基于MOOSE框架的五方程兩相流分析程序開發(fā)

牛鈺航，蘆 韡，賀亞男，鄧超群，向烽瑞，巫英偉,*，蘇光輝，秋穗正，田文喜，于 洋，盧忝余

(1.西安交通大學(xué) 動(dòng)力工程多相流國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；2.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610213)

在反應(yīng)堆正常運(yùn)行和事故瞬態(tài)工況下，氣液兩相流動(dòng)是一個(gè)非常重要的物理現(xiàn)象，精確模擬兩相流現(xiàn)象是反應(yīng)堆安全分析的關(guān)鍵。根據(jù)兩相流體流速是否均勻、兩相流體溫度是否處于熱平衡態(tài)的假設(shè)不同，可將兩相流模型分為三方程到六方程模型[1]。

現(xiàn)有的反應(yīng)堆系統(tǒng)安全分析程序如RELAP5[2]、TRACE[3]已成功采用六方程模型計(jì)算兩相流動(dòng)傳熱問題。五方程模型忽略了氣相能量守恒方程，并將氣相溫度給定為當(dāng)前壓力下對應(yīng)的飽和溫度。相比于六方程模型，雖然五方程模型沒有精確反映氣液兩相之間的能量交換，但具有更強(qiáng)的適用性和魯棒性[4]。除此之外，RELAP5、TRACE程序雖然采用六方程模型，但在時(shí)間和空間數(shù)值離散方面仍是一階精度，即使已有研究對RELAP5數(shù)值方法進(jìn)行了許多改進(jìn)，如在RELAP5中增加了半隱式算法[5]，但時(shí)間離散仍舊是一階精度，使得其只適用于短瞬態(tài)過程精確模擬[6]。因此有必要開發(fā)高精度的兩相流求解模型。

本文基于開源MOOSE框架初步開發(fā)一維、五方程兩相流模型計(jì)算程序ZEBRA，采用PJFNK算法全耦合求解方程，并與過冷沸騰實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比。

1 程序框架簡介

MOOSE[7]是由美國愛達(dá)荷國家實(shí)驗(yàn)室(INL)采用C++開發(fā)的多物理場耦合計(jì)算框架。MOOSE主要基于有限元方法和PJFNK算法，可高效、模塊化求解偏微分方程組(PDEs)。當(dāng)前，國外基于MOOSE框架已經(jīng)開發(fā)出了BISION[8]、RATTLESNAKE[9]、RELAP7[10]等燃料性能分析、堆物理計(jì)算和系統(tǒng)分析程序。國內(nèi)基于MOOSE框架已經(jīng)開發(fā)出了BEEs[11]燃料性能分析程序和中子擴(kuò)散問題求解程序[12]。

MOOSE框架結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。MOOSE框架包含4個(gè)層級：第1層級為開發(fā)者模塊，即在MOOSE框架下構(gòu)建具體物理問題，在本文中添加了基礎(chǔ)物理模型(五方程本構(gòu)方程)及與五方程本構(gòu)方程對應(yīng)的封閉關(guān)系式，同時(shí)集成了MOOSE中多個(gè)模塊(如邊界條件、物性等)，實(shí)現(xiàn)了給定壓力(如泵模型)等邊界條件的構(gòu)建，共同組成了五方程兩相流計(jì)算模塊；第2層級為MOOSE已定義模塊及多物理場耦合接口模塊，包含通用的邊界條件等；第3層級為LibMesh，MOOSE繼承開源庫LibMesh進(jìn)行網(wǎng)格讀入、有限元離散、殘差矩陣形成和結(jié)果輸出；第4層級為求解器模塊，MOOSE采用PETSc求解器求解殘差矩陣。

圖1 MOOSE開發(fā)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 MOOSE structure diagram

2 數(shù)學(xué)模型

一維五方程兩相流模型包括質(zhì)量守恒方程(氣相、液相)、動(dòng)量守恒方程(氣相、液相)和能量守恒方程(液相)。

2.1 控制方程

質(zhì)量守恒方程：

(1)

(2)

動(dòng)量守恒方程：

α1ρlgx+Fint-Fwall,l-Γg(uint-ul)

(3)

αgρggx-Fint-Fwall,g+Γg(uint-ug)

(4)

能量守恒方程：

(5)

式中：α為空泡份額；ρ為密度；u為速度；t為時(shí)間；x為空間位置；Γg為相間傳遞的質(zhì)量；p為壓力；gx為重力加速度；e為內(nèi)能；下標(biāo)l和g分別表示液相和氣相；下標(biāo)int表示氣液兩相的交界面；Γw為壁面沸騰/冷凝過程中氣相產(chǎn)生速率；Γig為相間氣泡的質(zhì)量傳遞；Fint為相間摩擦阻力；Fwall為各相的壁面摩擦阻力；h′為由于壁面產(chǎn)生蒸汽而引起質(zhì)量傳遞的相焓；h*為交界面之間質(zhì)量傳遞的相焓；Qwl為壁面對液相的熱量傳遞；Qil為交界面對液相的熱量傳遞。

式(1)～(5)中求解的5個(gè)主要變量分別為壓力p、空泡份額α、液相速度ul、氣相速度ug和液相內(nèi)能el，即變量矩陣為：U=[p，α，ul，ug，el]T。

氣相和液相的空泡份額滿足關(guān)系：

αl+αg=1

(6)

五方程模型中假設(shè)氣相溫度Tg為當(dāng)前壓力下對應(yīng)的飽和溫度Tsat，則：

Tg=Tsat(p)

(7)

2.2 本構(gòu)模型

1) 空泡份額分布

ZEBRA目前添加了垂直通道內(nèi)臨界熱流密度(CHF)發(fā)生之前的流動(dòng)傳熱特性模型，其空泡份額分布示于圖2。其中，αBS、αSA、αAM分別為不同流型轉(zhuǎn)換位置的空泡份額，且不同的本構(gòu)模型(如壁面摩擦阻力、相間摩擦阻力等)有不同的流型轉(zhuǎn)換空泡份額。

圖2 垂直通道內(nèi)空泡份額分布Fig.2 Distribution of void farction in vertical channel

ZEBRA添加的流型轉(zhuǎn)換判定準(zhǔn)則與RELAP5-3D、TRACE程序類似，隨著空泡份額的增大，將其分為單相液、泡狀流、彈狀流、環(huán)狀流、彌散滴狀流、單相氣6個(gè)區(qū)域。對于不同的本構(gòu)模型，雖然流型轉(zhuǎn)換相同，但流型轉(zhuǎn)換位置的空泡份額不同。在壁面摩擦阻力中：αBS=αSA=0.8，αAM=0.9；在交界面阻力中：αBS=0.3，αSA=0.8，αAM=0.95；在交界面?zhèn)鳠嶂校害罛S=0.3，αSA=0.5，αAM=0.75。為避免數(shù)值求解困難，在程序計(jì)算中規(guī)定：α≤1.0×10-4為單相液；α≥0.99為單相氣。

2) 壁面/相間質(zhì)量和能量傳遞

(1) 壁面/相間質(zhì)量傳遞

質(zhì)量傳遞包括壁面沸騰產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞和相間蒸發(fā)/冷凝產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞兩部分：

Γg=Γw+Γig

(8)

壁面沸騰產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞為：

(9)

式中：hcr為臨界焓；εp為系數(shù)函數(shù)；hl為液相焓；hl,sat為液相飽和焓；q″w為壁面熱流密度；aw為傳熱面密度；hfg為汽化潛熱。

(10)

式中，ρf為液相密度。

蒸發(fā)/冷凝產(chǎn)生的質(zhì)量傳遞為：

(11)

式中，Hil為液相和交界面的體積傳熱系數(shù)。

(2) 壁面/相間能量傳遞

流動(dòng)沸騰條件下，考慮將壁面的熱流密度分為氣相和液相兩部分，在五方程模型中氣相假定為飽和態(tài)，因此壁面的熱量全部用于提高液相的溫度，故壁面處能量傳遞為：

Qwl=q″waw

(12)

傳熱面密度在流動(dòng)面積不變的情況下可定義為：

無法，沒破的不用管它，破了的只怕粘襪子，易非想找個(gè)創(chuàng)可貼把那兒貼住，可惜翻箱倒柜找了半天，也沒找到一塊，只好用紙巾隔在那里，再小心穿好襪子。

(13)

交界面?zhèn)鳠酫il由交界面局部傳熱和近壁面?zhèn)鳠醿刹糠纸M成：

Qil=Hil(Tsat-Tl)-Γw(h′g-h′l)

(14)

3) 壁面摩擦阻力

ZEBRA的壁面摩擦阻力模型來源于TRACE程序[3]，壁面摩擦阻力Fwall為：

(15)

式中：fwall，k為與k相(k=l，g)相關(guān)聯(lián)的壁面阻力系數(shù)；De為水力直徑，取決于截面的形狀；Cwall,k為k相的壁面阻力系數(shù)。

Cwall,k取決于當(dāng)前流型(圖2)，ZEBRA分別計(jì)算了單相液阻力系數(shù)、泡狀流與彈狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù)、環(huán)狀流與霧狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù)[3]。

單相液阻力系數(shù)fwall，single為：

(16)

泡狀流與彈狀流相結(jié)合區(qū)域的阻力系數(shù)：

(17)

(18)

過渡區(qū)流型的阻力系數(shù)：

Cwall,liq=ωfBSCwall,liq,BS+(1-ωfBS)Cwall,liq,AM

(19)

式中：a、b分別為單相液阻力系數(shù)參數(shù)；CNB為泡、彈狀流區(qū)域阻力參數(shù)；ffilm為環(huán)狀流區(qū)域阻力系數(shù)；wfBS為泡、彈狀流權(quán)重因子；Cwall，liq為液相壁面阻力系數(shù)；Dh為等效水力直徑；下標(biāo)BS表示泡狀流和彈狀流相結(jié)合的流型，liq表示液相，AM表示環(huán)霧狀流區(qū)域。

4) 交界面阻力與傳熱系數(shù)

交界面動(dòng)量交換包括交界面阻力與交界面相變動(dòng)量交換。通過類比單相管內(nèi)流動(dòng)，可得到由于兩相之間的相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的交界面阻力Fint：

(20)

式中：fk，k′為由于相對運(yùn)動(dòng)k′相施加給k相的阻力系數(shù)；Ci為交界面的阻力系數(shù)；ur為兩相之間的相對速度。

對于氣相和液相的交界面阻力，顯然有：

Fint,g=-Fint,l=Ciur|ur|

(21)

ZEBRA交界面阻力模型建立在3個(gè)主要的流型上，即泡狀流、彈狀流及環(huán)形霧狀流[3]。在泡、彈狀流區(qū)域：

(22)

泡狀流區(qū)域：

(23)

彈狀流區(qū)域：

(24)

過渡流區(qū)域：

(25)

環(huán)霧狀流區(qū)域：

(26)

同理，交界面?zhèn)鳠岣鶕?jù)流型分別計(jì)算各區(qū)域的傳熱系數(shù)。

泡狀流區(qū)域：

(27)

彈狀流區(qū)域：

(hliA?i)CS=(hliA?i)DB+(hliA?i)LB

(28)

過渡流區(qū)域：

(hliA?i)=wfAM(hliA?i)AM+

(1-wfAM)(hliA?i)BS

(29)

環(huán)霧狀流區(qū)域：

(hliA?i)AM=(hliA?i)film+(hliA?i)drops

(30)

式中：hli為傳熱系數(shù)；k為導(dǎo)熱系數(shù)；dDB為彌散氣泡尺寸；Nu為努塞爾數(shù)；A?為氣泡交界面積；wfAM為環(huán)霧狀流權(quán)重因子；下標(biāo)LB表示大型氣泡區(qū)域，film和drops分別代表環(huán)型液膜和夾帶液滴。

5) 水/水蒸氣的狀態(tài)方程

ZEBRA的兩相模塊采用與RELAP7相同的物性計(jì)算方法，即加密氣體狀態(tài)(SGEOS)方程。值得一提的是，Metayer等[13]已驗(yàn)證了SGEOS方程的精確度。

采用SGEOS方程來進(jìn)行物性計(jì)算會(huì)顯著提高兩相模塊的收斂性。兩相流體關(guān)于每一相的SGEOS方程[13]描述為：

(31)

h(T)=γcVT+q

(32)

g(p,T)=(γcV-q′)T-

(33)

cp=γcV

(34)

式中：T、h和g分別表示流體的溫度、焓和Gibbs自由能；γ、q、q′和p∞為各相流體的特性；cV為比定容熱容；cp為比定壓熱容。

水和水蒸氣的相關(guān)參數(shù)列于表1。

表1 水和水蒸氣的相關(guān)參數(shù)Table 1 State parameter of water and its vapor

當(dāng)前壓力下的飽和溫度計(jì)算[13]為：

(35)

式中，A、B、C和D為分別為飽和溫度計(jì)算系數(shù)。

3 數(shù)值方法

ZEBRA基于MOOSE開發(fā)，采用有限元方法離散，本文以式(1)為例說明其數(shù)值離散過程。

3.1 空間離散

在MOOSE中對控制方程進(jìn)行離散首先需要形成弱解形式，即形函數(shù)與控制方程內(nèi)積的形式。

第1步，控制方程(式(1))左右兩邊同乘形函數(shù)：

(36)

第2步，在求解區(qū)域積分：

(37)

以內(nèi)積形式表示為：

(38)

第3步，劃分積分區(qū)域：

(39)

式中：Ω為總積分區(qū)域；e為子單元；ψ為有限元形函數(shù)；Ωe為積分子區(qū)域；wq為每個(gè)積分點(diǎn)q處的權(quán)函數(shù)；Je為子區(qū)域映射雅克比矩陣；i為各積分點(diǎn)的編號。

將式(39)應(yīng)用在各節(jié)點(diǎn)上，可得到液相質(zhì)量守恒方程在各積分區(qū)域的各節(jié)點(diǎn)上的離散方程組。

MOOSE支持一階(1維EDGE/2維QUAD4)和二階單元類型(1維EDGE3/2維QUAD9)等多種單元類型。對于一階/二階類型，形函數(shù)可采用線性/二階拉格朗日函數(shù)。

ZEBRA在對空間離散時(shí)支持二階精度。

3.2 時(shí)間離散

時(shí)間項(xiàng)的有限元離散過程與空間項(xiàng)相同，即：

(40)

MOOSE支持多種時(shí)間離散格式，包括顯式歐拉、隱式歐拉、Crank-Nicolson、二階時(shí)間離散格式(BDF2)和Implicit-midpoint等。以式(40)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為例，采用BDF2離散時(shí)：

(41)

式中，n為當(dāng)前時(shí)間步長。

ZEBRA在對時(shí)間離散時(shí)支持二階精度。

4 數(shù)值驗(yàn)證與計(jì)算分析

本文選取Bartolomei過冷沸騰實(shí)驗(yàn)[14]對ZEBRA兩相流模塊進(jìn)行了初步驗(yàn)證。Bartolomei實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)段為垂直圓管，其管徑為12 mm、管長為1.5 m、管厚為2 mm，管壁以均勻熱流進(jìn)行加熱。表2列出該實(shí)驗(yàn)的一系列實(shí)驗(yàn)工況，壓力范圍為3.01～14.79 MPa，質(zhì)量流密度范圍為405～2 123 kg·m-2·s-1，管壁熱流密度為0.42～2.21 MW·m-2。該實(shí)驗(yàn)的空泡份額絕對誤差范圍為±0.04。實(shí)驗(yàn)測量值只給出了空泡份額隨平衡態(tài)含氣率的變化，因此本文也只對比了空泡份額沿平衡態(tài)含氣率的分布情況，其中平衡態(tài)含氣率xq為：

表2 Bartolomei圓管過冷沸騰實(shí)驗(yàn)工況[14]Table 2 Experimental condition of Bartolomei flow boiling test[14]

(42)

本文評估了ZEBRA忽略氣相能量守恒方程對計(jì)算結(jié)果的影響，以及二階精度與一階精度之間的差距，選取case1進(jìn)行了對比計(jì)算。本文采用30個(gè)軸向節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。由圖3可看出，ZEBRA二階精度計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值符合更好，ZEBRA一階精度計(jì)算值與RELAP5計(jì)算結(jié)果相近，在較低平衡態(tài)含氣率處(≤0.0)有一定偏差，在較高平衡態(tài)含氣率處(≥0.0)相對誤差在20%之內(nèi)。

圖3 不同計(jì)算精度下ZEBRA、RELAP5結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的對比Fig.3 Comparison of ZEBRA and RELAP5 results and experimental value with different calculation accuracies

采用二階離散格式計(jì)算case1工況，其網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證如圖4所示。由圖4可看出，隨軸向節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，軸向出口空泡份額在0.506附近震蕩，且震蕩逐漸減小，趨近于0.506。因此本文選取170個(gè)軸向節(jié)點(diǎn)作為計(jì)算節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

圖4 軸向出口處空泡份額網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig.4 Verification of grid independence in outlet void fraction

采用50個(gè)時(shí)間步對各工況進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證ZEBRA計(jì)算是否能達(dá)到穩(wěn)態(tài)，如圖5所示。由圖5可看出，50個(gè)時(shí)間步足夠達(dá)到穩(wěn)態(tài)收斂條件，因此選取計(jì)算時(shí)間步為50。

圖5 出口空泡份額收斂性驗(yàn)證Fig.5 Convergence verification in outlet void fraction

計(jì)算過程中，沿單管軸向劃分170個(gè)節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)格單元類型為EDGE3，所有待求解變量U=[p，α，ul，ug，Tl]T在空間上均采用二階有限元離散格式。采用偽瞬態(tài)求解，時(shí)間離散采用BDF2格式，計(jì)算時(shí)間步長為1 s，計(jì)算時(shí)間步為50。

為實(shí)現(xiàn)不同壓力、質(zhì)量流密度、壁面熱流密度下的程序驗(yàn)證，本文只選取Bartolomei實(shí)驗(yàn)中若干組典型工況進(jìn)行對比(表2)，空泡份額與實(shí)驗(yàn)值對比如圖6所示。圖6中：不同熱流密度下對比選取case1、case5、case8；不同質(zhì)量流密度下對比選取case19、case20、case21；不同壓力下對比選取case1、case19、case26。將ZEBRA預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差進(jìn)行計(jì)算，如圖7所示。

a——不同熱流密度；b——不同質(zhì)量流密度；c——不同壓力圖6 空泡份額計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值對比Fig.6 Void fraction comparison between calculated value and experimental value

由圖6a與圖7可看出，在中壓(約7.0 MPa)、低質(zhì)量流密度(約1 000 kg·m-2·s-1)的條件下，ZEBRA在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合良好，最大相對誤差小于20%，隨熱流密度的增加(0.44～1.7 MW·m-2)，空泡份額最大值由0.3增至0.6，且沸騰起始點(diǎn)逐漸提前。

由圖6b與圖7可看出，在較高壓力(10.81 MPa)、中等熱流密度(約1.13 MW·m-2)條件下，質(zhì)量流密度越高，ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合越好，空泡份額最大值均為0.45左右。誤差主要集中在平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域，相對誤差約為60%，平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域與實(shí)驗(yàn)值均符合良好。

由圖6c與圖7可看出，在低質(zhì)量流密度(約1 000 kg·m-2·s-1)、中等熱流密度(約1.13 MW·m-2)條件下，壓力越低ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合越好。隨壓力的增高，空泡份額隨平衡態(tài)含氣率的斜率逐漸減小，且沸騰起始點(diǎn)逐漸前移。

圖7 ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的誤差Fig.7 Error of ZEBRA calculated value and experimental value

綜合圖6、7可得出：ZEBRA計(jì)算值與RELAP5計(jì)算值相近，在低空泡份額區(qū)域RELAP5計(jì)算值更接近實(shí)驗(yàn)值，其原因是RELAP5考慮了相間能量傳遞，在高空泡份額區(qū)域ZEBRA計(jì)算值與RELAP5基本相同；在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0)，ZEBRA計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值均符合良好(最大相對誤差小于20%)，隨熱流密度的增加、質(zhì)量流密度的減小、壓力的增加均能使沸騰起始點(diǎn)向前移動(dòng)。

ZEBRA計(jì)算值在低質(zhì)量流密度、高壓狀態(tài)下的平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域與實(shí)驗(yàn)值有一定差距(相對誤差約為80%)，其主要原因?yàn)椋?) 在沸騰時(shí)起始點(diǎn)處，實(shí)驗(yàn)中貼近壁面處的流體溫度高于飽和溫度便可產(chǎn)生氣泡，而ZEBRA采用一維模型進(jìn)行計(jì)算，無法計(jì)算三維效應(yīng)，因此導(dǎo)致程序計(jì)算的沸騰起始點(diǎn)滯后于實(shí)驗(yàn)值；2) 在低質(zhì)量流密度下，主流對壁面氣泡產(chǎn)生擾動(dòng)較小，更易產(chǎn)生氣泡，因此更易測得空泡份額，而本文程序計(jì)算模型無法精確模擬此過程，因而計(jì)算出的空泡份額較??；3) 在實(shí)驗(yàn)中，由于參數(shù)的測量誤差、儀器的精度和兩相問題的不確定性等問題，導(dǎo)致計(jì)算值在低空泡份額處與實(shí)驗(yàn)值有一定差距。

5 結(jié)論

本文基于MOOSE框架開發(fā)了五方程兩相流程序ZEBRA，實(shí)現(xiàn)了二階有限元空間離散格式和BDF2時(shí)間離散格式的兩相問題求解。采用Bartolomei單管過冷沸騰實(shí)驗(yàn)中的部分實(shí)驗(yàn)工況對程序進(jìn)行了初步驗(yàn)證，分別在不同熱流密度、質(zhì)量流量、壓力下將程序計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比，結(jié)果如下。

1) 針對Bartolomei實(shí)驗(yàn)，ZEBRA采用五方程模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值在平衡態(tài)含氣率為正值區(qū)域(≥0.0)符合良好，相對誤差小于20%，在平衡態(tài)含氣率為負(fù)值區(qū)域(≤0.0)有一定誤差。因此ZEBRA可較好地預(yù)測平衡態(tài)含氣率為正值(空泡份額≥0.2)區(qū)域的單管兩相流動(dòng)傳熱問題。

2) ZEBRA在低流量、低壓、高熱流密度情況下與實(shí)驗(yàn)值有一定誤差，其原因在于ZEBRA是一維程序無法精確計(jì)算局部氣泡的產(chǎn)生過程，且五方程模型忽略了由液相到氣相的能量傳遞過程，具有一定局限性。