泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

陸華勇

(江蘇省鹽城生物工程高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 224000)

對(duì)于高等數(shù)學(xué)的各種解題公式而言，泰勒公式屬于利用率較高的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公式.然而在解答數(shù)學(xué)題目的各個(gè)環(huán)節(jié)中，由于某些學(xué)生沒有正確選擇以及正確運(yùn)用數(shù)學(xué)解題公式，導(dǎo)致了解答錯(cuò)誤的產(chǎn)生.并且，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)泰勒公式習(xí)慣于進(jìn)行套用，那么將會(huì)忽視數(shù)學(xué)題目的特殊性，無法達(dá)到順利解答數(shù)學(xué)題目的效果.因此，學(xué)生只有正確利用泰勒公式來嘗試自主進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐操作，才能逐步鍛煉學(xué)生獨(dú)立完成高等數(shù)學(xué)解題操作的實(shí)踐能力.

一、泰勒公式的基本定理內(nèi)容

泰勒公式包含如下的基本定理內(nèi)容：首先設(shè)計(jì)x0的函數(shù)點(diǎn)，確定該點(diǎn)經(jīng)過f(x)的函數(shù)曲線，進(jìn)而引出n+1作為特定范圍的導(dǎo)函數(shù).在此基礎(chǔ)上，再次設(shè)計(jì)x的另一個(gè)函數(shù)點(diǎn)，并且確定x與x0之間的某個(gè)特殊函數(shù)區(qū)域，因此引出f(x)=1/2*(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)n*f(x0)(n)/n!的泰勒公式主體內(nèi)容.并且，麥克勞林公式屬于泰勒公式中的子公式，該公式的成立前提為x0值是零.

泰勒公式對(duì)于學(xué)生探索高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)具有重要作用，并且泰勒公式可以用來解答高等數(shù)學(xué)中很多類型的題目.學(xué)生在合理運(yùn)用泰勒公式的前提下，對(duì)于函數(shù)級(jí)別進(jìn)行降級(jí)處理，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)來代替題干中原有的函數(shù).通過上述的數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)換，即可保證解題操作環(huán)節(jié)達(dá)到難度明顯降低的效果，又能夠增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用泰勒公式來靈活解答高等數(shù)學(xué)題的綜合應(yīng)用能力.例如對(duì)于近似值在進(jìn)行求解的環(huán)節(jié)中，泰勒公式的正確運(yùn)用將會(huì)起到明顯簡(jiǎn)化解題流程的目標(biāo)，增強(qiáng)了學(xué)生獨(dú)立解答高等數(shù)學(xué)難題的信心.

在高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐領(lǐng)域中，麥克勞林公式與泰勒公式都可以用于求解函數(shù)極限，學(xué)生應(yīng)當(dāng)善于分辨母公式與子公式存在的差異，正確選擇解題公式的類型.為了保證高效解答高等數(shù)學(xué)題，那么在高等數(shù)學(xué)科目的日常解題訓(xùn)練中必須做到充分利用上述兩個(gè)高等數(shù)學(xué)公式，對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)以及其他的高等數(shù)學(xué)函數(shù)題目展開深入的題干剖析.并且，學(xué)生需要做到在教師的解題引導(dǎo)下，靈活結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)題的隱含內(nèi)容來實(shí)施正確的公式選擇.學(xué)生在學(xué)習(xí)泰勒公式時(shí)，需要做到整體把握泰勒公式的內(nèi)涵，將其運(yùn)用于解答多種不同類型的函數(shù)題目.

二、在高等數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用泰勒公式的具體實(shí)例

函數(shù)題目在高等數(shù)學(xué)題目中占有較高的比例，并且函數(shù)題目普遍具有繁瑣的解答步驟.通常情況下，學(xué)生對(duì)于函數(shù)題目的題干基本內(nèi)容必須進(jìn)行逐層的分析，按照由淺入深的順序來剖析函數(shù)題目，然后選擇適合解答函數(shù)題目的數(shù)學(xué)公式.在解答高等數(shù)學(xué)題中，正確運(yùn)用泰勒公式主要包含如下幾點(diǎn)：

1.解答高階導(dǎo)數(shù)的高等數(shù)學(xué)題目

與高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)函數(shù)題目呈現(xiàn)多種不同的題干表述形式，學(xué)生對(duì)于題干在進(jìn)行全面分析時(shí)，必須善于結(jié)合高階導(dǎo)數(shù)的基本數(shù)學(xué)定理加以詳細(xì)的題干分析.在解答高階導(dǎo)數(shù)類型的數(shù)學(xué)題目時(shí)，學(xué)生對(duì)于泰勒公式應(yīng)當(dāng)嘗試結(jié)合運(yùn)用，充分利用高階導(dǎo)數(shù)與泰勒公式之間的關(guān)聯(lián)性來解決高等數(shù)學(xué)難題.反之，學(xué)生如果局限于利用通項(xiàng)公式的解題視角，那么很難給出高階導(dǎo)數(shù)的正確解題思路.在某些情況下，學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)混淆非正極數(shù)與正極數(shù)的現(xiàn)象，造成同學(xué)們給出錯(cuò)誤的高等數(shù)學(xué)題答案.因此可以判斷出，高階導(dǎo)數(shù)類的高等數(shù)學(xué)題主要適用泰勒公式來進(jìn)行解答.

例如，給出如下的高等數(shù)學(xué)題：已知AB的兩個(gè)數(shù)值，并且與之有關(guān)的函數(shù)式為Ax+1/Bx+1=ex，x是趨向于零的.并且，題干給出的函數(shù)式具有三階無窮小的特征(相對(duì)于未知數(shù)x而言).在此基礎(chǔ)上，要求同學(xué)們利用所學(xué)的泰勒公式來判斷AB的數(shù)值.學(xué)生對(duì)于此類數(shù)學(xué)題目應(yīng)當(dāng)首先聯(lián)想泰勒公式相關(guān)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)定理，然后嘗試展開題干中的函數(shù)式，并且分析歸納AB的數(shù)值.

具體在利用泰勒公式展開函數(shù)式的過程中，應(yīng)當(dāng)給出如下的正確函數(shù)式：Bx+x+A+1/2!*x2+1/3!*x2=ex.并且經(jīng)過泰勒公式的變換處理后，對(duì)于變換后的函數(shù)式還可以寫成1-Bx+Bx2=ex的新函數(shù)式.據(jù)此可以歸納出，B-A+1的數(shù)值為零，而且AB-B*B+1/2的數(shù)值也是零.學(xué)生通過運(yùn)用以上的題目題干轉(zhuǎn)換方式，將會(huì)給出AB同為1/2的正確題目答案.

2.解答函數(shù)極限與函數(shù)極值類型的題目

函數(shù)極值與函數(shù)極限都屬于數(shù)學(xué)函數(shù)題目中的側(cè)重點(diǎn)，同時(shí)也具有很大的解答難度.學(xué)生在解答函數(shù)極限以及函數(shù)極值類型的數(shù)學(xué)題時(shí)，對(duì)于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)解題技巧必須做到靈活利用，據(jù)此判斷出函數(shù)極限類型題目的正確解答方法.泰勒公式可以用于輔助進(jìn)行函數(shù)極值類的題目解答，幫助學(xué)生準(zhǔn)確判斷某些函數(shù)的極值，避免出現(xiàn)判斷失誤的情況.學(xué)生在進(jìn)入題干分析的環(huán)節(jié)后，應(yīng)當(dāng)聯(lián)想所學(xué)的泰勒公式基礎(chǔ)原理，靈活解答各類的函數(shù)極限題目.

例如，給出函數(shù)極限類的如下數(shù)學(xué)題目：x的數(shù)值趨向于零，并且將其設(shè)定為函數(shù)極限的前提條件，進(jìn)而要求學(xué)生給出cosx-ex/x2的數(shù)值.經(jīng)過分析能夠判斷出，以上的函數(shù)式帶有明顯的函數(shù)極限性質(zhì)，而x趨向于零就是題目設(shè)定的lim極值條件.對(duì)于帶有極值特征的函數(shù)式在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合泰勒公式將其轉(zhuǎn)換成為1/4!*x2+1/2!*x2=ex的函數(shù)式，然后判斷出limx趨向于零的函數(shù)式數(shù)值為-1/10.

除此以外，對(duì)于無窮小的函數(shù)階數(shù)特征在進(jìn)行表達(dá)時(shí)，一般來講也可利用泰勒公式作為解題的輔助.某些函數(shù)階數(shù)在特定區(qū)域中可以達(dá)到無窮小的狀態(tài)，那么運(yùn)用泰勒公式能夠進(jìn)行正確的表述，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于函數(shù)階數(shù)性質(zhì)類題目的解題實(shí)踐水平.在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，學(xué)生有必要多接觸泰勒公式有關(guān)的數(shù)學(xué)函數(shù)題目，逐步加深學(xué)生利用泰勒公式來思考題目以及解答題目的印象.

3.解答函數(shù)斂散性類型的題目

廣義積分類型的高等數(shù)學(xué)題目呈現(xiàn)較大的解答難度，但是在引入泰勒公式的基礎(chǔ)上，函數(shù)的斂散性將會(huì)得到充分的呈現(xiàn)，有效保證了函數(shù)題目解答思路的正確性.在多數(shù)情況下，函數(shù)表達(dá)式在特定的組合方式基礎(chǔ)上，將會(huì)形成通項(xiàng)公式，并且代表特定的函數(shù)級(jí)數(shù).因此為了達(dá)到正確理解函數(shù)斂散性的目的，則不能缺少泰勒公式在實(shí)踐中的靈活運(yùn)用.函數(shù)斂散性的高等數(shù)學(xué)定理主要涉及到判斷廣義積分的性質(zhì)，在此過程中，泰勒公式具有不可忽視的解題利用價(jià)值.

此外，學(xué)生對(duì)于解答斂散性有關(guān)的高等數(shù)學(xué)題目還要充分利用函數(shù)二次開方的相關(guān)定理與公式.在二次開方的前提下，1/n的函數(shù)斂散性將會(huì)得以充分的呈現(xiàn)，進(jìn)而體現(xiàn)了函數(shù)斂散性運(yùn)用于解答廣義積分類型題目的重要作用.因此在確定函數(shù)斂散性的過程中，泰勒公式能夠達(dá)到較好的數(shù)學(xué)公式運(yùn)用效果.

三、泰勒公式運(yùn)用于高等數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐要點(diǎn)

1.緊密結(jié)合高等數(shù)學(xué)的解題過程以及公式運(yùn)用過程

高等數(shù)學(xué)包含比較繁瑣的審題環(huán)節(jié)與題目解答步驟，體現(xiàn)了獨(dú)立解題能力在解答題目中的作用.目前看來，很多學(xué)生雖然能夠準(zhǔn)確記憶泰勒公式，但是仍然沒能達(dá)到靈活選擇泰勒公式及其子公式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，那將會(huì)造成高等數(shù)學(xué)的審題過程與數(shù)學(xué)解題過程存在很大的操作難度，并且造成學(xué)生厭倦高等數(shù)學(xué)的情緒.因此，對(duì)于泰勒公式學(xué)生不僅需要能夠準(zhǔn)確表述其內(nèi)涵，更應(yīng)當(dāng)不斷嘗試靈活運(yùn)用泰勒公式，緊密結(jié)合解題過程以及公式選擇過程.

泰勒公式較多運(yùn)用在求解函數(shù)極限的實(shí)踐中，但是，一般來講求解函數(shù)極限有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，題干具有很大的理解難度.學(xué)生在審題時(shí)一旦陷入了判斷誤區(qū)中，那么無法達(dá)到精確掌握泰勒公式運(yùn)用要點(diǎn)的目的，還可能會(huì)混淆泰勒公式與相似的數(shù)學(xué)函數(shù)公式.為此，學(xué)生在初步學(xué)習(xí)泰勒公式時(shí)，就要做到緊密結(jié)合函數(shù)題目的詳細(xì)解題過程，保證泰勒公式被充分運(yùn)用于各個(gè)解題環(huán)節(jié)中.

2.透徹理解泰勒公式內(nèi)涵

泰勒公式并不局限于單獨(dú)的數(shù)學(xué)函數(shù)公式，而是包含了主體公式與子公式的兩個(gè)重要部分.因此在理解泰勒公式時(shí)，前提是學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)與冪級(jí)數(shù)知識(shí)等關(guān)鍵的高等數(shù)學(xué)科目基礎(chǔ)知識(shí).學(xué)生只有充分掌握以上的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)部分，才能對(duì)泰勒公式形成深刻的理解，進(jìn)而對(duì)于泰勒公式做到正確利用.對(duì)于高等數(shù)學(xué)科目的日常教學(xué)來講，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教師的課堂引導(dǎo)下，首先掌握泰勒公式及其基本原理，然后調(diào)用同學(xué)們目前所學(xué)的其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)定理內(nèi)容來理解泰勒公式，如此才能保證泰勒公式的學(xué)習(xí)達(dá)到最佳的效果.

在學(xué)習(xí)子公式的過程中，學(xué)生必須嚴(yán)格區(qū)分子公式以及母公式，明確限定運(yùn)用以上兩個(gè)數(shù)學(xué)公式的條件.這是由于，子公式與母公式的特征具有相似性，客觀上將會(huì)造成較大的公式混淆的可能性.為了嚴(yán)格區(qū)分兩個(gè)不同數(shù)學(xué)公式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)對(duì)于公式成立前提要素的理解.在設(shè)定已知的公式成立條件時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分結(jié)合不同數(shù)學(xué)公式之間的差異性，杜絕產(chǎn)生混淆相似數(shù)學(xué)公式的情況.

3.正確選擇泰勒公式及其子公式

泰勒公式的正確利用以及靈活利用構(gòu)成了解答數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵前提.因此，正確運(yùn)用泰勒公式可以促進(jìn)學(xué)生深入挖掘函數(shù)題目隱藏條件，對(duì)于審題難度也能全面的簡(jiǎn)化.在解題訓(xùn)練的環(huán)節(jié)中，學(xué)生不僅要做到正確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)公式，同時(shí)還要有效利用解答函數(shù)題的技巧，逐步鍛煉學(xué)生選擇公式與利用公式的實(shí)踐能力.

從表面上來看，泰勒公式的學(xué)習(xí)過程以及解題運(yùn)用過程都存在較大難度.但是學(xué)生一旦做到了透徹理解泰勒公式的基礎(chǔ)內(nèi)容，就可以不斷嘗試泰勒公式在日常解題中的有效運(yùn)用.為了達(dá)到數(shù)學(xué)解題質(zhì)量明顯提升的目標(biāo)，學(xué)生對(duì)于泰勒公式在進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)正確辨析泰勒公式與其他的數(shù)學(xué)解題公式，不能局限在泰勒公式的簡(jiǎn)單解題套用過程.實(shí)際上，學(xué)生如果要達(dá)到熟練選擇公式以及運(yùn)用公式的水準(zhǔn)，唯有經(jīng)過反復(fù)的函數(shù)題目解題訓(xùn)練才能真正實(shí)現(xiàn).

在高等數(shù)學(xué)題目的日常解題訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)教師有必要引導(dǎo)學(xué)生全面剖析數(shù)學(xué)題目的題干，對(duì)于隱藏的數(shù)學(xué)題干條件做到充分挖掘.學(xué)生若能做到深入挖掘隱藏的數(shù)學(xué)題干表述內(nèi)容，則可以做到充分簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)解題的思路，避免高等數(shù)學(xué)解題誤區(qū)的產(chǎn)生.學(xué)生應(yīng)當(dāng)正確運(yùn)用泰勒公式于解答數(shù)學(xué)題目中，增強(qiáng)靈活運(yùn)用泰勒公式來進(jìn)行解題操作的能力.