含變限積分未定式計算中的一點注記

白 斌 楊亞鋒 孟利娟

（華北理工大學(xué)理學(xué)院 河北·唐山 063009）

在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，極限一個是貫穿整個微積分始終的基礎(chǔ)概念。極限的計算是課程教學(xué)內(nèi)容中重要的組成部分，針對不同類型的極限形式會有不同的計算方法，所以能夠靈活掌握極限的計算方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

未定式是極限計算中一種較為常見的類型，包含標(biāo)準(zhǔn)未定式和拓展型未定式兩種。標(biāo)準(zhǔn)未定式有：型兩種，常用的計算方法有：因式分解或有理化約去零因子、兩個重要極限、無窮小等價替換、冪指函數(shù)公式、洛必達(dá)法則、中值定理以及麥克勞林公式等。拓展性未定式主要有：0∞、∞—∞、00、∞0和1∞型五種，可以通過取倒數(shù)、通分、對數(shù)變換等方法將拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式。

含變限積分未定式是幾種特殊形式未定式極限的典型案例，巧妙地化簡積分符號是計算含有變限積分未定式極限的關(guān)鍵。常用的方法主要有：牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則與積分中值定理。其中，利用牛頓—萊布尼茲公式計算變限積分時，有些被積函數(shù)的原函數(shù)計算比較困難，甚至有些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，因此該方法具有一定的局限性。洛必達(dá)法則是一種常用的求解未定式極限的方法，對變限積分進(jìn)行求導(dǎo)可以化簡未定式中的積分形式。邢秀俠指出在課堂教學(xué)中要特別強(qiáng)調(diào)含變限積分的型未定式求極限時應(yīng)當(dāng)首選洛必達(dá)法則。但是在利用洛必達(dá)法則計算未定式時往往需要與其他方法結(jié)合使用，如果處理不當(dāng)會使的計算過程更加繁瑣，有時甚至無法求解。積分中值定理可以將未定式中的變限積分轉(zhuǎn)化為積分區(qū)間內(nèi)某一點處的被積函數(shù)值與積分區(qū)間的乘積，能夠巧妙地去掉積分符號。如果積分區(qū)間可以與未定式中的其他項相互抵消，將未定式化簡為一般式（非未定式），則該方法可以有效簡化極限的計算過程；否則，由于不明確的變化速度，無法將兩個極限變化過程相互統(tǒng)一，該方法失效。

1 拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式

拓展性未定式主要有：0∞、∞—∞、00、∞0和1∞型五種。其中，0∞型可以通過取倒數(shù)，即同除 0或∞轉(zhuǎn)化為型；∞—∞型可以通過通分轉(zhuǎn)化為型；00、∞0和1∞型可以利用對數(shù)變換和取倒數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為型。具體轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖1所示。

圖1：未定式轉(zhuǎn)化關(guān)系示意圖

2 含變限積分的未定式極限的計算

牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則結(jié)合變限積分求導(dǎo)和積分中值定理是常用的三種求解含有變限積分未定式極限的方法。下面通過實例演示三種方法各自的優(yōu)缺點，主要突出積分中值定理在未定式計算中簡捷，且其可行性容易驗證的特征。

該實例表明，對于含變限積分的拓展型未定式極限計算，可以先將拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式，然后利用積分中值定理對變限積分進(jìn)行替換。如果未定式發(fā)生退化，針對沒有明確表達(dá)形式的抽象函數(shù)，該方法同樣行之有效，此時洛必達(dá)法則束手無策。

3 結(jié)束語

本文闡述了標(biāo)準(zhǔn)未定式與拓展性未定式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。通過實例對牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則結(jié)合變限積分求導(dǎo)以及積分中值定理三種常用的求解含變限積分未定式極限的方法進(jìn)行對比分析可知，三者特點鮮明，優(yōu)點明顯，缺點同樣突出。其中，利用積分中值定理對變限積分進(jìn)行替換可以有效簡化未定式的計算過程，減小計算復(fù)雜度，且有效性的判別過程簡單、容易驗證。所以不要盲目追求洛必達(dá)法則，而忽視了積分中值定理的價值。另外，該方法推廣到含有多個變限積分或者重變限積分的未定式計算中同樣簡單、有效。