構(gòu)建幾何直觀　促進(jìn)問題解決

周燕　吳小靜

習(xí)數(shù)學(xué)的矛盾之一是抽象和形象的矛盾，幾何直觀是解決這一矛盾的有效方法。教師在教學(xué)中要主動開發(fā)教材，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型，使學(xué)生易于解決問題，增進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的深入理解。

一、構(gòu)建幾何直觀，促進(jìn)算理理解

幾何直觀的本質(zhì)是通過圖形展開的想象能力。計(jì)算教學(xué)中，運(yùn)用幾何直觀能幫助學(xué)生理解算理、解決問題。

《分?jǐn)?shù)乘法》的教學(xué)，人教版教材分兩步安排：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)→分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。針對不同的素材，教材構(gòu)造了不同的直觀圖，即圓形直觀圖—實(shí)物圖—長方形直觀圖，目的都是從分?jǐn)?shù)乘法的意義切入，讓學(xué)生理解算理，掌握計(jì)算方法。

為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，教師根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，引導(dǎo)他們參與折紙、涂色等操作活動，借助直觀使其聯(lián)系分?jǐn)?shù)的意義，看到算式中每一部分在圖上是如何表示的，說清楚“誰是誰的幾分之幾”，理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)結(jié)果中的分母和分子分別是怎樣來的。學(xué)生通過直觀圖示和抽象推理，在推導(dǎo)過程中更好地理解了算理，提高了觀察、操作、分析和推理等能力。在“做一做”的練習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷說理的過程，這樣做既鞏固了分?jǐn)?shù)乘法的算理，又為解決一些復(fù)雜的實(shí)際問題提供了分析方法。

事實(shí)上，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算的算理理解過程都離不開幾何直觀方法的運(yùn)用。

二、構(gòu)建幾何直觀，理清數(shù)量關(guān)系

理解題意是解決問題的首要步驟，也是解決問題的關(guān)鍵步驟。面對一個復(fù)雜的問題，若能借助直觀圖形進(jìn)行分析思考，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡明、內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系變得形象，從而幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，探索解決思路，輕松解決問題。

人教版一年級上冊解決問題例6（如下圖），教師是這樣引入的：“大熊貓是我國的國寶，老師帶領(lǐng)大家去動物園看大熊貓。你們看，小朋友正井然有序地排著隊(duì)看大熊貓呢，我們要向他們學(xué)習(xí)，在去動物園時也要排隊(duì)。”然后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目，找到相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，以及所求問題“小麗和小宇之間有幾人”。

讀題后，有的學(xué)生開始數(shù)，數(shù)著數(shù)著就亂了;有的學(xué)生畫圖——用一個圓圈代表一個人。教師因勢利導(dǎo)讓學(xué)生畫一畫。有的學(xué)生畫出了15個人，有的學(xué)生只從小麗開始畫。通過交流，學(xué)生認(rèn)識到不需要畫出所有人，因?yàn)檎业氖切←惡托∮钪g的人數(shù)，所以去掉小麗和小宇，一眼就可以看出是4人。

用分?jǐn)?shù)解決問題對學(xué)生來說比較困難，難點(diǎn)在找不準(zhǔn)單位“1”的量和分率所對應(yīng)的具體數(shù)量。當(dāng)“量”和“率”之間的對應(yīng)關(guān)系不能一眼看出來時，要有效運(yùn)用畫圖策略，幫助學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。比如：“有一批貨物需要三天運(yùn)完。第一天運(yùn)走了這批貨物的[2/5]，第二天比第一天少運(yùn)60噸，第三天運(yùn)了240噸。這批貨物有多少噸？”學(xué)生讀題后，教師引導(dǎo)他們先找到并用線段圖表示單位“1”的量，就是這批貨物的總量，然后根據(jù)條件在線段圖上標(biāo)出三天各對應(yīng)的分率或數(shù)量，畫完后交流每一部分是怎么畫的，為什么這樣畫。在交流中，學(xué)生的思路越來越清晰，很容易就把分率和具體的量對應(yīng)了起來，發(fā)現(xiàn)“240-60”就是這批貨物的[1/5]，隱含的量和分率明晰可見。教師進(jìn)一步追問：“[1/5]是從哪里來的？”問題至此得到解決。在這一過程中，學(xué)生充分感受到畫圖對于解決問題的價值，體會到畫圖是解決問題的一種常用策略。

三、構(gòu)建幾何直觀，實(shí)現(xiàn)知識重構(gòu)

數(shù)學(xué)課堂中教師要經(jīng)常性地鼓勵學(xué)生畫圖思考。讓學(xué)生獲得“由數(shù)化形、豁然開朗”的成功體驗(yàn)，有助于學(xué)生積累用數(shù)形結(jié)合解決問題的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，教師可以利用幾何直觀進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，促使學(xué)生把新知識納入已有認(rèn)知，重建知識結(jié)構(gòu)。

在解決“約分”問題時，教師先出示0.40、10.030、50.000，要求學(xué)生口頭化簡;學(xué)完約分后，讓學(xué)生嘗試對[16/24]進(jìn)行約分;最后把小數(shù)化簡方法和分?jǐn)?shù)約分方法放在一起，讓學(xué)生對比異同。學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)，相同點(diǎn)是都要保證數(shù)的大小不變，不同點(diǎn)是方法和依據(jù)不一樣。此時，教師出示小數(shù)0.40和分?jǐn)?shù)[16/24]的約分過程（如右圖），讓學(xué)生觀察體會。

學(xué)生恍然大悟：不管是小數(shù)化簡還是分?jǐn)?shù)約分，都是把一個數(shù)由較小的計(jì)數(shù)單位換成較大的計(jì)數(shù)單位來表示。小數(shù)的計(jì)數(shù)單位之間是十進(jìn)制，所以每次都是整十或者整百地聚集，看起來是去掉了小數(shù)末尾的零;分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位特別豐富，分子、分母的公因數(shù)是幾，就把幾個分?jǐn)?shù)單位聚集起來，形成約分時要除以的“公因數(shù)”。

直觀圖的呈現(xiàn)由表及里，使看起來關(guān)聯(lián)不大的小數(shù)化簡和分?jǐn)?shù)約分的聯(lián)系可視化，既體現(xiàn)出二者在本質(zhì)上的趨同，又幫助學(xué)生把約分納入“數(shù)的化簡”這樣一個大結(jié)構(gòu)中，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

（作者單位：周燕，老河口市教研室;吳小靜，老河口市袁沖小學(xué)）

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