教學(xué)轉(zhuǎn)型背景下一元二次不等式及其解法探析

嚴(yán)曉春

【摘要】隨著新課改的逐步推進(jìn)，在教學(xué)轉(zhuǎn)型背景下，教師 “怎么教”和學(xué)生“怎么學(xué)”的問題成為我國教育改革所提出的重要問題之一.筆者結(jié)合自己長期的教學(xué)實(shí)踐，以一元二次不等式及其解法的教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的提升.

【關(guān)鍵詞】一元二次不等式;教學(xué)引導(dǎo);解法教學(xué);高中數(shù)學(xué)

一、前言

“不憤不啟”，是指在教育學(xué)生時(shí)，不到學(xué)生苦思冥想也想不清楚時(shí)，教師不要去啟發(fā)他;“不悱不發(fā)”，是指不到學(xué)生想說卻難以言表時(shí)，教師不要去開導(dǎo)他.這是我國古代最偉大的教育家孔子總結(jié)的、發(fā)人深省的、成功的教育經(jīng)驗(yàn)，在他的教學(xué)過程中，一方面，學(xué)生是自主地、探究地學(xué)習(xí)，是在學(xué)習(xí)過程中遇到疑惑和困難得到老師點(diǎn)撥的學(xué)習(xí)，自始至終是教學(xué)的主體;另一方面，教師是循循善誘、啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，是不斷地引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)知識，不斷地挖掘?qū)W生的分析和探究潛能，自始至終是教學(xué)的主導(dǎo).教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變在學(xué)生獲得新知識的過程中起著極其重要的作用.筆者結(jié)合自己長期的教學(xué)實(shí)踐淺析一下一元二次不等式及其解法的教學(xué).

二、預(yù)備知識

1.一元二次方程：形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）叫一元二次方程.常用因式分解法和公式法求方程的根.沒有實(shí)根的情況只有Δ<0.這里的根對應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，也對應(yīng)一元二次不等式解集的“邊界”.

2.二次函數(shù)：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)，圖像是對稱軸為直線x=-b2a，頂點(diǎn)為-b2a，4ac-b24a的一條拋物線，其開口方向：a>0時(shí)向上，a<0時(shí)向下.畫圖像時(shí)應(yīng)關(guān)注圖像的對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)，這就是常說的“一對、二交、三頂”六字訣.由于這個(gè)圖像是用來寫對應(yīng)不等式的解集的，因此畫簡圖時(shí)，只需體現(xiàn)拋物線的開口方向、對應(yīng)方程的根的情況及兩根的大小，無須畫y軸及其他.

三、一元二次不等式及其解法教學(xué)

1.探究一元二次不等式的解法

首先，一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a≠0）（Ⅰ）是對應(yīng)方程ax2+bx+c=0（Ⅱ）變化而來.試問：

（1）滿足不等式的未知數(shù)的值叫不等式的解，那么，其解的個(gè)數(shù)是變多了，還是少了？

（2）如果把不等式的解代入不等式的左邊ax2+bx+c，其結(jié)果為m，那么m一定是什么數(shù)？——非負(fù)數(shù)，即m=ax2+bx+c（m≥0），對此，你們想到了什么？

引導(dǎo)學(xué)生改寫字母m為y，就是函數(shù)y=ax2+bx+c（y≥0）（Ⅲ）.學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)：不等式Ⅰ的解集恰好是函數(shù)Ⅲ的定義域，既而把不等式的問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的問題[1].

這是二次函數(shù)嗎？當(dāng)然不是，它是在條件y≥0下的“二次函數(shù)”.如何找到二次函數(shù)中的y≥0呢？此時(shí)，可以呈現(xiàn)一個(gè)已知二次函數(shù)，例如y=x2-5x，其簡圖如圖1所示.

（3）引導(dǎo)學(xué)生探究三個(gè)“二次”的關(guān)系.

①你們找到了y≥0時(shí)圖像的分布了嗎？對應(yīng)的x的取值呢？

在坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生找到圖像上縱坐標(biāo)為正數(shù)或零即非負(fù)數(shù)的點(diǎn)，即x軸及其上方的圖像，是向上向左、向上向右無限延伸的兩段曲線，與之對應(yīng)的x的集合為{x|x≤0或x≥5}，即不等式的解集是（-∞，0]∪[5，+∞）.

②觀察圖像，怎樣寫出x2-5x<0的解集呢？

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，只需找到對應(yīng)函數(shù)圖像分布在x軸下方的部分，即含有頂點(diǎn)的一段曲線，與之對應(yīng)的x的集合是零點(diǎn)之間的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，即所求不等式的解集為（0，5）.

教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，由“圖像”寫不等式的解集，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：方程的根是對應(yīng)不等式解集的“邊界”.如果不等式中的不等號含有等號，那么不等式的解集含有“邊界”，否則，不含“邊界”.到此，讓學(xué)生分組討論并總結(jié)一元二次不等式的解法：

1）求對應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根;

2）畫對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，觀察其開口方向和零點(diǎn)（方程的根）;

3）寫出對應(yīng)不等式的解集（關(guān)注不等號的方向及是否含等號）.

教師再次引導(dǎo)學(xué)生提煉解一元二次不等式的步驟的精華——“定邊界、畫草圖、寫解集”九字訣，并且及時(shí)應(yīng)用于解題中.

2.舉例分析

當(dāng)然，上面總結(jié)的步驟也可以解含參數(shù)的形如ax2+（a+1）x+1≥0的不等式，這可以訓(xùn)練學(xué)生的分類思想和邏輯推理能力.另外，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生能走出去，還要“摸”得回來，即培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維能力[2].比如下面的例題.

例1 已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為（3，5），解不等式cx2+bx+a>0.

簡析 提問學(xué)生：形如“關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0”一定是一元二次不等式嗎？為什么a≠0？為什么a<0？

由“九字訣”及“解集”知：

①3和5是方程ax2+bx+c=0的根，從而有

3+5=-ba，3×5=ca，即b=-8a，c=15a.

②把b=-8a和c=15a代入所求不等式，同時(shí)注意條件a<0，便可順利求解不等式.

例2 解不等式x-2x+3>0.

簡析 ①先指出：能直接去分母嗎？為什么？然后讓學(xué)生分組討論，再總結(jié)回答：若能確定分母是正數(shù)或負(fù)數(shù)，可以直接去分母，否則不可以.

②指出這是標(biāo)準(zhǔn)的分式不等式（不等號的左邊為一個(gè)分式，右邊為0），學(xué)生可能會根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)的除法運(yùn)算符號法則解兩個(gè)一次不等式組，再求并集.除此之外，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：還有別的方法嗎？教師可以引導(dǎo)學(xué)生將除法轉(zhuǎn)化為乘法（根據(jù)幾個(gè)非零數(shù)的商的符號與它們積的符號相同），于是，原不等式可化為（x-2）（x+3）>0，再求解即可.教師還可以直接把x-2x+3>0 改成x-2x+3≥0或x-2x+3≥1讓學(xué)生求解.