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    平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型

    2021-08-06 06:26:16牟廉明鄭云升邱利瓊
    關(guān)鍵詞:X射線標(biāo)定探測器

    曠 敏,牟廉明,鄭云升,葉 薇,邱利瓊

    (1.重慶理工大學(xué) 理學(xué)院,重慶 400054;2.內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院,四川 內(nèi)江 641100;3.西華大學(xué) 理學(xué)院,成都 610039;4.顧縣中學(xué),四川 廣安 638000)

    1 背景

    CT技術(shù)可在不破壞物體的前提下,通過斷層掃描清晰直觀地觀測到物體的結(jié)構(gòu),其掃描部分由X射線、介質(zhì)樣品和一定數(shù)量的探測器組成,是一種利用X光對物體進(jìn)行掃描來檢測目標(biāo)斷層的投影技術(shù)[1-2]。Radon提出投影重建原理后,Hounsfield于1972年在英國放射學(xué)會上首次公布第1臺CT系統(tǒng)掃描裝置,從此CT技術(shù)得到迅猛發(fā)展[3-4]。而CT系統(tǒng)在安裝時往往存在誤差,導(dǎo)致成像質(zhì)量差,因此提高CT系統(tǒng)幾何參數(shù)的準(zhǔn)確性和精確度的研究顯得尤為重要。

    目前,對CT系統(tǒng)幾何參數(shù)標(biāo)定方法的研究比較活躍。1999年,Gullberg等[5]利用質(zhì)點在探測器上運動形成的投影標(biāo)定出橢圓形參數(shù),從而得到CT系統(tǒng)的幾何參數(shù)。2000年,Noo等[6]利用最小二乘法擬合出標(biāo)定模體的橢圓形投影軌跡,并與系統(tǒng)的幾何參數(shù)組合成關(guān)系式,從而確定CT系統(tǒng)的幾何參數(shù)。2006年,Liu等[7]比較了心圖法、對角插值法、曲線擬合和幾何法4種方法來測定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心(COR)的精確性。同年,孫怡等[8]選擇基于4個點狀目標(biāo)的金屬板作為定標(biāo)模型,利用標(biāo)準(zhǔn)模型的某一固定角度下的投影數(shù)據(jù)標(biāo)定幾何參數(shù)。2009年,李保磊等[9]提出利用正弦圖數(shù)據(jù)的冗余性采用總和均分的方式來確定COR的位置。2013年,孟凡勇等[10]利用中心投影具有π分割數(shù)據(jù)一致性的特點,提出利用原始數(shù)據(jù)精確確定COR的方法。2018年,龍建輝等[11]基于圖像輪廓曲線的提取,通過建立數(shù)學(xué)模型來標(biāo)定CT系統(tǒng)參數(shù)。2019年,夏彬珂等[12]和李江珊等[13]采用最小二乘法擬合優(yōu)化函數(shù),并利用遺傳算法求幾何參數(shù)的值。以上方法側(cè)重提高COR的精確性,十分依靠算法,并在特定條件下才可以求出精確解,條件改變后,方法就不一定適用。據(jù)此,為提高X射線平行入射的二維CT系統(tǒng)幾何參數(shù)的精確性,并適用于不同模板,從多目標(biāo)規(guī)劃角度,提出一種多目標(biāo)優(yōu)化模型。當(dāng)條件增加或減少時,模型精確度高、適用性強且穩(wěn)定。

    2 不同模板的幾何參數(shù)標(biāo)定優(yōu)化問題及建模

    對于典型的CT系統(tǒng),平行入射的X射線垂直于探測器平面,將每個探測器單元看成一個接收點,且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變,整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)180次。對每個X射線方向,在具有512個等距單元的探測器上測量經(jīng)位置固定不動的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量,并經(jīng)過增益等處理后得到180組接收信息。

    2.1 第1類模板:正方形托盤上放置均勻介質(zhì)圓

    在100 mm×100 mm正方形托盤上放置1個均勻固體介質(zhì)(半徑為25 mm圓)組成的模板,模板的幾何信息如圖1所示。求CT系統(tǒng)的幾何參數(shù),即X射線入射方向(IDX)、CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心(COR)和探測器單元間距(DUS)。

    圖1 第1類模板示意圖

    1)確定任意1條X射線方程

    將模板的正方形托盤中心與圓中心重合,建立平面直角坐標(biāo)系。為進(jìn)一步確定COR與512條X射線之間的幾何關(guān)系,任取1個點作為旋轉(zhuǎn)中心點o′(x0,y0),任取X射線的1個初始方向為θ。由于探測器單元是等距排列的,當(dāng)平行光入射時,旋轉(zhuǎn)中心點到每條射線的距離都可以表示,如圖2。假設(shè)X射線從不同方向入射的DUS不同,用Dj來表示,則任意1條X射線到旋轉(zhuǎn)中心o′的距離…,180。

    圖2 X射線任意1個入射角度示意圖

    根據(jù)圖3,作經(jīng)過點o′(x0,y0)的射線l0,設(shè)射線l0與y軸交點的縱坐標(biāo)為a0,則射線l0的斜截式為y0=tanθjx0+a0,即a0=y(tǒng)0-tanθjx0。任意1條射線在線段l0的下方或上方,可以得到圖3所示的幾何關(guān)系,則構(gòu)成一個直角三角形△A0A′iAi,可以求得ai。設(shè)點Ai到A0的距離為a′i,則a′i=因此任意1條X射線與y軸的相交點Ai的縱坐標(biāo)為ai=a0-a′i。綜上,可以得到任意1條X射線的直線方程是y=tanθjx+ai。即:

    圖3 任意1條射線與l0兩種位置關(guān)系示意圖

    2)建立超定方程組

    根據(jù)定義,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=252,單位為mm。聯(lián)立射線與圓的方程組:

    3)建立第1類模板的CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定優(yōu)化模型

    需要求解該模板下CT系統(tǒng)的幾何參數(shù),即IDX、COR和DUS。于是確定決策變量為IDX范圍為θj、COR的坐標(biāo)位置為o′(x0,y0)和DUS為Dj。

    512條X射線穿過模板后,會在探測器接收器上顯示接收信號,因此DUS需要滿足一定的范圍,從而使得X射線從不同方向入射時DUS最小,因此確定目標(biāo)函數(shù)為180組方向下DUS的平均方差和最小,即。為減少旋轉(zhuǎn)中心的偏差,當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心越接近坐標(biāo)原點時,512根X射線在180組方向下更容易檢測。于是選擇目標(biāo)函數(shù)為旋轉(zhuǎn)中心點o′到坐標(biāo)原點o的距離最小,即

    有3類條件對其約束。

    約束1:X射線與圓不相交。當(dāng)X射線與物體相交時,X射線強度會衰減,因此探測器上接收的信號弱。滿足Δ≤0條件,即:

    約束2:當(dāng)不同入射方向的X射線發(fā)生強度衰減時,確定探測器單元間距范圍。已知射入的X射線有512組,X射線入射角度有180組,因此不同的入射角度會影響DUS。為精確確定DUS范圍,根據(jù)幾何關(guān)系,用圖4中3種角度入射計算得DUS范圍為:

    圖4 X射線3種入射角度示意圖

    約束3:自身范圍限制。在平面上,平行束IDX范圍為一周,即0≤θj≤2π。由于圓在正方形托盤中,則COR一定在模板上,即

    綜上,得到第1類模板的CT系統(tǒng)多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化模型,i=1,2,…,512,j=1,2,…,180。

    2.2 第2類模板:正方形托盤中放置非均勻介質(zhì)橢圓和圓

    在100 mm×100 mm正方形托盤上放置由2個非均勻固體介質(zhì)(長半軸為15 mm、短半軸為40 mm的橢圓和半徑為4 mm的圓)組成的模板,模板的幾何信息如圖5所示。其他條件相同,求CT系統(tǒng)的幾何參數(shù)。

    圖5 第2類模板示意圖

    1)確定任意1條X射線方程

    在本模板中固體介質(zhì)為非均勻的,且從1個上升為2個,即增加了橢圓。為確定模板下的多目標(biāo)優(yōu)化模型,利用相同的建模思路。X射線不論射入橢圓還是圓都會發(fā)生衰減,根據(jù)圖7的幾何關(guān)系確定任意1條X射線方程過程相同,則可以確定任意1條X射線方程為y=tanθjx+bi,其中2,…,512,j=1,2,…,180。

    2)建立超定方程組

    圖6 X射線任意1個入射角度示意圖

    圖7 射線和l0兩種位置關(guān)系示意圖

    同樣,利用弦長公式組成超定方程組,則橢圓和圓的弦長分別為:

    3)建立第2類模板的CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定優(yōu)化模型

    其中:k=2,3,i=1,2,…,512,j=1,2,…,180。

    3 適用于不同模板下平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型

    為提高CT系統(tǒng)幾何參數(shù)的準(zhǔn)確性和精確度,并保證在樣品數(shù)量改變的情況下精確度相對較高,根據(jù)式(4)和式(8)兩個模型,在構(gòu)成模板樣品數(shù)量不同、形狀不同、介質(zhì)不同時,提出平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型。則利用射線與模板上樣品之間的幾何關(guān)系,以COR的坐標(biāo)(x0,y0)、探測器單元間距(DUS)和X射線的入射方向(IDX)為決策變量,以X射線從180個方向入射時DUS方差和的平均值最小和旋轉(zhuǎn)中心點o′到坐標(biāo)原點的距離最小為目標(biāo)函數(shù),以X射線與介質(zhì)樣品不相交、3種方向入射時(即水平、豎直、東北45°方向)確定IDX范圍和自身限制為約束條件,建立適用于不同模板的平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

    其中:用Dj表示DUS,n表示整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞旋轉(zhuǎn)中心的次數(shù),j=1,2,…,n。探測器的個數(shù)為m,i=1,2,…,m。利用判別式Δrij表示X射線是否射入樣品中,X射線被截斷的弦長用lrij表示,r為X射線射入不同樣品的數(shù)量,r=1,2,3,…。探測器間距與正方形托盤和樣品大小有關(guān),因此最大間距和最小間距分別用c和d表示。COR在正方形托盤內(nèi),因此橫縱坐標(biāo)確定。用θj表示IDX,考慮發(fā)射-接收系統(tǒng)按逆時針旋轉(zhuǎn)是在1周內(nèi),即θj∈[0,2π]。

    4 定量分析

    參考文獻(xiàn)[21]的部分?jǐn)?shù)據(jù),擬合并多次迭代求解第2類模板的幾何參數(shù),得到結(jié)果:CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心(COR)為(-9.213 4,6.035 1),探測器單元間距(DUS)為0.276 2 mm,X射線入射初始方向(IDX)為120.210 0°,每次逆時針旋轉(zhuǎn)約0.997 1°,并得到180組方向。

    為驗證模型的精度,以第2類模板為例,將幾何參數(shù)結(jié)果和9個樣本[12-20]的初始IDX、COR和DUS與樣本1的數(shù)據(jù)[22]進(jìn)行誤差分析。分別得到10個樣本初始IDX、COR和DUS的誤差數(shù)據(jù),具體見表1~3。

    表1 IDX誤差分析

    表2 COR誤差分析

    表3 DUS誤差分析

    由表1~3可知:第2類模板的初始IDX為0.563 7°<0.617 7°;COR的誤差距離0.248 5 mm<0.640 1 mm;DUS的誤差為0.000 6 mm<0.000 8mm。3部分都低于平均值,且COR的誤差距離僅次于樣本3、4,而本文中DUS的誤差僅為0.000 6 mm,誤差非常小。從整體上看,利用提出的優(yōu)化模型求解出的CT系統(tǒng)的參數(shù)比現(xiàn)有大部分結(jié)果更精確,因此所提出的優(yōu)化模型可行度高,精確度也較高。

    5 模型應(yīng)用

    為考察模型的實際使用情況,檢驗?zāi)P偷姆€(wěn)定性,選擇第2類模板進(jìn)行應(yīng)用驗證。根據(jù)計算出的幾何參數(shù)和文獻(xiàn)數(shù)據(jù)[21]重建圖像,并與精度較高的樣本3的圖像進(jìn)行對比,檢查成像的質(zhì)量,進(jìn)而說明模型的穩(wěn)定性。

    由于模板上的樣品對X射線有吸收和散射作用,導(dǎo)致X射線發(fā)生衰減。將模板上介質(zhì)樣品的各單位近似均勻處理,得到X射線衰減系數(shù)公式根據(jù)文獻(xiàn)[23],基于Radon變換和反變換原理,利用Matlab內(nèi)置圖像重構(gòu)函數(shù)iradon,采用濾波反投影算法重建圖像。此時,圖像需要校正,采用簡單的平移、旋轉(zhuǎn),平移前后坐標(biāo)用(x,y)與(x′,y′)表示,在水平和豎直方向的偏移量分別用d x,d y表示,旋轉(zhuǎn)角度用α表示。

    由圖8、9可知,校正后的圖像不僅消除了偽影,而且圖像的邊緣更光滑,輪廓更清晰。將本文的校正圖像與樣本3的校正圖像對比,雖然圖像重建的算法不同、模型不同,但兩者差別甚微。由此可見,所提出的多目標(biāo)優(yōu)化模型重建的圖像能達(dá)到其他方法重建的效果。換言之,說明本文中模型在保證成像質(zhì)量的同時精度高,表明模型的穩(wěn)定性強。

    圖8 第1個圖校正前、本文方法校正后和 樣本3校正后的圖像

    圖9 第2個圖校正前、本文方法校正后和 樣本3校正后的圖像

    6 結(jié)論

    為提高平行束CT系統(tǒng)幾何參數(shù)的精確性,從多目標(biāo)規(guī)劃角度,提出一種平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型。該模型適用于不同數(shù)量、不同形狀、不同介質(zhì)構(gòu)成的模板。利用超定方程組方程多、求解值少且便于迭代優(yōu)化的特點和幾何關(guān)系確定相應(yīng)模板的多目標(biāo)優(yōu)化模型。通過分析發(fā)現(xiàn),在不同數(shù)量、不同形狀、不同介質(zhì)構(gòu)成模板的條件下,兩類模板的模型結(jié)構(gòu)類似,因此總結(jié)提出了一種平行束CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的多目標(biāo)優(yōu)化模型。通過對第2類模板的計算,并將9組樣本分別與樣本1數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析發(fā)現(xiàn),本文結(jié)果優(yōu)于大部分樣本,精度較高。另外,將第2類模板的幾何參數(shù)結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像,發(fā)現(xiàn)相較于樣本3所重構(gòu)的圖像差別不大。因此,本文中所提出的模型不但適用于該類問題,還能保證精度較高、穩(wěn)定性較強。

    由于未對圖像重建算法做深入研究,在多目標(biāo)規(guī)劃領(lǐng)域,第2類模板的計算結(jié)果是全局最優(yōu)解,而實際問題中可能不存在這樣的解。因此,需要進(jìn)一步從多目標(biāo)規(guī)劃問題出發(fā)求有效解,確保最優(yōu)解在實際中一定存在。

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