構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中的應(yīng)用

福建省永定第一中學(xué) 吳玉輝

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線是一個難度較大的知識模塊，由于其計算起來比較繁瑣，思路復(fù)雜，所以也是考試中容易失分的一個部分。有些圓錐曲線試題具有較強的技巧性，要應(yīng)用更加靈活的方法才能正確地解答。構(gòu)造法是解圓錐曲線試題中的一種常用方法，能夠在解題過程中收獲良好的效果。

使用構(gòu)造法的前提是讓學(xué)生首先明白題目提出的條件是什么，挖掘以往所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，巧妙地融合參數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，最終能夠順利解題。運用構(gòu)造法需要學(xué)生具備較強的解題能力、分析能力，并擁有一定的解題經(jīng)驗。所以要想熟練掌握，需要投入一定的時間與精力。在教學(xué)過程中，教師要分析學(xué)生有著怎樣的學(xué)習(xí)水平，在教學(xué)中巧妙地滲透構(gòu)造法相關(guān)知識技巧，通過這種題目的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生更加熟悉構(gòu)造法，讓學(xué)生明白如何具體應(yīng)用構(gòu)造法，并進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思維，拓展其解題思路，準(zhǔn)確地將數(shù)學(xué)思維方法傳授給學(xué)生，構(gòu)建代數(shù)與幾何之間的橋梁。

一、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的必要性

構(gòu)造法是以原有題型為基礎(chǔ)，對其實施條件或結(jié)論提出假設(shè)，并通過數(shù)學(xué)中各種理論、基礎(chǔ)公式的應(yīng)用構(gòu)造出滿足題型所需條件或結(jié)論的一種數(shù)學(xué)模型。通常，這一模型的產(chǎn)生主要是根據(jù)原有題型做出的一種假設(shè)，從而實現(xiàn)解決問題的目的。使用構(gòu)造法，能夠讓學(xué)生做到心中有數(shù)。構(gòu)造法是一種獨特的劃歸手段，能夠在解題過程中發(fā)揮重要作用。在實際應(yīng)用中，構(gòu)造法常會通過圖形的模式更加直觀地表現(xiàn)已知量，這也是解開題型的關(guān)鍵所在。首先，根據(jù)某一角度確定論證出發(fā)點，依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想尋找解題的突破點，從而達(dá)到技巧性解題的目的。在具體應(yīng)用過程中，構(gòu)造法不只停留于圖形這一層面，同時也會應(yīng)用到函數(shù)、方程、不等式等方法，這些構(gòu)造法在具體應(yīng)用中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。函數(shù)與方程是高中生比較熟悉的一種解題思維，同時也是構(gòu)造法的常用輔助工具，所以，學(xué)生在實際解題過程中不僅能加強所學(xué)知識，而且也能夠鞏固以往所學(xué)的種種數(shù)學(xué)知識。構(gòu)造法最終會通過構(gòu)造模型解決問題，而構(gòu)造模型的應(yīng)用能夠鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的思維能力。

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中的應(yīng)用

（一）構(gòu)造圖形在解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，高中數(shù)學(xué)的難度在不斷增加，學(xué)生需要面對較難解決的問題。構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用比較普遍，使用構(gòu)造法會使復(fù)雜的問題變得簡單，使抽象的問題變得形象，極大地強化高中生解題信心，提升其解題熱情，提高解題效率。構(gòu)造圖形是根據(jù)題目的描述綜合所學(xué)知識繪制數(shù)學(xué)圖形，直觀地表現(xiàn)題干描述中的參數(shù)或者隱含的參數(shù)關(guān)系，從而找到解題的突破口。通過相關(guān)實踐表明，在圓錐曲線解題中應(yīng)用構(gòu)造圖形可以提高解題效率，使解題步驟更加簡潔。如果學(xué)生掌握了這一解題方法，就能夠有效地增強學(xué)生解題能力。為了讓學(xué)生充分掌握這一方法的應(yīng)用，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生了解一些常用的構(gòu)造方法，如構(gòu)造直角三角形、圓形、添加輔助線等等，另外，帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)構(gòu)造圖形的相關(guān)結(jié)論，將其直接應(yīng)用于圓錐曲線的填空題或選擇題中，提高解題效率。教師不僅要講解構(gòu)造法相關(guān)的理論知識，也要精選經(jīng)典例題，讓學(xué)生通過例題的精練熟悉構(gòu)造法的應(yīng)用，幫助學(xué)生認(rèn)識到使用構(gòu)造圖形為解題帶來的便利，并學(xué)會使用最恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造圖形方法，為進(jìn)一步靈活應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。

（二）構(gòu)造命題在解題中的應(yīng)用

一般，圓錐曲線試題中缺少明確的依據(jù)，必須要經(jīng)過對相關(guān)命題的推導(dǎo)與總結(jié)，通過命題進(jìn)行解題。在圓錐曲線解題過程中，如使用構(gòu)造命題法，首先要保證命題的正確。學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中需要積累與推導(dǎo)相關(guān)命題，這樣在解題時才能快速準(zhǔn)確地構(gòu)造命題。在教學(xué)中，為了讓學(xué)生學(xué)會靈活應(yīng)用這種方式解題，教師要根據(jù)圓錐曲線具體內(nèi)容帶領(lǐng)學(xué)生共同推導(dǎo)相關(guān)命題，激發(fā)學(xué)生的多重思考，讓學(xué)生能夠掌握如何在圓錐曲線解題過程中應(yīng)用構(gòu)造命題的技巧。要讓學(xué)生在課下多嘗試推導(dǎo)，使學(xué)生能夠掌握更多有用、正確的結(jié)論。為了增強學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造命題解題的能力，教師要多分析具體例題，引導(dǎo)學(xué)生在實際解題過程中學(xué)會如何正確地構(gòu)造圖形，塑造學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造命題解題的意識，并讓學(xué)生造成用構(gòu)造命題方法解題的習(xí)慣。

解析：設(shè)橢圓中心為（x，y），根據(jù)題意，有x=2t，y=-t2.消去參數(shù)得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=x2+4y=0.由上可知，它關(guān)于M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程為f（-2-x，2-y）=0， 即（-2-x）2+4（2-y）=0，化為（x+2）2=4（2-y），即為所求的軌跡方程。

點評：由于題中沒有直接給出曲線方程關(guān)于一個點對稱的方程式，采用這種構(gòu)造法，可以很快地打開解題思路，最終解決問題。

（三）構(gòu)造方程在解題中的應(yīng)用

在解題過程中，往往題目中并沒有給出明確信息，所以需要學(xué)生自己認(rèn)真分析，將未知的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為已知內(nèi)容。通過所構(gòu)造的函數(shù)方程、圖形等分析參數(shù)之間存在的某種關(guān)系，以此為切入點，正確地解答題目。但是相關(guān)方面的題目，具有較大的方程構(gòu)造難度，學(xué)生必須要更多地學(xué)習(xí)相關(guān)技巧，通過多次的訓(xùn)練不斷積累方程構(gòu)造方法。為了讓學(xué)生擁有更強的方程構(gòu)造能力，在教學(xué)中，教師首先要提高學(xué)生的計算能力。解圓錐曲線題目時，通常要經(jīng)歷繁瑣的計算，應(yīng)多開展計算方面的訓(xùn)練，增強學(xué)生計算的準(zhǔn)確性。比如：構(gòu)造方程也比較難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試聯(lián)立方程的計算，讓學(xué)生細(xì)致觀察并分析其中的規(guī)律，從而實現(xiàn)準(zhǔn)確、高效地計算。另外，精講具有代表性的題型，帶領(lǐng)學(xué)生深入地剖析也必不可少。詳細(xì)地書寫方程構(gòu)造的具體過程，引導(dǎo)學(xué)生多多反思、分析的構(gòu)造方程過程中應(yīng)當(dāng)注意哪些問題。比如：在方程構(gòu)造時，要先明確定義與范圍，這樣才有利于準(zhǔn)確地構(gòu)造方程。

（四）構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用

高中生對于函數(shù)比較熟悉，進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)知識能夠滿足學(xué)生的解題需求，在解答相關(guān)題目時，也可以嘗試通過構(gòu)造函數(shù)的方式，分析函數(shù)的具體性質(zhì)，并進(jìn)一步找到參數(shù)的最大值、最小值，在具體解題過程中，這種解題方式非常實用。所以，掌握這一構(gòu)造方法非常必要。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生分清函數(shù)性質(zhì)，學(xué)會如何通過函數(shù)最值求解，如何開展函數(shù)的求導(dǎo)等等知識，在打好基本功之后，可以為學(xué)生構(gòu)造出所需要的函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)。另外，通常人們會利用構(gòu)造函數(shù)解答題目，而這種解題途徑需要極強的技巧，為了讓學(xué)生形成解題的自信心，并充分掌握這一方法，要更加關(guān)注相關(guān)例題的講解，帶領(lǐng)學(xué)生逐漸深入地了解題目內(nèi)容，探尋相應(yīng)的突破口幫助學(xué)生順利解題，獲得成就感，從而更加積極地鉆研，巧妙地構(gòu)造函數(shù)來解答問題。

（五）構(gòu)造不等式關(guān)系在解題中的應(yīng)用

不等式知識相對比較抽象，其中涵括了多個知識點，在解答大題時常會應(yīng)用到不等式這一工具。在解答圓錐曲線試題時，有些題目會讓學(xué)生求解參數(shù)的取值范圍，通過應(yīng)用不等式常會獲得良好的效果。所以在教學(xué)中，要關(guān)注如何構(gòu)造不等式。首先，要深入、全面地了解相關(guān)試題中經(jīng)常會出現(xiàn)的不等式關(guān)系，掌握不等式的定義結(jié)論。在使用不等式之前，必須要充分了解掌握參數(shù)范圍，使最終的條件屬于取值范圍之內(nèi)。如果解題時并未應(yīng)用基本不等式，那么可以多轉(zhuǎn)換一個角度，通過函數(shù)知識解決問題。其次，不等式的構(gòu)造常常需要更加靈活地知識運用，講解相關(guān)知識時，也要以經(jīng)典題目為例，給出詳細(xì)的推導(dǎo)依據(jù)，讓學(xué)生能夠更加關(guān)注不等式構(gòu)造的嚴(yán)謹(jǐn)性及合理性，更加靈活地應(yīng)用不等式解答題目。

綜上所述，高中生有著較大的課業(yè)壓力，學(xué)生經(jīng)常需要面對浩瀚如海的數(shù)學(xué)題組，所以難免會形成無形的壓力。鑒于此，讓高中生學(xué)習(xí)構(gòu)造法有利于其在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅能夠節(jié)省解題時間，而且也能鍛煉高中生的創(chuàng)新能力與思維能力。