淺談《理論力學(xué)》習(xí)題的多變性和靈活性

李云濤

（中國石油大學(xué)（北京） 北京 102249）

1 研究背景與意義

《理論力學(xué)》是機(jī)械類等工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程如《材料力學(xué)》《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》等奠定了必要的基礎(chǔ)?！独碚摿W(xué)》具有科學(xué)嚴(yán)密性和應(yīng)用靈活性，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、抽象簡化能力、實(shí)踐應(yīng)用能力。

《理論力學(xué)》的學(xué)習(xí)需通過一定量的習(xí)題訓(xùn)練才能熟練掌握。目前國內(nèi)高校普遍采用的教材大多較為經(jīng)典，市面上已出版多本針對各類教材的課后習(xí)題解答。學(xué)生極易在文庫等網(wǎng)絡(luò)資源中找到課后習(xí)題答案，致使作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較為普遍。但是，《理論力學(xué)》的習(xí)題一般具有多變性和靈活性的特點(diǎn)，基于此，教師可以對一些經(jīng)典習(xí)題做出些許變化，或?qū)忸}方法做出必要的要求，并以“雨課堂”等網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)手段推送給學(xué)生，在一定程度上可以避免學(xué)生不加思考而抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

2 習(xí)題的多變性和靈活性

《理論力學(xué)》習(xí)題的多變性體現(xiàn)在，對于同一道題目，可以通過些許的變化，使題目的求解過程和答案發(fā)生較大變化，即“一題多變”。例如，對于一些機(jī)構(gòu)，可以增加約束使其成為靜力學(xué)問題；或是對于一些結(jié)構(gòu)，可以解除部分約束使其成為運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)問題。當(dāng)然，也可以改變主動(dòng)力的作用位置等，對題目做出修改。這樣做的好處是在有限題目的基礎(chǔ)上，通過對課后習(xí)題的變形，將其轉(zhuǎn)化為一道獨(dú)特的題目，學(xué)生很難在網(wǎng)絡(luò)上搜索到答案。即使搜到原來的題目，也需要加以思考，在充分理解的基礎(chǔ)上，對變化后的題目做出解答。當(dāng)然，如果學(xué)生直接抄襲原題解答，在批改作業(yè)時(shí)也能一眼識別。這就在一定程度上避免了抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

《理論力學(xué)》習(xí)題的靈活性則體現(xiàn)在，同一道題往往有不同的解題方法，即“一題多解”。以動(dòng)力學(xué)題目為例，通?？梢圆捎谩皠?dòng)能定理”，或是“動(dòng)量定理+動(dòng)量矩定理”，又或者是“達(dá)朗貝爾原理”等多種不同的方法作答。而在對動(dòng)力學(xué)題目做運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，又可以通過點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，或是對全局運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)等多種方式進(jìn)行求解。在使用動(dòng)量矩定理時(shí)，也可以對定點(diǎn)取矩，或是對質(zhì)心取矩，又或者是對瞬心取矩（當(dāng)瞬心與質(zhì)心的距離始終不變時(shí)）。這樣組合起來，每道題就會呈現(xiàn)出更多的解法。而網(wǎng)絡(luò)上搜到的題目答案，往往只是一種方法，若要求學(xué)生采用多種方法求解，那么也能在一定程度上避免抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

以下通過一道非常簡單的例題加以體現(xiàn)。

3 典型示例

如圖1（a）所示，將一個(gè)長度L，質(zhì)量m的均質(zhì)直桿AB（梯子）置于墻角?，F(xiàn)在，我們增加一些條件，使該題目分別變?yōu)殪o力學(xué)問題和動(dòng)力學(xué)問題，并通過多種不同方式對其中的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行求解。

圖1：題目示意圖（a）原題（b）受力分析圖（靜力學(xué)問題）（c）受力分析圖及速度分析（動(dòng)力學(xué)問題）（d）質(zhì)心速度（功率方程）

3.1 題目的多變性示例

如果AB桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，則該題為考慮摩擦的靜力學(xué)問題。此時(shí)，該題目設(shè)置為：假設(shè)墻面光滑，地面粗糙，并已知梯子與地面的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，求梯子與水平面夾角 的最小值。

對于該問題，分析時(shí)首先繪出受力圖，如圖1（b）所示，包括重力P，A點(diǎn)的法向力FAN，摩擦力FS，B點(diǎn)處的法向力FB。將庫倫摩擦定律作為補(bǔ)充方程，建立FS和FAN的關(guān)系，進(jìn)而建立力系平衡方程求解。當(dāng)然，一種簡便的方法是對FB和FAN的交點(diǎn)C取矩，可一步求解出摩擦力FS，此處不再贅述。

還是圖1（a）所示的梯子，若假設(shè)墻面和地面均光滑，則AB桿將做平面運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AB桿與水平面夾角 時(shí)，由靜止釋放，求釋放瞬時(shí)AB的角加速度。

如此簡單的變化，該題由靜力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)力學(xué)問題，求解過程變得完全不同。分析該問題時(shí)，首先仍是繪出受力圖。由于地面光滑，如圖1（b）所示的受力圖中應(yīng)刪去FS，如圖1（c）所示。此類動(dòng)力學(xué)問題的求解，可采用動(dòng)能定理、“動(dòng)量定理+動(dòng)量矩定理”等多種求解方式，具體求解思路在3.2中進(jìn)行闡述。

圖1（a）所示的場景，不僅僅能變化成上述的兩種題目。例如，同樣是靜力學(xué)問題，可以假設(shè)墻面與壁面均粗糙，并已知兩處的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，求梯子與水平面夾角的最小值。這樣就變成了存在兩處摩擦的平衡問題。又例如，對于動(dòng)力學(xué)問題，可以假設(shè)AB桿在下落的過程始終與墻面相接觸，求即將落地瞬間AB桿的角速度，以及A點(diǎn)的受力。這樣不僅考察了動(dòng)能定理，同時(shí)還考察了動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理，以及平面運(yùn)動(dòng)中求一點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法，題目變得更加綜合。

3.2 題目的靈活性示例

若墻面和地面均光滑，要求解AB桿由靜止釋放時(shí)的角加速度，則可通過多種方法實(shí)現(xiàn)。

方法一：動(dòng)能定理。假設(shè)下降任意時(shí)間后，AB與水平面夾角為 ，如圖1（d）所示。對于做平面運(yùn)動(dòng)的剛體AB，動(dòng)能一般表示為隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的定能之和。此時(shí)需要表示出質(zhì)心的速度。而事實(shí)上，平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能的表達(dá)式，是由繞瞬心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能推導(dǎo)而來，因此，動(dòng)能可表示為T=0.5Jc2，其中 是角速度，Jc是AB桿對瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通過平行軸定理可求得為1/3 mL2。由動(dòng)能定理可知，動(dòng)能的增加量等于重力做的功即T=0.5mgL(sin-sin)。因此，對等式0.5mgL(sin-sin)=0.5 Jc2的等號兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并令 = ，即可求出AB桿在釋放瞬時(shí)的角加速度。

方法二：功率方程。同樣假設(shè)下降任意時(shí)間后，AB與水平面夾角為 ，此時(shí)重力做功的功率為mg·v。其中，v是AB桿質(zhì)心的速度矢量，其大小為0.5 L。由幾何關(guān)系知速度v和重力mg的夾角為 ，如圖1（d）所示。由功率方程，功率mg·v=0.5mg Lcos等于動(dòng)能T=0.5 Jc2對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，題目得解。

方法三：動(dòng)量矩定理（對質(zhì)心取矩）。采用該思路的一般解題方法，都是建立質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來求解，同時(shí)還需根據(jù)已知的A點(diǎn)和B點(diǎn)加速度方向，通過基點(diǎn)法建立AB桿角加速度與質(zhì)心加速度的關(guān)系。對于該題而言，此種解題方法較為繁瑣，此處不再贅述。

方法四：動(dòng)量矩定理（對瞬心取矩）。在剛體平面運(yùn)動(dòng)的過程中，若瞬心與質(zhì)心的距離始終保持不變，則可對瞬心使用動(dòng)量矩定理。該題目中，瞬心與質(zhì)心的距離始終為0.5L，滿足定理的使用條件。由于A、B兩點(diǎn)受力均通過瞬心C，其矩為零，通過對瞬心的動(dòng)量矩定理可直接列出角加速度與重力之間的關(guān)系。相對其他方法而言，該方法僅通過一個(gè)方程求解，最為簡單。

當(dāng)然，該題目還可采用達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）求解。可見，《理論力學(xué)》習(xí)題的解題思路較為靈活，在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試不同的解題技巧，加深學(xué)生對于知識點(diǎn)的理解和掌握，同時(shí)也能更好地培養(yǎng)其邏輯思維能力。

4 結(jié)論

《理論力學(xué)》習(xí)題具有多變性和靈活性。多變性體現(xiàn)在，對于同一道題目，可以對受力情況做些許變化，使題目的求解發(fā)生較大變化。靈活性體現(xiàn)在同一道題往往可以有不同的解題思路。本文通過一道簡單的例題對這種多變性和靈活性進(jìn)行了說明。該題目做出些許變化，即可由靜力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)力學(xué)問題。針對該簡例的求解方法，可以覆蓋平面任意力系平衡方程、考慮摩擦的平衡問題、平面運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理以及達(dá)朗貝爾原理等多個(gè)知識點(diǎn)，具有很強(qiáng)的綜合性。在日常教學(xué)中，將題目加以變化或是要求學(xué)生采用多種解題方法求解，可以有效避免學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)搜索答案并不加思考直接抄襲的現(xiàn)象。