多元退化系統(tǒng)維修與備件訂購策略優(yōu)化模型

楊志遠(yuǎn)， 趙建民， 程中華， 郭馳名， 李俐瑩

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 裝備指揮與管理系，石家莊 050003；2. 河北科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 石家莊 050000)

現(xiàn)代復(fù)雜系統(tǒng)通常裝備有狀態(tài)監(jiān)測(cè)單元如傳感器、儀表、計(jì)算設(shè)備[1]，這為基于狀態(tài)的維修(CBM)實(shí)施提供了系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)據(jù).相對(duì)于基于時(shí)間的維修方式，CBM能夠有效控制“維修不足”和“維修過度”的問題[2].通常來說，獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息的方式可分為定期檢測(cè)和連續(xù)監(jiān)測(cè)兩類，相比于定期檢測(cè)，連續(xù)監(jiān)測(cè)能夠?qū)崟r(shí)獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息，從而更為及時(shí)有效地進(jìn)行CBM決策，降低系統(tǒng)故障風(fēng)險(xiǎn)和維修費(fèi)用.隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展，連續(xù)監(jiān)測(cè)的應(yīng)用場景越來越多，特別是對(duì)于一些關(guān)鍵部件或系統(tǒng)，如發(fā)電機(jī)組，其本身價(jià)值高、停機(jī)損失大，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)監(jiān)測(cè)更為適用.同時(shí)，復(fù)雜系統(tǒng)通常存在多個(gè)退化過程，且由于共同的運(yùn)行環(huán)境、應(yīng)力等因素，退化過程間往往是相關(guān)的，在CBM決策中需要充分考慮這些因素[3]，這也增加了多元退化系統(tǒng)CBM決策的難度.

對(duì)于有多個(gè)相關(guān)退化過程的系統(tǒng)而言，CBM決策的基礎(chǔ)是對(duì)不同退化過程間的相關(guān)性進(jìn)行建模描述.目前，常用的方法包括多維退化模型[4-5]、退化率相關(guān)模型[6-7]和基于Copula函數(shù)的退化相關(guān)模型[8-9].文獻(xiàn)[4-5]分別采用多元正態(tài)分布和二元Birnbaum-Saunders(B-S)分布來描述不同退化過程間的相關(guān)關(guān)系，而分布形式也限制了此類方法的應(yīng)用.文獻(xiàn)[6-7]將不同退化過程間的相關(guān)關(guān)系表示為一個(gè)部件退化水平對(duì)其余部件退化速率的影響.在工程實(shí)際中，這種影響關(guān)系及程度很難采用定量化方法描述和確定.相對(duì)而言，Copula函數(shù)在定量描述隨機(jī)變量相關(guān)性方面具有很高的靈活性，并且提供了分析相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)可靠性影響的參數(shù)化方法.基于不同種類的Copula相關(guān)結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[10]利用仿真方法對(duì)定期檢測(cè)策略下的系統(tǒng)維修費(fèi)用進(jìn)行分析，其中預(yù)防性維修閾值為固定值.文獻(xiàn)[11]建立了多部件系統(tǒng)檢測(cè)維修策略優(yōu)化模型，其中部件故障間的相關(guān)性采用Gaussian Copula函數(shù)來描述.文獻(xiàn)[12]采用Levy Copula函數(shù)描述系統(tǒng)二元退化間的相關(guān)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上提出系統(tǒng)定期檢測(cè)與機(jī)會(huì)維修策略，利用仿真方法獲得了最優(yōu)預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修概率閾值.在現(xiàn)有的基于Copula函數(shù)建立多元退化模型的文獻(xiàn)中，很少研究在連續(xù)監(jiān)測(cè)條件下的CBM決策優(yōu)化問題，且沒有考慮系統(tǒng)備件約束，而對(duì)一些價(jià)值較高的重要系統(tǒng)而言，很難保證時(shí)刻有可用備件，通常需要提前預(yù)定.在連續(xù)監(jiān)測(cè)條件下，文獻(xiàn)[13]研究了單一退化過程的預(yù)防性更換閾值優(yōu)化問題.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14]考慮二元相關(guān)Levy退化過程，以系統(tǒng)長期運(yùn)行條件下的期望維修費(fèi)用率和可用度為準(zhǔn)則，計(jì)算獲得在不同系統(tǒng)結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)預(yù)防性更換閾值.上述研究均是在維修延遲(維修資源的到達(dá)需要一定時(shí)間，此處的維修資源也可指備件)條件下，對(duì)預(yù)防性更換閾值進(jìn)行決策，沒有綜合考慮備件訂購閾值以及預(yù)防性維修閾值的優(yōu)化問題.

針對(duì)上述問題，本文考慮系統(tǒng)不同退化過程間具有的相關(guān)性，利用Copula函數(shù)建立系統(tǒng)多元退化模型.在此基礎(chǔ)上，提出系統(tǒng)維修及備件訂購策略，分析直接維修費(fèi)用、備件庫存費(fèi)用和故障停機(jī)損失，建立系統(tǒng)維修費(fèi)用模型.以系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率準(zhǔn)則，引入人工蜂群(ABC)算法搜索最優(yōu)維修及備件訂購策略，從而提高維修工作的經(jīng)濟(jì)性，為科學(xué)制定系統(tǒng)維修及備件訂購計(jì)劃提供方法支撐.

1 系統(tǒng)描述

系統(tǒng)性能會(huì)隨著工作時(shí)間的增加不斷退化，當(dāng)退化超過閾值時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)故障.假設(shè)系統(tǒng)存在n個(gè)相關(guān)性能退化過程，任意退化過程超過特定閾值時(shí)系統(tǒng)即會(huì)出現(xiàn)故障.

現(xiàn)有的退化過程模型主要包括退化軌跡模型、退化量分布模型和基于隨機(jī)過程的退化模型等.相對(duì)于前兩種模型，基于隨機(jī)過程的退化模型能夠描述性能退化在時(shí)間軸上的不確定性，更符合工程實(shí)際.在基于隨機(jī)過程的退化模型中，Gamma過程由于其良好的性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于連續(xù)非減的退化過程建模，包括材料的磨損、侵蝕、裂紋、老化等.本文采用Gamma過程來建立系統(tǒng)退化過程模型.

令Xi(t),i=1,2,…,n表示系統(tǒng)第i個(gè)性能退化過程，根據(jù)Gamma過程平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)可知，對(duì)于任意t>u>0，Xi(t)-Xi(u)=Xi(t-u)～Γ(αi(t-u),βi)，其中：Γ(·,·)為Gamma分布；αi>0和βi>0分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù).假設(shè)系統(tǒng)初始退化量均為0，那么Xi(t)的概率密度函數(shù)和概率密度分布函數(shù)可表示為

(1)

如上所述，本文采用Copula函數(shù)描述退化過程的相關(guān)性.為便于實(shí)際應(yīng)用，這里假設(shè)：在不同時(shí)間間隔內(nèi)，不同退化過程的退化過程增量間的相關(guān)性可忽略.在文獻(xiàn)[8]中也采用了類似的假設(shè)分析多元Wiener退化過程的相關(guān)性.令t>u>0，根據(jù)Sklar定理，系統(tǒng)n個(gè)退化過程在時(shí)間區(qū)間[u,t]上退化增量Xi(t-u)的聯(lián)合概率分布函數(shù)可表示為

Ht-u(x)=C(FX1(t-u)(x1),FX2(t-u)(x2),…,

FXn(t-u)(xn);θ)

(2)

其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)可表示為

c(FX1(t-u)(x1),FX2(t-u)(x2),…,

(3)

c(FX1(t-u)(x1),FX2(t-u)(x2),…,FXn(t-u)(xn);θ)=

(4)

式中：C為Copula函數(shù)；c為Copula密度函數(shù)；x=[x1x2…xn]，xi≥0；FXi(t-u)(xi)為第i個(gè)退化過程在[u,t]內(nèi)增量的分布函數(shù)；θ=[θ1θ2…θm]為Copula函數(shù)中的參數(shù)向量，其取值直接影響著隨機(jī)變量間相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱.對(duì)于Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)問題，可基于退化數(shù)據(jù)通過最大似然估計(jì)或邊際推斷(IFM)法分兩步獲得.在此基礎(chǔ)上，可采用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)選擇合適的Copula函數(shù)描述系統(tǒng)退化相關(guān)性.關(guān)于Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法參考文獻(xiàn)[15].

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)系統(tǒng)退化故障閾值向量為QL=[QL1QL2…QLn]，可獲得系統(tǒng)可靠度函數(shù)為

Rsys(t)=P(X1(t)≤QL1,X2(t)≤

QL2,…,Xn(t)≤QLn)=

Ht(QL)=C(FX1(t)(QL1),

FX2(t)(QL2),…,FXn(t)(QLn);θ)

(5)

式中：P為概率.

由于Gamma函數(shù)和不完全Gamma函數(shù)的影響，F(xiàn)Xi(t)(QLi)的計(jì)算較為復(fù)雜，可采用B-S分布對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算[16].FXi(t)(QLi)可近似表示為

FXi(t)(QLi)≈1-FBS(t;QLi)=

(6)

Rsys(t)=

C(FX1(t)(QL1),FX2(t)(QL2),…,FXn(t)(QLn);θ)≈

C(Φ(U1(t)),Φ(U2(t)),…,Φ(Un(t));θ)

(7)

2 系統(tǒng)維修與備件訂購策略

本文的系統(tǒng)維修和備件訂購采用控制限策略(CLP)，即根據(jù)系統(tǒng)退化狀態(tài)確定相應(yīng)的備件訂購和維修活動(dòng).備件訂購閾值為QA=[QA1QA2…QAn]，預(yù)防性更換閾值為QM=[QM1QM2…QMn].為建立系統(tǒng)維修與備件訂購決策優(yōu)化模型，對(duì)相關(guān)策略做出如下假設(shè).

(1) 對(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中的退化狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)監(jiān)測(cè)，系統(tǒng)各性能退化指標(biāo)水平可以通過連續(xù)監(jiān)測(cè)得到；單位時(shí)間狀態(tài)監(jiān)測(cè)費(fèi)用記為CI.

(2) 初始備件庫存為0，當(dāng)系統(tǒng)任意退化過程達(dá)到備件訂購閾值時(shí)，系統(tǒng)發(fā)出訂貨信號(hào)，備件經(jīng)過時(shí)間τ后到達(dá).此時(shí)，若系統(tǒng)不進(jìn)行更換，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的備件庫存費(fèi)用；備件訂購費(fèi)用記為CO，單位時(shí)間庫存費(fèi)用記為CS.

(3) 當(dāng)系統(tǒng)任意退化過程達(dá)到預(yù)防性更換閾值后，系統(tǒng)發(fā)出維修信號(hào)，如果此時(shí)庫存中有備件，直接對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換；否則，在備件到達(dá)后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換.更換后，系統(tǒng)修復(fù)如新，且之后系統(tǒng)退化過程與更換前的系統(tǒng)無關(guān).如果備件是在系統(tǒng)故障后到達(dá)，即會(huì)產(chǎn)生停機(jī)損失，系統(tǒng)單位時(shí)間內(nèi)的停機(jī)損失記為CLO.一般來說，系統(tǒng)維修更換費(fèi)用與其退化量相關(guān)，退化量高的系統(tǒng)通常所需維修費(fèi)用也較多.系統(tǒng)退化量是由多個(gè)退化過程共同決定的，由于各退化過程的故障閾值和量綱可能會(huì)不同，進(jìn)而將影響系統(tǒng)退化量的計(jì)算.因此，首先定義各退化過程的相對(duì)退化量為

(8)

由式(8)可以看出，當(dāng)任意χi(t)≥1時(shí)，系統(tǒng)處于故障狀態(tài).多退化過程引發(fā)的系統(tǒng)故障為競爭失效過程，系統(tǒng)狀態(tài)由多退化過程中的最大相對(duì)退化量決定.基于此，系統(tǒng)在t時(shí)刻的維修更換費(fèi)用可表示為

CMAN=CR+ρEsup(χt)

(9)

式中：Esup(χt)=max{E(χ1(t)),E(χ2(t)),…,E(χn(t))}，E(χi(t))為χi(t)的期望；CR為系統(tǒng)更換固定費(fèi)用；ρ為更換費(fèi)用隨系統(tǒng)退化量變化系數(shù).

(4) 維修時(shí)間相對(duì)于系統(tǒng)壽命周期來說非常短，在建模過程中忽略不計(jì).

(5) 為使備件訂購閾值和系統(tǒng)預(yù)防性更換閾值有意義，令QAi≤QMi≤QLi,i=1,2,…,n.

以單退化過程為例，系統(tǒng)退化過程和更新過程如圖1所示.其中：tA、tM和tL分別為退化過程到達(dá)備件訂購閾值、預(yù)防性更換閾值及故障閾值的時(shí)間，且tL≥tM≥tA>0.

圖1 系統(tǒng)退化和更新過程

對(duì)于Gamma過程而言，其退化路徑為跳躍過程，因此有P(tM-tA=0)>0，P(tL-tA=0)>0，如圖1中系統(tǒng)第2個(gè)更新周期內(nèi)的退化過程所示.事實(shí)上，對(duì)于很多左極右連的Levy過程(包含Gamma過程)來說，均存在上述性質(zhì).

系統(tǒng)不同維修時(shí)機(jī)如圖2所示.根據(jù)備件到達(dá)的時(shí)間不同，系統(tǒng)維修情況可劃分為以下3種：

圖2 系統(tǒng)的不同維修時(shí)機(jī)

(1) 當(dāng)tA+τ

(2) 當(dāng)tM≤tA+τ

(3) 當(dāng)tA+τ≥tL時(shí)，在備件到達(dá)時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行故障更換.

3 費(fèi)用模型

本文以系統(tǒng)長期運(yùn)行情況下單位時(shí)間平均費(fèi)用(即期望費(fèi)用率)為指標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)預(yù)防性維修和備件訂購策略進(jìn)行評(píng)價(jià).由前文分析可以看出，備件訂購閾值和預(yù)防性更換閾值的高低會(huì)影響不同維修方式發(fā)生概率、維修費(fèi)用、庫存費(fèi)用、更新周期長度，從而影響系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率.

3.1 期望維修費(fèi)用率計(jì)算

考慮上述3種不同的系統(tǒng)維修情況，在不同情況下系統(tǒng)在一個(gè)更新周期內(nèi)的維修費(fèi)用C(T)及其相應(yīng)的更新周期長度T可表示為

(1) 當(dāng)tA+τ

(10)

(2) 當(dāng)tM≤tA+τ

(11)

(3) 當(dāng)tA+τ≥tL時(shí)，

(12)

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)更新報(bào)酬原理可得系統(tǒng)的期望維修費(fèi)用率為

γ∞=[CSE(max{tM-tA,τ})-

CLOE(min{tL-tA,τ})+(CLO-CS)τ+

ρ(Esup(χtA+τ)-Esup(χtM))P(tM-tA≤τ)+

ρEsup(χtM)+CR+CO]/

[E(max{tM-tA,τ})+E(tA)]+CI

(13)

3.2 具體表達(dá)式推導(dǎo)

τGM(τ)+τ-τGM(τ)+

(14)

(15)

P(tM-tA≤τ)=1-P(tM-tA>τ)=

(16)

由所建立的系統(tǒng)退化過程模型可得tA的生存函數(shù)為

P(tA>t)=P(X1(t)

QA2,…,Xn(t)

(17)

式中:Ht(QA)可由式(2)獲得.在此基礎(chǔ)上可得期望E(tA)的表達(dá)式為

(18)

在上述推導(dǎo)結(jié)果基礎(chǔ)上，當(dāng)τ為常數(shù)時(shí)，可得系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率表達(dá)式為

(19)

(20)

(21)

對(duì)于Esup(χtM)和Esup(χtA+τ)，由定義可知：

E(Xi(tM))=αiβiE(tM)

(22)

式中：E(tM)與式(18)有類似表達(dá)式，此處不再贅述.在此基礎(chǔ)上，可得：

Esup(χtM)=

(23)

同理可得：

Esup(χtA+τ)=

(24)

將式(21)、(23)和(24)代入式(19)即可得到系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率的解析表達(dá)式.

3.3 期望維修費(fèi)用率估算

通過前文獲得的系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率模型，可以得到相關(guān)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.但由于模型中涉及到x=[x1x2…xn]的高維積分，雖然在MATLAB等科學(xué)計(jì)算軟件中集成了高維積分的數(shù)值算法，可以直接使用，但算法的計(jì)算復(fù)雜度較高.為簡化計(jì)算，下面給出模型的近似表達(dá)式.

假設(shè)系統(tǒng)各退化過程在訂貨時(shí)間點(diǎn)tA的退化量已知，記為

XtA=[X1(tA)X2(tA) …Xn(tA)]，那么容易得到:

P(Xs

(25)

由于退化過程均為隨機(jī)過程，所以在實(shí)際中XtA為隨機(jī)變量.因此，這里用XtA的期望值E(XtA)=[E(X1(tA))E(X2(tA)) …E(Xn(tA))]代替XtA.由此可得：

Hs(QM-E(XtA))

(26)

同理可得：

(27)

(28)

4 優(yōu)化模型及算法

在上述費(fèi)用模型基礎(chǔ)上，為制定最優(yōu)系統(tǒng)維修與備件訂購策略，以系統(tǒng)長期運(yùn)行期望維修費(fèi)用率最小為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)預(yù)防性維修閾值和備件訂購閾值進(jìn)行優(yōu)化.基于此，建立如下優(yōu)化模型

(29)

s.t.0

在上述決策模型中，可以看出目標(biāo)函數(shù)TC∞具有非線性、不可微的特點(diǎn)，且模型決策變量較多，當(dāng)系統(tǒng)存在n個(gè)退化過程時(shí)，模型有2n個(gè)決策變量，因此，難以得到模型的解析解.

為解決這一問題，采用ABC算法搜索系統(tǒng)最優(yōu)維修與備件訂購策略.ABC算法是一種基于蜂群搜索蜜源行為的群體智能優(yōu)化算法，在智能優(yōu)化算法中屬于比較新的算法，該算法控制參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)、全局收斂性能好，并且其優(yōu)化性能優(yōu)于其他一些傳統(tǒng)智能優(yōu)化算法[17]，如遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化(PSO)算法、差分進(jìn)化(DE)算法等，特別是在非線性優(yōu)化函數(shù)求解方面具有良好的性能.ABC算法已廣泛應(yīng)用于解決各類優(yōu)化問題，關(guān)于ABC算法的具體機(jī)理和優(yōu)化過程可參考文獻(xiàn)[18]，這里不再贅述.在案例分析中，ABC算法采用MATLAB實(shí)現(xiàn).

5 案例分析

為驗(yàn)證上述決策優(yōu)化模型的有效性，以兩部件系統(tǒng)為例，即n=2，對(duì)系統(tǒng)維修及備件訂購策略進(jìn)行優(yōu)化，并分析相關(guān)參數(shù)對(duì)模型優(yōu)化結(jié)果的影響.考慮兩種不同的情形，在案例1中假設(shè)系統(tǒng)兩個(gè)退化過程參數(shù)相同，單位時(shí)間退化量均值為2，方差為4，故障閾值也相同；在案例2中假設(shè)系統(tǒng)兩個(gè)退化過程參數(shù)存在差異，單位時(shí)間內(nèi)退化量均值分別為2和1.5，方差分別為4和1，相應(yīng)的故障閾值也不同.不同案例的退化過程及故障閾值參數(shù)如表1所示.

表1 系統(tǒng)退化過程及故障閾值參數(shù)

對(duì)于模型中的費(fèi)用參數(shù)，為方便說明，假定單位時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)費(fèi)用為1，其余各項(xiàng)費(fèi)用值均為與狀態(tài)監(jiān)測(cè)費(fèi)用的比值.系統(tǒng)維修費(fèi)用參數(shù)值如表2所示.

表2 系統(tǒng)維修費(fèi)用參數(shù)

在Copula函數(shù)選擇方面，以Gaussian Copula函數(shù)為例，描述系統(tǒng)兩個(gè)退化過程間的相關(guān)關(guān)系，二元Gaussian Copula函數(shù)的分布函數(shù)為

(30)

式中：Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逆函數(shù).當(dāng)表示兩個(gè)變量間為正相關(guān)關(guān)系時(shí)，θ∈[0,1]，在本案例中令θ=0.7.當(dāng)然，這里也可以采用其他類型的Copula函數(shù)描述退化間相關(guān)關(guān)系，其分析過程相同.

5.1 系統(tǒng)維修及備件訂購策略優(yōu)化

在以上參數(shù)設(shè)置基礎(chǔ)上，假設(shè)備件訂購交付時(shí)間為τ=1.為驗(yàn)證期望維修費(fèi)用率式(13)的準(zhǔn)確性，在不同的維修及備件訂購策略下采用Monte-Carlo(MC)方法對(duì)維修費(fèi)用進(jìn)行仿真，具體過程為：首先對(duì)系統(tǒng)退化過程進(jìn)行仿真，得到備件訂購時(shí)間、系統(tǒng)更換、系統(tǒng)故障時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算系統(tǒng)庫存費(fèi)用、更換費(fèi)用及停機(jī)損失，最后得到費(fèi)用具體值.在這里重復(fù)上述過程104次，得到系統(tǒng)維修費(fèi)用的104個(gè)實(shí)現(xiàn)值.在此基礎(chǔ)上，求得平均值并與解析結(jié)果進(jìn)行比較，如表3所示.

表3 解析結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比

由表3可以看出，解析方法得到的期望費(fèi)用率與仿真結(jié)果很接近，并且在MC仿真結(jié)果95%置信區(qū)間內(nèi)，由此說明了上述系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率表達(dá)式的準(zhǔn)確性.

下面分析當(dāng)備件訂購閾值(QA1,QA2)為常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率γ∞隨預(yù)防性更換閾值(QM1,QM2)的變化情況，結(jié)果如圖3所示.

圖3 γ∞隨(QM1,QM2)變化情況

由圖3可以看出，無論對(duì)于案例1還是案例2，當(dāng)(QA1,QA2)為常數(shù)時(shí)，隨著(QM1,QM2)的增大，γ∞總體上來說呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，這是由庫存費(fèi)用、維修費(fèi)用增加以及系統(tǒng)更新周期增長共同作用的結(jié)果.在給定的備件訂購閾值下，存在最優(yōu)的(QM1,QM2)使得γ∞達(dá)到最小.同理，下面固定預(yù)防性更換閾值(QM1,QM2)，分析系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率γ∞隨備件訂購閾值(QA1,QA2)的變化情況，結(jié)果如圖4所示.

由圖4可以看出，無論對(duì)于案例1還是案例2，當(dāng)(QM1,QM2)為常數(shù)時(shí)，隨著(QA1,QA2)的增大，γ∞總體上來說呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，這主要是受預(yù)防性更換概率減小、故障更換概率增大以及庫存費(fèi)用減少的影響.同樣，在給定的預(yù)防性更換閾值下，存在最優(yōu)的(QA1,QA2)使得γ∞達(dá)到最小.

圖4 γ∞隨(QA1,QA2)的變化情況

下面基于ABC算法對(duì)模型進(jìn)行求解，得到最優(yōu)維修及備件訂購策略.在ABC算法中，設(shè)置種群數(shù)量為10，適應(yīng)度函數(shù)為1/γ∞(QA,QM).以案例1為例，考慮到算法中隨機(jī)因素的影響，運(yùn)行ABC算法5次，獲得的系統(tǒng)維修及備件訂購策略優(yōu)化過程如圖5所示，其中：K為迭代次數(shù)；上標(biāo)*表示最優(yōu).

圖5 ABC算法優(yōu)化過程

由圖5可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到100次后，最優(yōu)期望費(fèi)用率值不再變化，且各優(yōu)化過程均收斂于相同的最優(yōu)值，對(duì)案例2也有類似的結(jié)果.當(dāng)退化過程增多時(shí)，可適當(dāng)增加算法中種群數(shù)量的設(shè)置，以提高算法收斂速度及精度.在此基礎(chǔ)上，得到的系統(tǒng)最優(yōu)維修及備件訂購策略如表4所示.此外，假如在這里采取文獻(xiàn)[14]中的策略，即不單獨(dú)考慮系統(tǒng)備件訂購閾值，而是在預(yù)防性更換閾值(QM1,QM2)處訂購備件，即QAi=QMi.在此策略下，所獲得的系統(tǒng)最優(yōu)維修策略見表4.

表4 系統(tǒng)最優(yōu)維修及備件訂購策略

圖6 不同(QA1,QA2)下和γ∞對(duì)比

5.2 靈敏度分析

圖7 備件交付時(shí)間對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

下面分析θ的變化對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)維修及備件訂購策略的影響，在案例1和案例2規(guī)定的情形下，計(jì)算結(jié)果如表5所示.

表5 不同θ下的系統(tǒng)最優(yōu)維修及備件訂購策略

6 結(jié)語

多元退化系統(tǒng)CBM決策通常需要考慮不同退化過程間的相關(guān)性.在維修策略中同時(shí)考慮預(yù)防性更換閾值和備件訂購閾值，在推導(dǎo)系統(tǒng)退化狀態(tài)到達(dá)各閾值時(shí)間聯(lián)合分布基礎(chǔ)上，得到了連續(xù)監(jiān)測(cè)條件下的系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率精確和近似表達(dá)式.在案例分析中，通過ABC算法得到了最優(yōu)維修和備件訂購策略，驗(yàn)證了模型和算法的有效性.通過和已有策略的對(duì)比表明了所提系統(tǒng)維修和備件訂購策略的優(yōu)勢(shì).同時(shí)，在案例中也檢驗(yàn)了系統(tǒng)期望維修費(fèi)用近似表達(dá)式的精度，分析了備件交付時(shí)間和退化相關(guān)程度參數(shù)對(duì)決策結(jié)果的影響.值得注意的是，本文采用Gamma過程建立退化過程模型，事實(shí)上，對(duì)于包含Gamma過程的Levy過程來說，上述模型也同樣適用.此外，對(duì)于一些非Copula相關(guān)的多元退化系統(tǒng)在連續(xù)監(jiān)測(cè)下的維修閾值優(yōu)化問題，可參考上述方法建立優(yōu)化模型.