線插補(bǔ)時(shí)存在一定的局限性。在對子午截面曲線插補(bǔ)時(shí)，上一個插補(bǔ)周期的信息，能夠預(yù)測下一個插補(bǔ)周期的信息，能構(gòu)成非線性函數(shù)的映射關(guān)系，為此在切線法理論基礎(chǔ)上引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在非球面工件加工中，為了改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)收斂速度較慢和容易出現(xiàn)局部極優(yōu)的問題，對其連接閾值和權(quán)值使用遺傳算法優(yōu)化，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的插補(bǔ)性能[3]。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡控制插補(bǔ)模型的建立

1.1 切線法軌跡成形原理

如圖1所示，切線法加工光學(xué)工件軌跡成形原理，該加工方法是先將值分成份，得到函數(shù)值，然后將得到值代入非球面曲線方程中得到相對應(yīng)的值，這樣就得到非球面成形軌跡曲線上個節(jié)點(diǎn)。在非曲面軌跡曲線上對給定的任意一點(diǎn)，可用這一點(diǎn)的切向法線長度，法線與對稱軸的交點(diǎn)到曲線頂點(diǎn)的距離和點(diǎn)繞X軸的轉(zhuǎn)角來表示成形軌跡曲線的特性。這種控制方法的核心是使磨輪在加工過程中始終與非球面理想面形輪廓軌跡相切，同時(shí)加工系統(tǒng)控制磨輪在工件表面移動過程中，需要協(xié)調(diào)移動平臺沿X軸和Y軸的位移量配合磨輪軸的旋轉(zhuǎn)平臺移動的角位移量來實(shí)現(xiàn)切線法加工軌跡控制[4]。因此為了使磨輪能準(zhǔn)確沿非圓曲線運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)軌跡曲線的光滑連續(xù)性，在切線法理論基礎(chǔ)上引入遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)控軌跡控制方法。

圖1 切線法加工非球面原理

1.2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性插補(bǔ)模型中每一插補(bǔ)周期插補(bǔ)坐標(biāo)是前一插補(bǔ)信息的非線性映射函數(shù)。建立網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)引入多個插補(bǔ)信息，可以提高插補(bǔ)的精度，同時(shí)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值選擇是否合適將決定BP網(wǎng)絡(luò)的收斂速度及精度。因此，在進(jìn)行零件加工時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的進(jìn)給速率是給定的，但進(jìn)給速度的方向不斷變化，使得在各軸上的分速度不斷變化。為了完成插補(bǔ)，要計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)位置坐標(biāo)、各軸速度及初始權(quán)值的確定。

（1）輸入層、隱層和輸出層選取。為了提高插補(bǔ)精度引入多個控制信息，經(jīng)過綜合考慮切線法成形原理X、Y軸速度單調(diào)性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)置為4個，分別為插補(bǔ)點(diǎn)位置坐標(biāo)xi-1、yi-1，X、Y軸速度v（xi-1）、v（yi-1），輸出層節(jié)點(diǎn)有4個，分別為下一個插補(bǔ)點(diǎn)位置坐標(biāo)xi、yi,切線角θi、法距ρi。依據(jù)Kolmogrodv定理，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)是2m+1，其中m=4為輸入層的節(jié)點(diǎn)數(shù)，所以隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)是9。

（2）初始權(quán)值選取。由于BP網(wǎng)絡(luò)自身選取缺陷，不能快速定位到全局出現(xiàn)的最優(yōu)解區(qū)域。所以運(yùn)用遺傳算法自身全局性優(yōu)點(diǎn)定位最優(yōu)解區(qū)域范圍，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在收斂速度和精度上顯著提高。

（3）激活函數(shù)選擇。因?yàn)锽P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是運(yùn)用在非球面運(yùn)動軌跡非線性函數(shù)逼近，所以為了保證隱層輸入值在[-1,1]中，在輸入層和隱層兩者中用Sigmoid激活函數(shù)；在隱層和輸出層中用purelin激活函數(shù)，取值范圍為任意值。圖2是建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型

本文為了提高收斂速度和插補(bǔ)精度，應(yīng)用Matlab軟件編程在線訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)樣本，下面對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行設(shè)定。

（1）學(xué)習(xí)速率的選擇：選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)速率，能夠保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和收斂性。選擇較大的學(xué)習(xí)速率，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性差。反之，較小的學(xué)習(xí)效率，將會使其收斂速度減小。因此，一般取值范圍在[0.01,0.7]中選用學(xué)習(xí)速率，綜合考慮整個計(jì)算過程，本文的學(xué)習(xí)速率選為0.4。

（2）期望誤差值的確定：期望誤差值是在Matlab編程過中，依據(jù)具體非球面零件的技術(shù)要求而確定。經(jīng)過比較幾個不同的期望誤差值訓(xùn)練結(jié)果，在考慮機(jī)床所得達(dá)到的加工精度要求，本文最終確定最佳的網(wǎng)絡(luò)期望誤差值為。

（3）網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練最大步數(shù)的確定：若訓(xùn)練誤差不能符合期望誤差精度值或已達(dá)到訓(xùn)練最大步數(shù)時(shí)，最大訓(xùn)練步數(shù)將終止網(wǎng)絡(luò)在線樣本訓(xùn)練。由于本文已經(jīng)在BP網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練之前，已經(jīng)提前優(yōu)化了網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值，所以在線訓(xùn)練次數(shù)控制在400次范圍之內(nèi)都能使得網(wǎng)絡(luò)收斂。為了提高本文的非球面軌跡插補(bǔ)精度，所以選擇在線網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練次數(shù)為400次。

1.3 基于遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

遺傳算法是一種并行隨機(jī)搜索，在選擇的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)中尋找出最優(yōu)解，并且是模擬基因遺傳學(xué)和生物進(jìn)化論的方法[5]。

遺傳算法的目的是優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接層之間的權(quán)閾值，所得最優(yōu)的權(quán)閾值將直接賦值于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，然后在對其進(jìn)行預(yù)測，能夠有效補(bǔ)償BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)局部極值的自身缺陷[6]，預(yù)測精度得以顯著提升，在一定程度上縮短訓(xùn)練時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的目的。

遺傳算法優(yōu)化的主要設(shè)計(jì)步驟如下。

（1）初始參數(shù)設(shè)定。種群規(guī)模為20100，交叉概率一般取值范圍為0.250.9，變異概率一般取值范圍為0.0010.2，算法終止代數(shù)為3001000。

（2）適應(yīng)度函數(shù)。因?yàn)檫z傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最后目標(biāo)是使目標(biāo)函數(shù)值最小，所以建立與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)函數(shù)相對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)即：

（3）選擇運(yùn)算。目前，在遺傳學(xué)中，比較常見遺傳選擇算子主要有二種[7]。一是適應(yīng)度比例方法,它是運(yùn)用隨機(jī)采樣的方式，并且是有放回的，雖有自身的缺點(diǎn)容易產(chǎn)生誤差，但也有其自身優(yōu)勢簡單方便，所以被廣泛運(yùn)用。二是最優(yōu)保存方法，雖然可以找出群體中的最優(yōu)個體，但在這種片面的，因?yàn)槠渲粚ふ易顑?yōu)個體的同時(shí)破壞掉整個種群的多樣性，將一些不是最優(yōu)的同時(shí)對種群有用的個體拋棄掉，這樣操作會導(dǎo)致最終解陷入局部收斂中[8-10]?；诙N選擇算子原理，本文采用另一種新穎思想算子，可以在選擇出最優(yōu)解得同時(shí)不會陷入局部極值。具體分析步驟如下：

第一，首先計(jì)算出每個個體適應(yīng)度值的初始種群；

第二，接下來就是按照上一步計(jì)算出的適應(yīng)度值的大小由小到大對個體進(jìn)行排序操作；

第三，將上一步計(jì)算排序好的個體再進(jìn)行均分成四段；

第四，因?yàn)樯弦徊椒殖傻乃亩钨|(zhì)量由前到后是依次變好的。所以按照優(yōu)多劣少的原則由前到后每段按照0.4、0.6、0.8和1的比例進(jìn)行選擇，這樣就可以在保存最優(yōu)個體的同時(shí)還兼顧了種群的多樣性問題；

第五，將上一步選擇出的四段種群再重新組合成個新的種群；

第六，因?yàn)樾路N群的選擇方法不是按照百分之百的比例進(jìn)行篩選的，自然個體數(shù)量會有所較少，所以可以從末段中選擇個體數(shù)量等于原種群損失的個數(shù)；

第七，將末段中選擇出的個體補(bǔ)足到第五步中新組合的種群中得出最終的新種群。以便于對上述思想具有有效的理解下面以個體數(shù)為20的種群為例對其思想進(jìn)行圖形表示。

第一，初始種群數(shù)20

8 5 6 12 3 9 15 2 4 10 20 7 14 21 11 13 25 22 17 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

第二，對種群個體適應(yīng)度進(jìn)行從小到大排序

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 19 20 21 22 25 8 5 9 2 3 12 1 6 10 15 4 16 13 7 19 20 11 14 18 17

第三，對排序好的個體進(jìn)行分段

2 3 4 5 6 8 5 9 2 3

7 8 9 10 11 12 1 6 10 15

12 13 14 15 17 4 16 13 7 19

19 20 21 22 25 20 11 14 18 17

第四，每段分別按比例隨機(jī)選擇得到個體數(shù)量

6 4 11 9 7 3 9 15 6 12

17 15 13 12 19 7 16 4

19 20 21 22 25 20 11 14 18 17

第五，選擇出的個體

6 4 11 9 7 17 15 13 12 19 20 21 22 25 3 9 15 6 12 19 7 16 4 20 11 14 18 17

第六，確定由于不完全選擇而丟掉的從末端選擇個體

17 19 20 21 22 25 19 20 11 14 18 17

第七，組合得到新的種群

6 4 11 9 7 17 15 13 12 19 20 21 22 25 17 19 20 21 22 25 3 9 15 6 12 19 7 16 4 20 11 14 18 17 19 20 11 14 18 17

經(jīng)過這種選擇算子，可以提高算子的選擇最優(yōu)個體能力，收斂速度由于計(jì)算量的減少而得到提高，收斂性也得到提高。

（4）交叉運(yùn)算。在生物學(xué)原理的基礎(chǔ)上，交叉運(yùn)算是在模仿生物染色體基因重組過程。在生物學(xué)中，交叉是指不同的種群個體進(jìn)行交配，子代可以擁有雙方有利于子代生存的遺傳物質(zhì)。具體運(yùn)算是不同的可行解通過交換部分編碼得到下一代可行解編碼的過程，并且同時(shí)可以保留上一代的優(yōu)秀可行解。

（5）變異運(yùn)算。變異（Mutation）：生活在大自然中的生物，他們會隨著生活環(huán)境的改變而發(fā)生變化。在遺傳算法模仿生物特性中，他屬于最基本遺傳進(jìn)化操作的其中之一，專業(yè)術(shù)語稱其為變異運(yùn)算操作。在遺傳算法中，變異是指下一代可行解編碼發(fā)生突變，產(chǎn)生不同與上一代的可行解編碼的過程，從而使得遺傳算法自身賦有自動并行全局隨機(jī)搜索及其不斷更新最優(yōu)解列表的能力。圖3是GA-BP算法的具體流程圖。

圖3 GA-BP算法的具體流程圖

2 仿真結(jié)果及分析

用上述的遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對函數(shù)進(jìn)行擬合操作，然后與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型函數(shù)擬合插補(bǔ)結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)其算法訓(xùn)練過程、插補(bǔ)曲線與原曲線擬合以及插補(bǔ)誤差曲線情況。以一種二次非圓曲線進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，從[0，4]作為數(shù)據(jù)樣本區(qū)間。然后選擇幾個有代表性的樣本點(diǎn)組加入網(wǎng)絡(luò)，在樣本集中選擇具有樣本所有特征的點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練。遺傳算法參數(shù)：變異概率，交叉概率，種群個體20。綜合上述，BP網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)的輸入層為4，隱層為9，學(xué)習(xí)率為0.4，最大訓(xùn)練終止次數(shù)為400次，訓(xùn)練精度。機(jī)床進(jìn)給速度為。運(yùn)用Matlab軟件對學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化和樣本訓(xùn)練并對待插補(bǔ)曲線檢驗(yàn)。表1為部分訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

表1 第一象限部分訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本

圖4 BP算法訓(xùn)練過程

圖5 遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練過程

表2 訓(xùn)練結(jié)果比較

仿真結(jié)果表明，采用未提前優(yōu)化樣本的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，經(jīng)過800步迭代訓(xùn)練最后達(dá)到的誤差結(jié)果是，網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行時(shí)間為75s，該算法網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的誤差曲線下降趨勢緩慢，收斂速度慢，訓(xùn)練時(shí)間長。因此相反，遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法經(jīng)過300步的迭代訓(xùn)練最后達(dá)到的誤差結(jié)果是，達(dá)到了允許精度，網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行時(shí)間為43s，該算法網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練收斂速度快，縮短了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間，減少了迭代次數(shù)，降低了訓(xùn)練誤差。有效驗(yàn)證了該算法在切線法加工非球面軌跡控制插補(bǔ)的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。

由圖6可以知道，遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可以有效的控制非球面曲線的軌跡，實(shí)現(xiàn)對非圓曲線的插補(bǔ)。由圖7可知，該算法經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后所得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際曲線數(shù)據(jù)之間存在一定的偏差，從曲線誤差值可以看出，最大訓(xùn)練誤差小于0.4，達(dá)到切線法加工非球面零件誤差補(bǔ)償加工技術(shù)要求。

圖6 遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插補(bǔ)數(shù)據(jù)與原曲線

圖7 誤差插補(bǔ)曲線圖

3 結(jié)語

首先初步確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的插補(bǔ)模型，再利用遺傳算法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重優(yōu)化，從而使得網(wǎng)絡(luò)收斂速度加快，最后完成遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非球面加工軌跡控制插補(bǔ)模型。通過實(shí)例仿真可以看出，運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的訓(xùn)練誤差下降趨勢比遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法緩慢或出現(xiàn)過度吻合，并且誤差下降過程中存在多個局部極值點(diǎn)。而遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練誤差曲線坡度大下降趨勢明顯，全局搜索能力強(qiáng)，未見出現(xiàn)多個局部極值點(diǎn)，縮短插補(bǔ)周期，收斂速度加快，訓(xùn)練誤差更低，有效驗(yàn)證了該算法在切線法加工非球面軌跡控制插補(bǔ)的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。