上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)

樊玉環(huán),袁海燕,魏 喆

(黑龍江工程學(xué)院 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150000)

目前研究保持問(wèn)題的基本思想是削弱已有結(jié)果的條件，例如文獻(xiàn)[1]～[7]；或是改變已有結(jié)果的映射形式或映射所作用的集合，例如文獻(xiàn)[8];或是尋求新的不變量，例如文獻(xiàn)[9]～[12]。關(guān)于函數(shù)保持的結(jié)果目前不是很多，本文是在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，改變已有結(jié)果所作用的集合，刻畫(huà)了特殊矩陣空間，即上三角矩陣空間保持逆矩陣函數(shù)的形式。

1 符號(hào)及基本概念

設(shè)F是特征不為2的域,F*表示F/{0},Tn(F)為F上所有n階上三角矩陣的全體,E為單位矩陣，A=(aij)，Af=(f(aij))。

定義1.1[15]若f:F→F滿足f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)。則稱f:F→F是同態(tài)。

定義1.2[16]設(shè)n階矩陣A=(aij)n×n，若存在n階矩陣B，滿足AB=BA=E，稱B為A的逆矩陣。

定義1.3[8]若f:F→F滿足AB=E，?A、B∈Tn(F),則AfBf=E。則稱函數(shù)f:F→F是n階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)。

2 基本結(jié)論

定理2.1f是n(n≥4)階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)的充要條件是f=δ，δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

證明首先證明充分性

設(shè)A,B∈Tn(F)，記A=(aij),B=(bij)，當(dāng)j

由Af的定義，可知AfBf的(i,j)元為f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)。

若f=δ，由δ是域F上滿足δ(1)=1單的自同態(tài),知

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)

=δ(ai1)δ(b1j)+δ(ai2)δ(b2j)+…+δ(ain)δ(bnj)

=δ(ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)

下面再證明必要性

由Af的定義，可知

從而

f2(1)+f(a)f(0)+(n-2)f2(0)=1

(1)

f2(1)+(n-1)f2(0)=1

(2)

f(1)f(a)+f(1)f(-a)+(n-2)f2(0)=0

(3)

2f(1)f(0)+(n-2)f2(0)=0

(4)

由(1)、(2)可知

f(a)f(0)=f2(0)

(5)

由(3)、(4)可知

f(1)f(a)+f(1)f(-a)=2f(1)f(0)

(6)

f(0)=0

(7)

將(7)式代入(3)式，有

f(-a)=-f(a)

(8)

由Af的定義及(7)式，可知

可得

(9)

由Af的定義、(7)式及(8)式，可知

可得

f2(1)-f(1)f(a+1)+f(a)f(1)=0

(10)

利用(9)式可得f(1)≠0，從而

f(1)+f(a)=f(a+1)

(11)

由Af的定義及(8)式，可知

可得

f(a)f(b)=f(ab)

(12)

令δ=f，下面證明δ是域F上的單的自同態(tài)。

應(yīng)用(12)式得δ(ab)=f(ab)=f(a)f(b)=δ(a)δ(b)

即得

δ(ab)=δ(a)δ(b)

(13)

應(yīng)用(11)、(12)式及(13)式得

即得

δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

(14)

由(9)式可得

f(a)≠0,?a∈F*

(15)

若δ(a)=δ(b), 則f(a)=f(b)，f(a)-f(b)=0， 應(yīng)用(8)式f(a)+f(-b)=0，即δ(a)+δ(-b)=0， 應(yīng)用(14)式δ(a-b)=0， 即f(a-b)=0， 應(yīng)用(15)式得a=b。

從而δ是域F上的單的自同態(tài)。

在(12)式中，令a=b=1， 可得f2(1)=f(1)，再由(2)式及(7)式可得f(1)=1， 即δ(1)=1，從而f是n階上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)一定能得到f=δ，δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

定理2.2f是T2(F)保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f是非零乘法奇函數(shù)。

證明首先證明充分性

由于f是非零的乘法奇函數(shù)，故

f(xy)=f(x)f(y)

(16)

f(-x)=-f(x)

(17)

在(16)中，令y=1，則f(x)=f(x)f(1)，由于f是的非零映射， 故f(x)≠0， 從而

f(1)=1

(18)

下面證明必要性

通過(guò)矩陣的運(yùn)算及f的定義可得

f(0)=0

(19)

(20)

(21)

由(20)、(21)式可得

f(-ac)=-f(a)f(c)

(22)

在(21)式中令a=c=1， 可得

f(-b)=-f(b)

(23)

利用(22)、(23)式及換元可得

f(xy)=f(x)f(y)

(24)

由(20)、(23)、(24)式可得f是非零乘法奇函數(shù)。

定理2.3f是T3(F)保持逆矩陣的函數(shù)的充要條件是f=f-1(1)δ， 其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。

證明首先證明充分性

∵δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)

=0

下面證明必要性。

再由Af及f的定義可知

通過(guò)矩陣的運(yùn)算及f的定義可得

f(0)=0

(25)

(26)

(27)

(28)

利用(26)、(27)式及換元可以得到

f(1)f(xy)=f(x)f(y)

(29)

利用(26)、(28)、(29)式及換元可以得到

f(a+b)=f(a)+f(b)

(30)

利用類(lèi)似定理2.1的證明可得f=f-1(1)δ， 其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單的自同態(tài)。