將數(shù)學(xué)史融入“平面圖形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

盧揚(yáng)慧

[摘? 要] 數(shù)學(xué)史作為一種能夠促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提高課堂教學(xué)效果和學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。要求教師在教學(xué)過程中，能夠有意識(shí)地整理數(shù)學(xué)史知識(shí)，認(rèn)真分析教材，這樣才能夠?qū)?shù)學(xué)史更好地融入課堂教學(xué)中，才能夠利用數(shù)學(xué)史提高課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;平面圖形面積;教學(xué)設(shè)計(jì)

平面圖形面積的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，并且在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要的地位。平面圖形面積的教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生第一次接觸空間幾何抽象知識(shí)的計(jì)算問題，是今后學(xué)生學(xué)習(xí)立體圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。在平面圖形面積的教學(xué)中，存在著諸多問題，很多教師將計(jì)算和解題技巧作為該部分知識(shí)教學(xué)的重點(diǎn)開展，忽略了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生只能夠機(jī)械地記憶數(shù)學(xué)計(jì)算公式，自身的數(shù)學(xué)能力得不到有效的提高。隨著教育改革的實(shí)施，數(shù)學(xué)文化的地位逐漸凸顯出來，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，成了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的重要途徑。將數(shù)學(xué)史融入平面圖形面積的教學(xué)中，能夠打破傳統(tǒng)課堂中教師“重計(jì)算輕文化”“重技巧輕思想”的教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)概述

數(shù)學(xué)史作為一種能夠促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，如何將其更好地融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一線數(shù)學(xué)教師研究的重要課題。就目前現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，其中運(yùn)用數(shù)學(xué)史最常見的方式是引入歷史人物或歷史著作來補(bǔ)充教材知識(shí)。有人對(duì)目前國(guó)內(nèi)將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的方式做了總結(jié)，多數(shù)是直接引用數(shù)學(xué)史來輔助教學(xué)，這類數(shù)學(xué)史存在與否不會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生任何影響;還有部分屬于間接引用，是根據(jù)原有歷史內(nèi)容進(jìn)行改編，與現(xiàn)有的教學(xué)內(nèi)容相融合，讓學(xué)生沿著古人學(xué)習(xí)的路線進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、與平面圖形面積相關(guān)的數(shù)學(xué)史探究

與平面圖形面積相關(guān)的數(shù)學(xué)史材料主要包括古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國(guó)四部分的歷史。古埃及是幾何的發(fā)源地，當(dāng)?shù)氐木用窈茉缇烷_始對(duì)土地進(jìn)行測(cè)量，開始對(duì)平面圖形的面積進(jìn)行計(jì)算。在公元前1650年左右的著作《萊因德紙草書》中就對(duì)矩形、三角形和梯形進(jìn)行了面積計(jì)算，其中古埃及人通過兩邊相乘來計(jì)算矩形的面積;由于缺乏對(duì)“高”的認(rèn)識(shí)，古埃及人通過梯形和三角形的腰替代它們的高來計(jì)算等腰三角形和等腰梯形的面積。古巴比倫具備了對(duì)三角形、梯形等平面圖形面積的計(jì)算能力，同時(shí)具備了逆運(yùn)算的能力，能夠通過圖形中的某些參數(shù)來計(jì)算另一參數(shù)。需要說明的是，古埃及和古巴比倫在計(jì)算四邊形的面積時(shí)，都將兩組對(duì)邊的邊長(zhǎng)的算式平均之積作為圖形的面積公式。古印度幾何學(xué)對(duì)平面圖形的面積計(jì)算開始出現(xiàn)了“割補(bǔ)法”，他們將等腰梯形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形再來計(jì)算其面積。我國(guó)古代《九章算術(shù)注》中對(duì)長(zhǎng)方形的面積公式做了論述。同時(shí)，還通過“以盈補(bǔ)虛”的方式將三角形、直角梯形和等腰梯形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形來進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。從整體上來看，影響東西方數(shù)學(xué)發(fā)展最大的就是古希臘的《幾何原本》和我國(guó)的《九章算術(shù)注》，在這些著作中，探究平面圖形的面積公式時(shí)都涉及了割補(bǔ)法。在平面圖形面積計(jì)算部分的課堂教學(xué)中，教師就可以將割補(bǔ)法的理念引入其中，讓學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家共同探究平面圖形的面積，提升學(xué)生的情感體驗(yàn)。

三、將數(shù)學(xué)史融入“平面圖形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. “平行四邊形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

在平行四邊形面積的課堂教學(xué)中，首先可以引入古埃及尼羅河泛濫，人們需要重新測(cè)量更低的面積，激發(fā)學(xué)生對(duì)平行四邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)興趣;然后通過引導(dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方形和正方形這類特殊圖形的面積公式來思考平行四邊形面積公式的計(jì)算方法;之后學(xué)生通過合作探究的形式，利用方格紙自己動(dòng)手操作，探究平行四邊形面積的計(jì)算公式;最后引出歐幾里得《幾何原本》中的相關(guān)知識(shí)來總結(jié)課堂教學(xué)。具體操作如下：

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)：教師提出問題：“大家知道古代的數(shù)學(xué)是什么樣子嗎？下面我們就一起去看一下?！辈シ拍崃_河泛濫的視頻。

接著提出問題：“尼羅河泛濫以后，原來土地的邊界都不清晰了，又出現(xiàn)了新的土地（有平行四邊形、三角形、梯形等），埃及的法老需要重新對(duì)土地進(jìn)行丈量分配。下面請(qǐng)大家思考一下，如何才能夠?qū)崿F(xiàn)公平的土地分配？這就需要計(jì)算出這些土地的面積，然后再進(jìn)行重新分配?！?/p>

教師將圖形提取出來，并標(biāo)上數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形計(jì)算。

通過圖形展示，引導(dǎo)學(xué)生先計(jì)算學(xué)過的長(zhǎng)方形土地的面積，同時(shí)引出本節(jié)課教學(xué)的內(nèi)容：學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計(jì)算。

探究新知環(huán)節(jié)：教師出示平行四邊形圖形，讓學(xué)生嘗試計(jì)算平行四邊形的面積，學(xué)生可以根據(jù)自己的方法來計(jì)算，并保留計(jì)算結(jié)果;之后將出示的平行四邊形成比例縮放到方格紙上，通過數(shù)方格的方式來計(jì)算平行四邊形的面積，然后再與計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比;最后教師通過電腦軟件展示平行四邊形割補(bǔ)成矩形的過程，使平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，這樣就可以將新學(xué)的知識(shí)與原有的知識(shí)聯(lián)系到一起，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就感。

教師選擇一些不同形狀的平行四邊形，讓學(xué)生動(dòng)手試一試能否將它們轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。通過學(xué)生的操作引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題：

（1）通過圖形轉(zhuǎn)化，平行四邊形和長(zhǎng)方形的哪些地方發(fā)生了變化，哪些地方?jīng)]有變化？

（2）新形成的長(zhǎng)方形與原有的平行四邊形的底和高有什么聯(lián)系？

（3）能不能根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式來推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式？

教師圍繞這三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生開展探究學(xué)習(xí)。

拓展提高環(huán)節(jié)：讓學(xué)生嘗試在方格紙上快速畫出幾個(gè)面積相等的平行四邊形，并說明能夠快速畫出來的理由，引出“同底等高、等底等高的平行四邊形的面積相等”，這就是歐幾里得《幾何原本》中關(guān)于平行四邊形面積的論述。

2. 梯形面積教學(xué)設(shè)計(jì)研究

在梯形面積的教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形面積和平行四邊形面積的方式引出梯形面積的學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)梯形的面積進(jìn)行探究，并引入“出入相補(bǔ)”的原理來分析，再向?qū)W生介紹劉徽推導(dǎo)梯形面積的過程，讓學(xué)生的思維得以進(jìn)一步升華，最后利用所學(xué)的知識(shí)解決尼羅河土地分配問題。

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)：教師提出問題：“大家回顧三角形面積和平行四邊形面積的推導(dǎo)公式，并回顧它們的推導(dǎo)過程。通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們幫助埃及法老解決了平行四邊形土地和三角形土地的丈量問題，那么還剩下這些梯形的土地需要我們解決，接下來就一起探究梯形的面積公式吧。同學(xué)們可以根據(jù)自己的喜好，選擇圖3中任一梯形進(jìn)行研究，同時(shí)，完成下方的任務(wù)要求?！?/p>

大家合作探究以后，教師向?qū)W生介紹劉徽的“出入相補(bǔ)法”，讓學(xué)生感覺到自己的數(shù)學(xué)探究過程與我國(guó)著名數(shù)學(xué)家的思想不謀而合。在幫助學(xué)生回顧梯形面積公式推導(dǎo)過程的同時(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。最后，教師總結(jié)梯形面積公式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)梯形面積公式的推導(dǎo)過程，加深對(duì)梯形面積公式的理解。

四、小結(jié)

數(shù)學(xué)史的應(yīng)用與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的形式較多，但多數(shù)都是生硬的引入。文中以平面圖形面積的教學(xué)為例，從整個(gè)單元的角度設(shè)計(jì)尼羅河泛濫引發(fā)的土地重新分配問題，其中穿插古代數(shù)學(xué)知識(shí)，真正將數(shù)學(xué)史融入了課堂教學(xué)，發(fā)揮了數(shù)學(xué)史的作用。這就要求教師在教學(xué)過程中，能夠有意識(shí)地整理數(shù)學(xué)史知識(shí)，認(rèn)真分析教材，這樣才能夠?qū)?shù)學(xué)史更好地融入課堂教學(xué)，才能夠利用數(shù)學(xué)史提高課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。