再制造產(chǎn)品保修決策模型構(gòu)建與分析*

姚星辰，周 敏

(武漢科技大學(xué) a. 冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b. 機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081)

0 引言

再制造業(yè)具有經(jīng)濟(jì)效益好、資源消耗低、環(huán)境污染少的特點(diǎn)，發(fā)展再制造產(chǎn)品有利于形成新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)，將成為“中國(guó)制造”的突破[1]。

隨著制造技術(shù)的發(fā)展，再制造產(chǎn)品的性能和質(zhì)量都將不亞于原先的產(chǎn)品。但由于擔(dān)心質(zhì)量問(wèn)題，客戶(hù)對(duì)于再制造產(chǎn)品仍抱有懷疑態(tài)度，對(duì)再制造品長(zhǎng)期工作能力存在顧慮，而良好的保修服務(wù)無(wú)疑會(huì)提高客戶(hù)滿(mǎn)意程度。同時(shí)，廢舊產(chǎn)品的回收數(shù)量和組件質(zhì)量水平的不確定性會(huì)耗費(fèi)再制造商更多的成本。因此，本文對(duì)再制造產(chǎn)品的保修決策模型進(jìn)行了構(gòu)建與分析。

在產(chǎn)品保修方面，國(guó)內(nèi)研究主要集中在制造產(chǎn)品的保修策略上，對(duì)于再制造產(chǎn)品的研究較少。文獻(xiàn)[2]針對(duì)可靠性和區(qū)域差異的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題，提出了一種基于可靠性區(qū)域粒度的保修期優(yōu)化決策模型。文獻(xiàn)[3]構(gòu)建了一種考慮混合維修策略和使用環(huán)境的復(fù)雜系統(tǒng)的區(qū)間可用度模型。文獻(xiàn)[4]針對(duì)裝備更新保修策略費(fèi)用難預(yù)測(cè)問(wèn)題建立了考慮多故障模式的一維更新保修策略費(fèi)用模型。文獻(xiàn)[5]基于可修系統(tǒng)冪律過(guò)程模型理論, 提出耗損階段數(shù)控機(jī)床不完全維修的非等周期預(yù)防維修方法。文獻(xiàn)[6]研究了基于使用率的汽車(chē)二維延保策略，以不完全維修和最小維修兩種方式確立了成本最優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[7]考慮了消費(fèi)者的效用，提出了保修是再制造產(chǎn)品市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)有效策略。文獻(xiàn)[8]研究了傳感器嵌入式再制造產(chǎn)品的保修成本分?jǐn)偛呗院皖A(yù)防性維護(hù)策略。文獻(xiàn)[9]基于消費(fèi)者行為的視角，用博弈論構(gòu)建閉環(huán)供應(yīng)鏈的最優(yōu)決策模型，討論了新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的最優(yōu)保修決策。

從上述文獻(xiàn)可以看出，針對(duì)再制造品回收數(shù)量和質(zhì)量不確定性的保修策略研究較少，因此，本文考慮一個(gè)獨(dú)立的再制造商，將回收產(chǎn)品拆分成零部件進(jìn)行質(zhì)量分級(jí)和再制造，并作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者主導(dǎo)價(jià)格和保修策略，建立受價(jià)格、保修方式和保修期影響的市場(chǎng)需求函數(shù)，分析了預(yù)防性維修下故障率呈威布爾分布的免費(fèi)更換、免費(fèi)維修、按比例免費(fèi)維修的最佳保修期和最大利潤(rùn)，為研究再制造產(chǎn)品的保修決策提供支持。

1 再制造產(chǎn)品保修決策分析

對(duì)再制造產(chǎn)品的保修決策模型進(jìn)行構(gòu)建時(shí)，要綜合考量廢舊產(chǎn)品回收質(zhì)量、數(shù)量的不確定性，再制造產(chǎn)品可靠度，目標(biāo)市場(chǎng)的需求、價(jià)格以及保修方式等因素，其模型構(gòu)建與求解如圖1所示。

圖1 再制造產(chǎn)品保修決策模型構(gòu)建與求解

1.1 廢舊產(chǎn)品回收不確定性分析

再制造商的回收成本取決于所回收產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量，由于再制造零部件回收質(zhì)量不確定性，將廢舊產(chǎn)品拆卸成各個(gè)零部件并進(jìn)行檢測(cè)以確定質(zhì)量級(jí)別，根據(jù)質(zhì)量級(jí)別來(lái)確定收購(gòu)價(jià)格并進(jìn)行再制造決策[10]，將會(huì)極大地減小再制造的回收成本，影響再制造方案和保修策略。圖2為廢舊產(chǎn)品回收再制造和零部件質(zhì)量分級(jí)流程。

圖2 廢舊產(chǎn)品回收再制造和零部件質(zhì)量分級(jí)

保修方式和保修期的長(zhǎng)短取決于再制造產(chǎn)品可靠性，而可靠性依靠于再制造零部件質(zhì)量水平。因此，對(duì)于質(zhì)量級(jí)別較低的零部件，可通過(guò)再制造技術(shù)將其提升，但不同級(jí)別的零部件加工到可用于再制造質(zhì)量水平的費(fèi)用不相同。

1.2 基于可靠性的故障率模型

可靠性是決定產(chǎn)品保修的重要方式，威布爾分布對(duì)于可靠性研究中的失效時(shí)間建模，其故障率函數(shù)為：

(1)

式中，β為形狀參數(shù)，α為尺度參數(shù)，表示特征壽命；t表示再制造零部件的服役時(shí)間。

1.3 考慮多種保修方式的保修策略

保修服務(wù)是廠(chǎng)商提供給客戶(hù)的能夠保證產(chǎn)品質(zhì)量的服務(wù)手段，以保修服務(wù)作為再制造產(chǎn)品銷(xiāo)售策略有助于刺激再制造產(chǎn)品的需求，增加需求量。

通常根據(jù)保修服務(wù)的賠償方式可將其分為免費(fèi)更換保修、免費(fèi)維修保修、按比例免費(fèi)維修保修。免費(fèi)更換保修，即在保修期內(nèi)生產(chǎn)者承擔(dān)產(chǎn)品更換的所有成本；免費(fèi)維修保修，即生產(chǎn)者在保修期內(nèi)承擔(dān)維修的所有成本；按比例免費(fèi)維修，即在保修期內(nèi)生產(chǎn)者和客戶(hù)按照一定比例承擔(dān)保修的一定費(fèi)用。考慮這三種保修方式對(duì)再制造產(chǎn)品保修決策進(jìn)行分析。

同時(shí)，為提高可靠性，減少保修成本，再制造商計(jì)劃對(duì)售出的產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)防性維修，可制定預(yù)防性維修的時(shí)間間隔或設(shè)定預(yù)防性維修的次數(shù)[11]。

1.4 市場(chǎng)需求和利潤(rùn)分析

再制造產(chǎn)品的需求和產(chǎn)品的售價(jià)以及保修策略有關(guān)，消費(fèi)者通常希望以較低的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)更為可靠的產(chǎn)品[12]。產(chǎn)品需求可表示為：

D=d-Cb1+Ahb2t

(2)

式中，D表示市場(chǎng)需求；C表示為再制造品售價(jià)；d表示市場(chǎng)基本需求；t為保修期限；b1、b2、Ah分別為基于價(jià)格、保修期限和保修方式的彈性系數(shù)。

該式可以較好的表明消費(fèi)者對(duì)于再制造產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)欲望隨著產(chǎn)品保修期延長(zhǎng)而增大。同時(shí)，良好的保修方法也能增加消費(fèi)者的信心，從而提高需求。而價(jià)格對(duì)于需求呈負(fù)面影響，需求會(huì)隨價(jià)格上升而下降。

再制造商利潤(rùn)Πφ和零售商利潤(rùn)Πθ可寫(xiě)為：

Πφ=ρD-Cp

(3)

Πθ=(C-ρ)D=(C-ρ)(d-Cb1+Ahb2t)

(4)

式中，ρ表示再制造商批發(fā)價(jià)；Cp再制造產(chǎn)品總成本，包含回收、再制造成本和保修成本等；

2 再制造產(chǎn)品保修決策模型

2.1 模型構(gòu)建

首先對(duì)模型做如下假設(shè)：

①保修期內(nèi)的每一次故障都會(huì)導(dǎo)致保修；

②保修和預(yù)防性維修時(shí)間忽略不計(jì)；

③拆分后的每個(gè)質(zhì)量級(jí)別都可用來(lái)再制造，不考慮損壞或過(guò)低質(zhì)量級(jí)別的零部件；

④預(yù)防性維護(hù)為完全預(yù)防性維護(hù)，即產(chǎn)品的可靠性恢復(fù)至出廠(chǎng)水準(zhǔn)。

若某回收產(chǎn)品拆分后存在i(i=1,2……n)個(gè)部件，質(zhì)量級(jí)別為K種，令回收和再制造的費(fèi)用為C1，C2為再制造組裝成本，回收產(chǎn)品為m個(gè)，則：

Nik=mμik

(5)

(6)

C2=mR

(7)

式中，組裝費(fèi)用為R；μij表示回收產(chǎn)品i部件拆解成質(zhì)量級(jí)別為k的概率；qik為質(zhì)量級(jí)別為k的部件i的回收價(jià)格；Nik為提升到可再制造質(zhì)量水平的零部件的數(shù)量；gik為質(zhì)量等級(jí)為k的零部件i的再制造費(fèi)用。

售出的再制造成品采用預(yù)防性維修和三種保修方式進(jìn)行組合保修，每隔時(shí)間t0返回再制造商進(jìn)行一次預(yù)防性維修，再制造商也可以選定預(yù)防性維修的次數(shù)l。設(shè)每種保修方式的費(fèi)用為vh(h=1,2,3)，分別表示為免費(fèi)更換、免費(fèi)維修、按比例免費(fèi)維修的單次費(fèi)用。預(yù)防性維修的費(fèi)用為v0，給定再制造產(chǎn)品的故障率函數(shù)，在保修期內(nèi)的預(yù)期故障索賠次數(shù)為E(t)，期望保修費(fèi)用為Πs(t)，則：

(8)

(9)

再制造商盡可能在滿(mǎn)足客戶(hù)需求的情況下進(jìn)行生產(chǎn)，即表明在最優(yōu)的的保修策略下市場(chǎng)需求可能小于回收再制造的數(shù)量，將多余的再制造產(chǎn)品存入庫(kù)存，單位產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)用為C3。但在實(shí)際市場(chǎng)里，需求量也可能會(huì)大于再制造量。

綜上所述，考慮回收數(shù)量和質(zhì)量分級(jí)的有關(guān)保修方式和保修期的再制造決策模型有如下表示：

m

(10)

m≥D時(shí)，

s.t.

D>0,β>1,h=1,2,3
1≤k≤K,1≤i≤n
d-ρb1>0

(11)

2.2 模型求解

博弈論是研究決策者行為產(chǎn)生直接相互作用時(shí)的決策和均衡問(wèn)題。以再制造商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者，由再制造商確定產(chǎn)品的保修方式、保修期和批發(fā)價(jià)格，零售商根據(jù)此來(lái)確定零售價(jià)格[12]。

對(duì)式(11)進(jìn)行分析：

(12)

定理1：在分散決策中，以再制造商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者，首先確定再制造產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)和保修策略，零售商再確定產(chǎn)品的零售價(jià)。對(duì)零售商的利潤(rùn)函數(shù)Πθ進(jìn)行關(guān)于C的一階求導(dǎo)，令其為0，則最優(yōu)零售價(jià)為:

C*=(d+Ahb2t+ρb1)/2b1

(13)

證明：對(duì)零售商的利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于其零售價(jià)格的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：

定理證明完畢。

則最優(yōu)零售價(jià)格如公式(13)所示。

將C*其帶入到Πφ中，對(duì)t求一階偏導(dǎo)，令其為0，聯(lián)立上式求解可得到保修期的函數(shù)，見(jiàn)公式(14)，將其帶入可得到再制造商的決策函數(shù)。

(14)

定理2：再制造商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者中的目標(biāo)函數(shù)中Πφ是關(guān)于保修時(shí)間的凹函數(shù)，且存在唯一最優(yōu)解。

證明：目標(biāo)函數(shù)Πφ關(guān)于保修時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：

同理，可證明另外一種情況下函數(shù)關(guān)系。

通過(guò)上述模型，再制造商對(duì)該批產(chǎn)品保修策略進(jìn)行決策。決策步驟為：①考慮產(chǎn)品零部件數(shù)量和質(zhì)量級(jí)別，進(jìn)行再制造回收決策；②對(duì)回收零部件進(jìn)行處理、再制造和組裝；③再制造商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者制定再制造產(chǎn)品保修策略，零售商確定零售價(jià)格；④計(jì)算在最大利潤(rùn)情況下t、vh的取值，并確定最大利潤(rùn)，作為保修方案。

3 案例分析

3.1 案例

為驗(yàn)證上述模型，以某再制造商一批再制造發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)品回收、再制造和制定保修計(jì)劃為例，計(jì)算最優(yōu)的保修策略。

現(xiàn)該公司回收一批廢舊發(fā)動(dòng)機(jī)，數(shù)量為200，根據(jù)該公司回收產(chǎn)品的數(shù)據(jù)資料和技術(shù)要求，將回收發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行拆卸，可拆卸為表1中9類(lèi)(i)主要組件。主要回收部件分為3個(gè)質(zhì)量級(jí)別的概率為μik，分別為高質(zhì)量k1、中質(zhì)量k2、低質(zhì)量k3，各零部件在各個(gè)質(zhì)量級(jí)別的數(shù)量Nik、回收價(jià)格qik以及再制造成本gik如表1所示。

表1 回收零部件各質(zhì)量級(jí)別的概率、數(shù)量、回收價(jià)格和再制造成本

處理后的零部件進(jìn)行再制造和組裝，單位成品的組裝費(fèi)用R為200元，批發(fā)價(jià)為10 000元。在該時(shí)期，廠(chǎng)商對(duì)再制造發(fā)動(dòng)機(jī)銷(xiāo)售，市場(chǎng)的基本需求為300，預(yù)防性維修次數(shù)為2，相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 參數(shù)設(shè)置

采用MATLAB編程輔助上述模型求解。但針對(duì)該模型，需要對(duì)市場(chǎng)需求進(jìn)行判斷，是否再制造品產(chǎn)量會(huì)大于市場(chǎng)需求，帶入各參數(shù)，計(jì)算最佳保修時(shí)間，以此確定三種保修方式的最優(yōu)保修期和實(shí)際市場(chǎng)需求數(shù)量，然后進(jìn)行驗(yàn)算。三種保修方式的最佳保修期以及再制造商利潤(rùn)如表3所示。

表3 最佳保修期和再制造商利潤(rùn)

由表可知，按比例免費(fèi)維修方式下保修期最長(zhǎng)，達(dá)到1500天，這是由于按比例免費(fèi)維修費(fèi)用由再制造商和消費(fèi)者共同承擔(dān)，因此再制造商可以指定較長(zhǎng)的保修期來(lái)增加需求。免費(fèi)更換方式下再制造商的利潤(rùn)最低，為161.5千元，保修期為1069天，雖然保修方式下的彈性系數(shù)較大，但較低的保修期導(dǎo)致客戶(hù)需求提升不明顯。綜上3種情況，再制造商作為主導(dǎo)地位，零售價(jià)格偏高，導(dǎo)致客戶(hù)需求量較少，在該批量再制造中，需求量無(wú)法消化庫(kù)存，再制造商的利潤(rùn)可以更大化。

3.2 敏感度分析

通過(guò)敏感性分析進(jìn)一步研究這三種保修方式下的最優(yōu)保修期和再制造商利潤(rùn)，對(duì)不同保修方式的單次保修成本vh和其對(duì)市場(chǎng)需求的彈性系數(shù)Ah作為變量。

由圖3、圖4可以看出當(dāng)Ah增加時(shí)，最大保修期增加但不明顯，而保修利潤(rùn)先增后趨于穩(wěn)定，這是由于Ah增加導(dǎo)致市場(chǎng)需求增加，當(dāng)市場(chǎng)需求等于再制造量時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大化；而市場(chǎng)需求大于再制造量時(shí)，再制造商無(wú)法供應(yīng)市場(chǎng)，利潤(rùn)就隨保修期的增加略有下降。

圖3 保修期隨保修對(duì)市場(chǎng)需求彈性系數(shù)Ah的變化趨勢(shì)

圖4 利潤(rùn)隨保修對(duì)市場(chǎng)需求彈性系數(shù)Ah的變化趨勢(shì)

由圖5、圖6可以看出當(dāng)保修費(fèi)用vh增加時(shí)，最大保修期減少，而保修費(fèi)用增長(zhǎng)對(duì)于利潤(rùn)的影響程度較大，因此再制造商利潤(rùn)下降。同時(shí)，不同保修方式的差別在于和需求相關(guān)的彈性系數(shù)不同，因此保修期差別不明顯。但消費(fèi)者需求量的下降會(huì)增加再制造庫(kù)存量，利潤(rùn)也無(wú)法最大化。

圖5 保修期隨不同保修費(fèi)用vh的變化趨勢(shì)

圖6 利潤(rùn)隨不同保修費(fèi)用vh的變化趨勢(shì)

再制造產(chǎn)品數(shù)量的不確定性和保修策略影響著再制造商的利潤(rùn)，當(dāng)庫(kù)存大于市場(chǎng)需求數(shù)量時(shí)，制定合適的保修策略以增加客戶(hù)信心和市場(chǎng)需求來(lái)減少保修成本對(duì)于再制造商尤其重要。但當(dāng)保修期足夠長(zhǎng)時(shí)，市場(chǎng)需求會(huì)變得非常大，再制造商的產(chǎn)量無(wú)法滿(mǎn)足市場(chǎng)需求，利潤(rùn)就會(huì)下降。當(dāng)庫(kù)存無(wú)法滿(mǎn)足需求時(shí)，企業(yè)制定長(zhǎng)的保修期就得不償失，利潤(rùn)會(huì)急劇減小。而不同保修方式下的利潤(rùn)和最大保修期也不相同，再制造商應(yīng)該根據(jù)市場(chǎng)需求合理的制定不同保修方式下再制造品的保修策略。

4 總結(jié)

本文針對(duì)再制造品產(chǎn)品回收不確定和市場(chǎng)對(duì)于再制造品質(zhì)量功能信心不足的問(wèn)題，研究了以再制造商為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者的考慮零部件質(zhì)量分級(jí)的保修策略。通過(guò)對(duì)由價(jià)格、保修方式和保修期決定的市場(chǎng)需求函數(shù)構(gòu)建，分析了預(yù)防性維護(hù)下故障率呈威布爾分布的免費(fèi)更換、免費(fèi)維修、按比例免費(fèi)維修的最佳保修期和最大利潤(rùn)。針對(duì)該方案，以某再制造商一批再制造發(fā)動(dòng)機(jī)回收、再制造和制定保修策略為例，驗(yàn)證了該模型的有效性。另外通過(guò)靈敏度分析，研究了保修方式的費(fèi)用和對(duì)其需求的彈性系數(shù)的變化對(duì)于保修策略和利潤(rùn)的影響。

由于該模型只考慮了單個(gè)再制造商的決策，在未來(lái)的研究中，可以考慮制造/再制造混合系統(tǒng)研究廢舊產(chǎn)品回收和保修策略。