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    一道得分很低的高考概率題引發(fā)的思考

    2021-08-05 09:48:48蔡海濤卓曉萍
    數(shù)理化解題研究 2021年10期
    關(guān)鍵詞:乙丙失敗者試題

    蔡海濤 盧 妮 卓曉萍

    (福建省莆田第二中學(xué) 351131)

    2020年的高考已落下帷幕,一道道賞心悅目的高考試題讓人回味無窮.其中,全國(guó)卷Ⅰ理科第19題得分率很低.據(jù)某省高考評(píng)卷點(diǎn)統(tǒng)計(jì),該題得分為所有解答題中得分最低,比第21題的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題還低.筆者訪談部分考生,這道題能夠完整作答的寥寥無幾,這一現(xiàn)象引發(fā)筆者的思考.

    一、試題呈現(xiàn)

    (1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;

    (2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

    (3)求丙最終獲勝的概率.

    二、試題分析

    本題以三人的羽毛球比賽為載體,考查概率中事件的概念、事件的獨(dú)立性和事件概率的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí),考查分類與整合、統(tǒng)計(jì)與概率數(shù)學(xué)思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

    第(1)問根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場(chǎng)”的概率,這一問比較簡(jiǎn)單,大部分考生都能輕松求解.低起點(diǎn)的第一步有利于穩(wěn)定考生的心態(tài),更有信心去解決后續(xù)的問題;第(2)問計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率,然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率;第(3)問列舉出甲贏的基本事件,結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率,由對(duì)稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等,再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概率.本題第(2)、(3)問易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)基本事件考慮問題不清、分類標(biāo)準(zhǔn)不明.解題關(guān)鍵在于先分析題意,理解比賽規(guī)則,合理確定分類討論標(biāo)準(zhǔn).

    三、解法分析

    (2)記事件A為甲輸,事件B為乙輸,事件C為丙輸,則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

    P′=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)

    (3)記事件A為甲輸,事件B為乙輸,事件C為丙輸,

    記事件M:甲贏,記事件N:丙贏,則甲贏的基本事件包括:BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,

    所以,甲贏概率為

    評(píng)注這個(gè)解答是官方提供的唯一解答,簡(jiǎn)捷明了,但由某省高考評(píng)卷點(diǎn)反饋,第(2)問、第(3)問能夠這樣解答的考生寥寥無幾.這種解答的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出符合條件的基本事件,這要求考生能合理抽象數(shù)學(xué)模型,合理利用文字語言與符號(hào)語言或圖形語言之間的轉(zhuǎn)化,分析基本事件的類型,做到不重不漏,考查考生分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

    解法二(1)同解法一.

    (2)需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽,即勝者必然要輸一場(chǎng).

    于是先考慮對(duì)立事件:最終勝者全勝分三類(注意到甲、乙具有對(duì)稱性)

    最終甲勝按輸者排序:乙丙乙丙;最終乙勝按輸者排序:甲丙甲丙;

    最終丙勝按輸者排序:甲乙甲乙;乙甲乙甲.

    四場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為:

    故進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

    (3)丙獲勝情況分為兩類:比賽場(chǎng)次4場(chǎng)或5場(chǎng).

    情況二:比賽5場(chǎng),則丙輸一場(chǎng)(注意到甲、乙具有對(duì)稱性,先考慮第一場(chǎng)甲贏)

    第二場(chǎng)輸按輸者排序:

    乙丙甲乙甲;乙丙乙甲甲;

    第三場(chǎng)輸按輸者排序:

    乙甲丙乙甲;乙甲丙甲乙;

    第四場(chǎng)輸按輸者排序:

    乙甲乙丙甲

    評(píng)注解法二是利用列舉法列舉出符合條件的基本事件.求古典概型的概率很重要的一步是列舉基本事件,對(duì)于一些情況比較復(fù)雜、數(shù)據(jù)較大時(shí),“列舉”稍有疏忽,就會(huì)出現(xiàn)遺漏.列舉法的關(guān)鍵在于如何確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn),由此揭示基本事件的構(gòu)成規(guī)律,若能抓住這個(gè)規(guī)律列舉就不難了.如第(2)問、(3)問分別以“最終勝者全勝”、“丙獲勝情況”做為分類討論標(biāo)準(zhǔn).

    解法三根據(jù)失敗者的特點(diǎn),可列出每場(chǎng)失敗者的情況如下表:

    根據(jù)上表解答本題如下:

    (2)只需進(jìn)行四場(chǎng)比賽的概率為:

    所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

    (3)比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為

    評(píng)注解法三首先分析題意,理解比賽規(guī)則.由規(guī)則知至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽,每場(chǎng)比賽失敗者的情況有如下特點(diǎn):首場(chǎng)比賽失敗者是甲或乙;前四場(chǎng)比賽不出現(xiàn)連續(xù)兩場(chǎng)比賽是同一個(gè)失敗者;若僅進(jìn)行四場(chǎng)比賽就決出最終獲勝者,則兩個(gè)失敗者必是交替失敗的.考生若能分析以上特點(diǎn),則可列出每場(chǎng)失敗者,從而掌握比賽可能出現(xiàn)的情況,進(jìn)而解決問題.

    四、教學(xué)啟示

    1.似曾相識(shí)燕歸來

    由于題1得分很低,筆者關(guān)注此類試題,發(fā)現(xiàn)近年高考出現(xiàn)類似試題,如:

    (2019年高考全國(guó)卷Ⅱ·理19)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

    (1)求P(X=2);

    (2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

    由此,不難發(fā)現(xiàn)近年高考數(shù)學(xué)卷多次設(shè)計(jì)以體育運(yùn)動(dòng)為問題情境的試題,體現(xiàn)了高考積極的育人導(dǎo)向作用,傳達(dá)著“野蠻其體魄,文明其精神”的體育意識(shí),充分落實(shí)“五育并舉”的精神.

    2.咬定青山不放松

    縱觀近五年(2015年-2019年)全國(guó)卷Ⅰ理科卷概率統(tǒng)計(jì)解答題,均是概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合,各地的高三質(zhì)檢卷、模擬卷在概率題考查上大都也是以這種形式呈現(xiàn),考生在應(yīng)試時(shí)發(fā)現(xiàn)試題不是平時(shí)的套題,從而造成緊張畏難情緒,因此得分較低.當(dāng)前高考力求創(chuàng)新,落實(shí)了從“能力立意”到“素養(yǎng)導(dǎo)向”的轉(zhuǎn)變,考查了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這就給那些高三復(fù)習(xí)搞“忽視教材、追蹤熱點(diǎn)、題海戰(zhàn)術(shù)”備考策略的教師敲響了警鐘,啟示我們?cè)诟呖紓淇紩r(shí)要穩(wěn)扎穩(wěn)打,關(guān)注過程性教學(xué),在思想的高度上去引領(lǐng)方法,去領(lǐng)會(huì)、感悟分析問題和解決問題的能力.

    我們認(rèn)為每一個(gè)知識(shí)板塊都有可能成為“壓軸題”的載體,所以在復(fù)習(xí)備考時(shí),我們反對(duì)“猜題押寶”,只有夯實(shí)基礎(chǔ),理清知識(shí)體系,提升學(xué)生能力,才能應(yīng)對(duì)強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新的新高考,才能做到以不變應(yīng)萬變,笑傲考場(chǎng).

    3.不畏浮云遮望眼

    “中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系”明確指出:高考考查要求應(yīng)體現(xiàn)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.”概率問題聯(lián)系十分廣泛,來源于實(shí)際,又服務(wù)于實(shí)際生活,因此在高考試卷中常承擔(dān)著考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的角色.近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)題中,愈發(fā)明顯的突出理論聯(lián)系實(shí)際的導(dǎo)向.考生答題過程中,普遍感覺困難,原因在于讀不懂題目,不熟悉題目背景,缺乏語言轉(zhuǎn)換能力,不了解概率統(tǒng)計(jì)等基本概念的實(shí)際意義.

    因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生注重題意分析,提高數(shù)學(xué)閱讀分析能力,把好“讀、審、析”三關(guān).即“讀”:文字信息,圖表信息,初步了解考查的知識(shí)點(diǎn);“審”:結(jié)合考查目標(biāo),理解圖文的內(nèi)在含義;析:整合有效信息,理清數(shù)據(jù)關(guān)系.還有,教師要關(guān)注生活背景、社會(huì)現(xiàn)實(shí)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展等多個(gè)方面,從中提煉出具有社會(huì)價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景,注重培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力,使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流,再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決.還有,由題1的三種解法可以發(fā)現(xiàn)解法三簡(jiǎn)單明了,學(xué)生通俗易懂,可見構(gòu)建表格可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,便于發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律,列出基本事件的可能情況.“文不如列、列不如表”,表格既具有圖形語言的直觀性,又兼有符號(hào)語言的簡(jiǎn)潔性,更具有文字語言的通俗性.因此,借助構(gòu)建表格,剖析結(jié)構(gòu)特征,使問題迎刃而解.

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