主元法證明含參不等式

楊蒼洲 莊津津

(1.福建省泉州第五中學(xué) 362000;2.福建省南安五星中學(xué) 362000)

利用導(dǎo)數(shù)證明含參數(shù)不等式的試題中，經(jīng)常涉及到多個變量(如含有變量a,x兩個變量).受慣性思維的影響，解題者往往會選擇以x為主元進行求解.以x為主元進行求解的解題過程經(jīng)常是比較繁瑣的，此時，我們不仿改變一下角度，先選擇變量a為主元，把問題視為關(guān)于變量a的不等式，并加以解決，從而消去變量a；消去變量a后的等式只含有變量x，我們自然地選擇以變量x為主元，再構(gòu)造關(guān)于x的不等式進行證明.這樣的證明過程，會使得解題過程顯得格外簡捷自然.

例題1(武漢市2021屆高中畢業(yè)生三月質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-a-lnx.

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的最小值；

(2)證明：當(dāng)0

又f′(1)=0，

故當(dāng)0

當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

故f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0.

設(shè)s(x)=(1-x)ex(x>0)，s′(x)=-xex<0，所以s(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，s(x)

即h′(a)<0，h(a)在(0,1]單調(diào)遞減.

故h(a)≥h(1)=(x-1)ex-1-lnx.

由(1)知，(x-1)ex-1-lnx≥0.

故0

在上述問題(2)中，如果以x為主元求解較為繁瑣.此時重新確定a為主元，要證f(x)≥lna，只要證h(a)≥0(0

例題2 (2018年高考新課標(biāo)1卷文科)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點.求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解析(1)略.

當(dāng)0

當(dāng)x>1時，g′(x)>0.

所以x=1是g(x)的最小值點.

故當(dāng)x>0時，g(x)≥g(1)=0.

所以h(a)≥0.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a≥1時，f(x)+e≥0.

解析(1)略.

令g(x)=x2+x-1+ex+1，則g′(x)=2x+1+ex+1，g″(x)=2+ex+1>0，所以g′(x)在R上單調(diào)遞增，又g′(-1)=0，故當(dāng)x<-1時，g′(x)<0；當(dāng)x>-1時，g′(x)>0，所以x=-1是g(x)的最小值點.

故g(x)≥g(-1)=0.

所以當(dāng)a≥1，h(a)≥g(x)e-x≥0，即f(x)+e≥0.

在上述問題(2)中，要證f(x)+e≥0，只要證h(a)≥0，即證h(a)min≥0.利用h(a)在[1,+∞)的單調(diào)性，得到h(a)最小值h(1)，最后證h(1)≥0.將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，提高解題效率.

例題4 (2013年高考新課標(biāo)2卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時，證明f(x)>0.

解析(1)略.

(2)(定主元m)設(shè)h(m)=ex-ln(x+m)(x≥-m)，

所以h(m)≥h(2)，即h(m)≥ex-ln(x+2).

又g′(-1)<0，g′(0)>0.

故g′(x)=0在(-2,+∞)有唯一實根x0，且x0∈(-1,0).

當(dāng)x∈(-2,x0)時，g′(x)<0；當(dāng)x∈(x0,+∞)時，g′(x)>0.

所以x=x0是g(x)的最小值點.

所以h(m)≥g(x)>0.

綜上所述，當(dāng)m≤2時，f(x)>0.

在上述問題(2)中，對于已知參數(shù)m取值范圍，證明不等式成立，可以先把m視為主元，因此要證f(x)>0，只要證h(m)>0，即證h(m)min>0.利用h(m)在m∈(-2,+∞)的單調(diào)性得到最小值h(2)，最后證h(2)>0.整個解題過程自然流暢，思路清晰，十分簡捷.