以畫促思，以圖求解
——低年段“解決問題”教學(xué)中幾何直觀策略的探索

江蘇省南京市覓秀街小學(xué) 馬蘇婉

所謂幾何直觀，主要是指借助圖形分析來解決問題。幾何即是圖形，包含點(diǎn)子圖、線段圖等。圖形是數(shù)學(xué)直觀化的語言，利用圖形發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)系，從而幫助我們化難為易，找到解決問題的方法；直觀是對(duì)圖形表象特征的感知，通過圖形洞察事物的本質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。借助幾何直觀解決數(shù)學(xué)問題是小學(xué)低年段學(xué)生常用的一種手段，在數(shù)學(xué)解題過程中有著重要的地位和意義。

從小學(xué)一年級(jí)開始，解決問題就在數(shù)學(xué)教材中占據(jù)著重要的地位，它既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)?，F(xiàn)行的蘇教版一、二年級(jí)教材解決問題的題目類型雖經(jīng)常輔以形象的實(shí)物圖或情境圖表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，但是也穿插著一些抽象的文字描述，與小學(xué)生認(rèn)知水平有差距，從而成為低年段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)道路上的“攔路虎”。教師應(yīng)巧妙借助幾何直觀訓(xùn)練學(xué)生動(dòng)手畫圖，層層深入，分階段實(shí)施畫圖訓(xùn)練，加強(qiáng)畫圖的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生的幾何直觀能力。

一、初試幾何直觀，畫簡圖知概念

低年段學(xué)生最先接觸“數(shù)”的概念，教師要以此為切入點(diǎn)，逐步滲透，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)物圖符號(hào)化。學(xué)生經(jīng)歷將情境實(shí)物圖抽象成直觀圖，再抽象到數(shù)的過程，實(shí)現(xiàn)“實(shí)物圖→幾何直觀圖→數(shù)”的轉(zhuǎn)化，為學(xué)生今后理解、分析題目中的數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)。

【案例1】蘇教版一年級(jí)上冊(cè)第27 頁的例題1“1～5的認(rèn)識(shí)”（如圖1），教師出示情境圖，讓學(xué)生先數(shù)一數(shù)，然后用點(diǎn)子圖來畫一畫，最后抽象出數(shù)。

圖1

在整個(gè)教學(xué)過程中，通過畫一畫建立數(shù)感、符號(hào)感是重要目標(biāo)之一。因?yàn)樵诘谝徽n時(shí)“數(shù)一數(shù)”中學(xué)生已初步認(rèn)識(shí)點(diǎn)子圖，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)子圖來表示這些物體，進(jìn)一步體會(huì)復(fù)雜問題簡單化的數(shù)學(xué)思想。

縱觀整個(gè)“數(shù)”概念教學(xué)過程，教師引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀來表示1～5 這些數(shù)字，用圖畫式來溝通實(shí)物圖與數(shù)兩者之間的聯(lián)系，完善“數(shù)”概念的教學(xué)。久而久之，學(xué)生也就慢慢感受到幾何直觀的好處，培養(yǎng)畫圖意識(shí)。

二、細(xì)品幾何直觀，畫算式明意義

低年段學(xué)生對(duì)加減乘除運(yùn)算意義的理解程度直接關(guān)系到他們?nèi)蘸罄脭?shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。許多學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常是看到數(shù)字直接運(yùn)算，而忽略了分析題意這一環(huán)節(jié)。究其原因，主要有兩點(diǎn)：一是低年段學(xué)生認(rèn)知能力較弱，沒有從根源上理解算式的含義；二是教師沒有有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生畫幾何直觀圖理解分析題意，學(xué)生未形成畫圖的好習(xí)慣。

1.“式”由圖“生”，探究本源

在之前由實(shí)物圖抽象出點(diǎn)子圖的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試將圖與圖之間進(jìn)行整合，理清其中關(guān)系，再用算式表示，完成“點(diǎn)子圖→關(guān)系圖→算式”的有效推進(jìn)，幫助學(xué)生深刻理解算式的由來，明白圖形與算式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【案例2】蘇教版一年級(jí)上冊(cè)第46 頁例題2“5 以內(nèi)的減法”（如圖2）。

圖2

這類問題雖然較簡單，但在實(shí)際教學(xué)中有學(xué)生列式卻是這樣的：5-3=2。怎樣讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤呢？在學(xué)生列出此算式后，教師可以提問：“你能試著用圖把題目中的意思畫出來嗎？”此時(shí)，學(xué)生根據(jù)情境圖畫出題意（如圖3）。

圖3

從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能用簡單的直觀圖畫出題目的意思，并用畫線的方式表示走掉的人數(shù)，沒畫線的則表示剩下的人數(shù)，理清單一圖形之間的關(guān)系。教師要在此基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)減法模型（如圖4），加深對(duì)其意義的理解。

圖4

通過這一系列的操作，學(xué)生很清楚地明白為什么應(yīng)該列成5-2=3 這一算式，就不會(huì)出現(xiàn)把問題的答案寫在算式中這樣的情況。

2.“圖”現(xiàn)式“清”，理解含義

畫圖可以幫助學(xué)生區(qū)分差異、理解意義，并根據(jù)四則運(yùn)算的具體含義選擇正確的運(yùn)算方法，

例如，在教學(xué)蘇教版二年級(jí)下冊(cè)第21 頁的例2 后，學(xué)生對(duì)于乘法的含義有了一定的認(rèn)識(shí)，但是對(duì)于畫圖思想印象不深，還需設(shè)計(jì)題目充實(shí)，通過圖真正理解算式含義。設(shè)計(jì)出示2×5，讓學(xué)生獨(dú)立畫圖來表示此算式。有的學(xué)生畫圓形來表示，有的學(xué)生畫正方形來表示，有的學(xué)生畫三角形來表示；有的人畫3 個(gè)6，有的人畫6 個(gè)3。此時(shí)讓學(xué)生看圖說一說“算式中的3 表示什么？6 又表示什么？你能編一道題用此算式解答嗎？”，學(xué)生利用畫圖，把文字符號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，由抽象回到直觀，深刻理解乘法的意義，幫助學(xué)生進(jìn)一步感受到畫圖的好處。

當(dāng)學(xué)生經(jīng)常自主探究算式的由來，經(jīng)常將文字轉(zhuǎn)換為圖形來理解算式含義，幾何直觀圖在學(xué)生面前出現(xiàn)的次數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)，一旦遇到稍微有難度的問題，學(xué)生就會(huì)第一時(shí)間想到畫幾何直觀圖，以幫助其理解意思，解決問題。

三、知味幾何直觀，畫數(shù)量顯關(guān)系

解決問題教學(xué)最能體現(xiàn)學(xué)生的幾何直觀訓(xùn)練成效，其考查的是學(xué)生理清題目中數(shù)量關(guān)系的能力，借助幾何直觀策略展示所要表達(dá)的信息，化難為易，進(jìn)而分析數(shù)量關(guān)系，探索解決問題的方法。

1.善用線段圖，簡化數(shù)量關(guān)系

隨著年級(jí)的升高，知識(shí)量不斷增多，問題中的數(shù)量越來越多，數(shù)量關(guān)系也越來越復(fù)雜，不可能用符號(hào)一一表示出來，這時(shí)，可以借助線段圖來分析數(shù)量關(guān)系。但是線段圖在中高年級(jí)才會(huì)學(xué)習(xí)，低年級(jí)教學(xué)并未涉及線段圖。那么如何在低年級(jí)教學(xué)中逐步滲透畫線段圖的意識(shí)與方法呢？

例如，在蘇教版二年級(jí)上冊(cè)教材中，教學(xué)“把兩個(gè)大小不同的數(shù)量擺成同樣多的問題”，習(xí)題中已出現(xiàn)以長方形的長短來表示數(shù)據(jù)的大小。因此，在教學(xué)例題時(shí)，很有必要將例題延伸，以引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，從而逐步引出線段圖的雛形。

【案例3】 蘇教版二年級(jí)上冊(cè)第6 頁例題3（如圖5）。

圖5

（1）畫圖：小軍有8 個(gè)彩珠，用8 個(gè)紅色圓片來表示；芳芳有12 個(gè)彩珠，用12 個(gè)藍(lán)色圓片來表示。

（2）分析：讓學(xué)生說一說，芳芳比小軍穿的是哪一部分？

（3）變形：若用這個(gè)長方形表示小軍穿的個(gè)數(shù)（長方形遮住圓片），那么這個(gè)長方形表示多少？（8 個(gè)）同樣，用一個(gè)長方形遮住芳芳穿的個(gè)數(shù)，那么這個(gè)長方形又表示多少呢？（12 個(gè)）。你能指出哪一部分是芳芳比小軍多的嗎？形成如6 圖所示：

圖6

（4）理解：兩個(gè)長方形各表示什么？各表示多少？（5）練習(xí)：出示習(xí)題——蘇教版二年級(jí)上冊(cè)教材第7 頁看圖填空（如圖7）。

圖7

（6）對(duì)比：你覺得哪種畫圖方式比較好？

從點(diǎn)子圖到色條圖的過程，是學(xué)生認(rèn)識(shí)線段圖的一大跨越。學(xué)生通過畫線段圖的雛形將抽象的問題直觀化，化繁為簡，從而突破思維的瓶頸，提高解題的挑戰(zhàn)性。

線段圖雛形建立后，到二年級(jí)后續(xù)學(xué)習(xí)線段就可以直接將色條圖簡化成用線段表示，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的線段圖體系，為中高年級(jí)學(xué)習(xí)線段圖打下基礎(chǔ)。

2.借用示意圖，分析數(shù)量關(guān)系

當(dāng)學(xué)生單從讀題不能清晰地分析出題目中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀還原出題目的原始脈絡(luò)，通過觀察、思考來解決問題。

例如，二年級(jí)下冊(cè)有一道習(xí)題：水果店有一批桃子，第一天賣出一半，第二天賣出剩下的一半，這時(shí)水果店里還剩下5 個(gè)桃子。水果店原來共有多少個(gè)桃子？

學(xué)生讀題結(jié)束，有的抓耳撓腮，有的一臉茫然。這時(shí)教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生：“你能把這道題的意思用圖畫出來嗎？也許你會(huì)打開新的思路?！庇谑菍W(xué)生開始在紙上涂一涂、畫一畫，只聽見“哦”“原來這樣”“我會(huì)了”的聲音此起彼伏。

通過畫圖（如圖8），學(xué)生很快就找到了題目中的數(shù)量關(guān)系，并列出算式，甚至有的學(xué)生還能夠借助所畫的圖，生動(dòng)有趣地講解題目的解決方法，自由地闡述自己的思維過程和結(jié)果。同樣一道題，學(xué)生運(yùn)用了不同的幾何直觀圖，展現(xiàn)了不同的思維品質(zhì)。學(xué)生已經(jīng)能夠選擇個(gè)性化的圖形進(jìn)行畫圖分析，這是學(xué)生思維的真實(shí)展現(xiàn)。

圖8

教師應(yīng)將學(xué)生的成果展示給全班同學(xué)，對(duì)他們進(jìn)行充分的鼓勵(lì)和肯定，并可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化幾何直觀圖的畫法。通過堅(jiān)持這樣長期的訓(xùn)練與比較，畫圖一定會(huì)成為學(xué)生的一種良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

幾何直觀訓(xùn)練在我們的教學(xué)實(shí)踐中已有成效，經(jīng)過兩學(xué)年的努力，學(xué)生解決問題的能力進(jìn)一步提升，碰到稍復(fù)雜的問題就會(huì)自然而然地想到用畫圖的方法解決，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能自如地以圖促思、以圖求解，體會(huì)“畫圖方法”的優(yōu)越性，輕松實(shí)現(xiàn)文圖轉(zhuǎn)換，提升解題有效性。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)中，幾何直觀的策略運(yùn)用無疑給學(xué)生提供了更多的思路和解題方法，有助于學(xué)生更準(zhǔn)確地接受新的知識(shí)，突破重難點(diǎn)，正確理解數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的能力。因此，教師應(yīng)將幾何直觀訓(xùn)練貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在低年段，要不斷引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)幾何直觀的價(jià)值和作用，使他們養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣。