帶Lévy跳的隨機(jī)SIQR模型的分析研究

劉世杰，劉茂省

（中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051）

傳染病是影響社會發(fā)展的重要問題，許多學(xué)者利用數(shù)學(xué)建模思想，根據(jù)疾病的傳播機(jī)理建立了SI、SIR、SIV、SIQ等經(jīng)典模型，對模型進(jìn)行動力學(xué)分析，分析傳染病的發(fā)展趨勢并提出合理建議。對傳染病的研究大多用確定性的系統(tǒng)來分析，但在疾病傳播過程中仍然會有一些隨機(jī)因素干擾［1－5］。文獻(xiàn)中通常用白噪聲來表示環(huán)境因素等的擾動，如氣候、溫度等，然而當(dāng)遭遇重大自然災(zāi)害或突變（如地震、海嘯、颶風(fēng)或大型傳染病等因素）時，在短時間內(nèi)會改變種群規(guī)模，這種擾動的刻畫是有一定難度的，研究者們提出用Lévy跳來描述刻畫這些因素的影響［6－10］。

有很多學(xué)者對此類帶Lévy跳的模型進(jìn)行了分析，如Zhang等［8－10］分析了SIR、SEIR及艾滋病模型，得到了平衡點附近的漸近性質(zhì)。Zhou等［11］研究了隨機(jī)SIR模型，得到了疾病滅絕和存在的充分條件；Ge等［12］研究了具有非線性發(fā)生率的SIS模型，在得到疾病滅絕和存在充分條件的基礎(chǔ)上還做出數(shù)值模擬，說明了隨機(jī)擾動對傳染病的影響。隨著理論的發(fā)展和完善，也有更多模型出現(xiàn)，如Fan等［13－14］考慮將非線性發(fā)生率、時滯、白噪聲和Lévy跳多種因素結(jié)合起來，得到疾病存在和滅絕的充分條件。

1 模型建立

考慮以下具有隔離的SIQR模型：

式中：S（t）代表易感者的數(shù)量；I（t）代表感染者的數(shù)量；Q（t）代表隔離者的數(shù)量；R（t）代表恢復(fù)者的數(shù)量；A為群體輸入率；β為傳染病的感染率；μ為自然死亡率；μ0和μ1分別為感染者和隔離者的因病死亡率；γ為感染者的恢復(fù)率；δ為感染者的隔離率；θ為隔離者的恢復(fù)率，以上所有參數(shù)均為正常數(shù)。由于系統(tǒng)（1）中的前3個等式不依賴于第4個等式，所以第4個等式可以省略。因此只考慮以下系統(tǒng)：

然而，在現(xiàn)實環(huán)境中，傳染病的傳播會受到很多環(huán)境因素的干擾，可以用白噪聲來刻畫這些因素。遭受地震、颶風(fēng)、SARS等重大災(zāi)害時的干擾也是不可忽視的，因此，考慮一個帶Lévy跳的隨機(jī)模型：

式中：標(biāo)準(zhǔn)布朗運動用B1、B2、B3表示；正常數(shù)σ1、σ2、σ3是其對應(yīng)布朗運動的強(qiáng)度；Hi（z）＞－1，（i＝1，2，3）表示跳的強(qiáng)度。其中適應(yīng)的鞅；N（t，U）是泊松隨機(jī)測度；的補償測度；n（d t，d z）＝E（N（d t，d z））是N（t，U）的強(qiáng)度測度，它滿足n（d t，d z）＝π（d z）d t，其中π（d z）是Z上的測度，Z?（0，∞），π（Z）＜∞，以及滿足以下條件：。值得注意的是，當(dāng)隨機(jī)擾動的強(qiáng)度為零時，系統(tǒng)（3）就是確定性的系統(tǒng)（2）。

2 全局正解的存在唯一性

3 解的漸近性質(zhì)

對上式兩端從0到t積分后再求期望，有

0≤EV1［（S（t），I（t），Q（t））］≤EV1［（S（0），I（0），Q（0））］＋

定理3 若系統(tǒng)滿足條件H1和H2，R0＞1，且滿足

證：因為系統(tǒng)（2）對應(yīng)的確定性模型存在唯一的正平衡點，所以有

4 數(shù)值模擬

本節(jié)參考文獻(xiàn)［18］和［19］，利用Matlab來驗證理論結(jié)果。

1）對于系統(tǒng)（3），在系統(tǒng)（2）的無病平衡點附近，選定A＝0.3，β＝0.005，μ＝0.2，θ＝0.04，γ＝0.033，δ＝0.01，μ1＝0.03，μ0＝0.043，σ1＝σ2＝σ3＝σ4＝0.1，Z∈（0，∞），π＝0.8，H1（z）＝H2（z）＝H3（z）＝H4（z）＝0.2，且初值（S（0），I（0），Q（0），R（0））＝（0.5，0.2，0.1，0.1），易知R0＝0.026 2＜1，且滿足定理2的其他條件，因此定理2成立，如圖1所示。

圖1 R0＜1時確定性模型和隨機(jī)模型解的漸近曲線

2）對于系統(tǒng)（3），在系統(tǒng)（2）的地方病平衡點附近，選定A＝0.3，β＝0.6，μ＝0.15，θ＝0.2，γ＝0.2，δ＝0.1，μ1＝0.1，μ0＝0.1，σ1＝σ2＝σ3＝σ4＝0.2，Z∈（0，∞），π＝0.1，H1（z）＝H2（z）＝H3（z）＝H4（z）＝0.1，且初值（S（0），I（0），Q（0），R（0））＝（0.5，0.2，0.1，0.1），易知R0＝2.1818＞1，且滿足定理3的其他條件，因此定理3成立，如圖2所示。

圖2 R0＞1時確定性模型和隨機(jī)模型解的漸近曲線

5 結(jié)論

研究了一類具有Lévy跳的隨機(jī)SIQR模型的動力學(xué)行為，它能夠更加準(zhǔn)確反映突發(fā)情形下傳染病的傳播規(guī)律。首先分析了該系統(tǒng)具有全局正解，然后通過定理2、3分別討論了帶Lévy跳系統(tǒng)的解過程在原確定性系統(tǒng)的平衡點附近的漸近性態(tài)，隨機(jī)系統(tǒng)的解過程在原確定性系統(tǒng)平衡點附近隨機(jī)振蕩，當(dāng)改變Lévy跳的大小時，隨機(jī)系統(tǒng)的解過程的振幅也會發(fā)生變化。研究結(jié)果表明：Lévy跳對疾病傳播有一定的影響，有利于更好地研究傳染病的動力學(xué)性態(tài)。將在未來的研究中考慮Lévy跳對其他傳染病模型動力學(xué)性態(tài)的影響。