基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題方法探討

段黽釗

(江蘇省南通市海門市包場高級中學(xué) 226100)

數(shù)學(xué)知識具有比較強的繁雜性與抽象性特性，是高中生學(xué)習(xí)的重點與難點所在，尤其是其中涉及到許多復(fù)雜性與綜合性比較強的類型題，常常使學(xué)生陷入解題困境.在正向解題思路下無法快速求解數(shù)學(xué)問題，如果可以靈活地應(yīng)用逆向思維，借助構(gòu)造法分析問題，那么就可以通過對題干中的隱性及顯性解題信息進(jìn)行挖掘來快速明確求解問題所必備的關(guān)鍵解題條件與信息，進(jìn)而可以簡化學(xué)生求解問題的過程，提高了他們求解數(shù)學(xué)問題的能力.

一、基于構(gòu)造方程法，求解數(shù)學(xué)問題

構(gòu)造方程法是求解高中數(shù)學(xué)題中用的比較多一種解題方法，主要是由于方程和函數(shù)之間具有緊密聯(lián)系，許多數(shù)學(xué)類型題常常都可以通過尋求方程和函數(shù)之間的相關(guān)性來進(jìn)行求解.構(gòu)造方程法主要是在對相關(guān)問題中的已知條件以及它們之間的相關(guān)性進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，通過利用這些已知關(guān)系與條件來相應(yīng)地構(gòu)造能夠求解問題的等量方程.

例1已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0，試求參數(shù)m，n，x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列.

解析在求解這道與數(shù)列相關(guān)的類型題中，如果采用傳統(tǒng)求解方法，那么整體的求解難度比較大，并且還會使學(xué)生進(jìn)行大量的計算，容易造成錯解情況.此時在求解這道問題中可以靈活地運用構(gòu)造法，以“參數(shù)m，n，x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列”這一待求解條件作為求解問題的已知條件，同(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0這一給定的關(guān)系式相結(jié)合，那么可以具象化和簡單化處理這道抽象數(shù)學(xué)問題，大大提高了問題求解效率.

解構(gòu)造如下方程：(m-n)t2-(m-n)t+(x-m)=0；

令F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m).

通過分析本道題，可以發(fā)現(xiàn)：F(1)=0，可知：(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的實數(shù)根保持相等，求解可得：t=1，所以可知相應(yīng)方程實數(shù)根均為1.然后可以結(jié)合韋達(dá)定理來得到如下方程：m+n=2x，所以可知參數(shù)m，n，x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列.

基于上述分析可知，在求解這道問題中，核心解題思想是借助構(gòu)造法的運用來簡化復(fù)雜的問題，提高問題求解的準(zhǔn)確率與效率.

試求：tan(α+β+γ)的值.

解析針對上述這道涉及到三角函數(shù)的問題，學(xué)生在求解的過程中如果直接采取分解待求函數(shù)tan(α+β+γ)的方式來求解問題，那么會大大增加學(xué)生求解問題的難度，并且非常容易出現(xiàn)錯解情況.此時如果靈活應(yīng)用構(gòu)造方程的方法來簡化問題，那么可以大大提高解題的便捷性與準(zhǔn)確度，并且可以避免因為計算量過大而造成錯解情況的出現(xiàn).

解假定tanα=x，tanβ=y，tanγ=z,那么基于給定的題干條件可知，

由此可見，靈活運用構(gòu)造方程思想等一些方法來簡化問題求解過程，這樣可以最大程度提高學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的質(zhì)量與效率.

二、基于構(gòu)造數(shù)列法，求解數(shù)學(xué)問題

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是高考數(shù)學(xué)試卷必考的題目.其中主要涵蓋了等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個方面的數(shù)列知識，但是卻依舊包含比較多的數(shù)學(xué)內(nèi)容.在求解數(shù)列問題時，如果可以靈活地運用構(gòu)造數(shù)列的方法，那么在求解部分?jǐn)?shù)學(xué)題目中常常會發(fā)揮非常神奇的效用，具體就是借助聯(lián)想或替換等方法來構(gòu)建等比數(shù)列或等差數(shù)列，之后結(jié)合數(shù)列方面的相關(guān)知識來深入分析題干當(dāng)中的相關(guān)信息、條件及要求，這樣可以極大地簡化問題，提高問題分析及解決的有效性.

解析基于題干信息，給出部分解題條件與信息來求解Sn是一道比較常見的類型題.在明確前幾項之和，且給定了{(lán)an}這一通項公式，所以可以借此來推算出相應(yīng)的Sn表達(dá)式.

解基于問題題干信息可得，在n≥2的時候，an=Sn-Sn+1，所以可知：

三、基于構(gòu)造函數(shù)法，求解數(shù)學(xué)問題

同構(gòu)造方法這一解題方法類似，構(gòu)造函數(shù)法也是求解數(shù)學(xué)問題中比較常見的一類解題方法，二者本質(zhì)在解題上存在相通性.在平時的解題教學(xué)中，可以結(jié)合具體的解題來指導(dǎo)學(xué)生同時訓(xùn)練自身靈活應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法求解數(shù)學(xué)問題的能力.通過有效應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法分析及求解數(shù)學(xué)問題，可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性，尤其是在代數(shù)問題、三角函數(shù)問題、幾何問題等相關(guān)數(shù)學(xué)類型題當(dāng)中.如果可以指導(dǎo)學(xué)生深入挖掘所給數(shù)學(xué)題目中的關(guān)鍵信息，找到其中有關(guān)的函數(shù)關(guān)系，那么可以將這些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的求解過程進(jìn)行簡化，配合函數(shù)問題求解方法及思想的靈活應(yīng)用可以大大提高學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的能力，同時借助構(gòu)造函數(shù)方法的靈活應(yīng)用可以進(jìn)一步提高整體的解題準(zhǔn)確率.

例4已知a,b,c,d均為實數(shù)，且滿足：針對任意一個實數(shù)x，均滿足下一不等式：acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x≤1.試求：a+b-c+d的最大值，以及此時a,b,c,d各自的值是多少？

解析在求解這一道三角函數(shù)相關(guān)的類型題中，由于其中涉及到a,b,c,d幾個未知參數(shù)，所以在對相應(yīng)不等式進(jìn)行化簡的時候會遇到一些難題，學(xué)生常常不知道該如何解題.此時如果可以靈活應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法，那么可以將復(fù)雜的三角函數(shù)問題進(jìn)行簡化，快速找到解題的突破口，避免大量的計算.

解令f(x)=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x

此時可以令t=cosx(-1≤t≤1)，那么可知:

f(x)-1=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x-1

通過進(jìn)一步簡化上式，可以得到：

f(x)-1=2(t-1)(t+1)(2t-1)[2dt-(1-d)]≤0

針對定義域為(-1≤t≤1)范圍內(nèi)的t，上式均成立，所以可知：d>0，且2d/2=(1-d)/1，求解得：d=1/2.這樣可以快速求解本道題的正確答案為：最大值為3，且對應(yīng)最大值時候a，b，c，d分別為1，1/2，-1和1/2.

綜上所述，在求解某些數(shù)學(xué)問題中，如果可以指導(dǎo)學(xué)生巧用構(gòu)造法，通過構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造方程，可以有效簡化求解的問題，大大提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確度與效率.但是在實際求解問題中應(yīng)用構(gòu)造法期間，必須要結(jié)合實際的類型題進(jìn)行合理分析，保證可以選擇適宜的構(gòu)造法來簡化問題，這樣才能不斷提升學(xué)生運用構(gòu)造法解題的能力.