問(wèn)題引領(lǐng)：讓數(shù)學(xué)探究走向深入

摘要：數(shù)學(xué)課堂中的問(wèn)題引領(lǐng)有助于幫助學(xué)生搭建思維的階梯，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)生力，主動(dòng)尋找解決問(wèn)題的路徑與方法。以核心問(wèn)題為主線，開(kāi)放學(xué)習(xí)空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索、合作交流，重視學(xué)生的內(nèi)化體驗(yàn)與分析思辨，能夠促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)，建構(gòu)意義，發(fā)展思維，提升學(xué)力。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}引領(lǐng);數(shù)學(xué)探究;深度學(xué)習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2021）02B-0096-05

數(shù)學(xué)課堂要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的學(xué)習(xí)時(shí)空，通過(guò)核心問(wèn)題的引領(lǐng)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究，重視學(xué)生的研究體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，促進(jìn)學(xué)力生長(zhǎng)。本文以“圓的面積”的教學(xué)為例，淺談基于問(wèn)題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐與思考。

一、提煉核心問(wèn)題，關(guān)注學(xué)生體驗(yàn)

數(shù)學(xué)課堂的核心問(wèn)題是指一節(jié)課中主要的、具有思維價(jià)值的問(wèn)題或問(wèn)題群。這些核心問(wèn)題是基于一節(jié)課學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容進(jìn)行提煉的，需要學(xué)生在課堂上深入探索、重點(diǎn)解決的問(wèn)題。核心問(wèn)題也是一堂課的“主線”，應(yīng)能關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生深度思考，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與意義的建構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的進(jìn)階。

筆者曾經(jīng)多次上過(guò)“圓的面積”教學(xué)的研究課。為了展示圓面積推導(dǎo)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，筆者自制教具，嘗試運(yùn)用FLASH、PPT、幾何畫(huà)板，在課件制作和教具演示上投入了很多精力。學(xué)生在初步探索的基礎(chǔ)上，結(jié)合觀看課件動(dòng)畫(huà)和教具演示來(lái)學(xué)習(xí)。雖然視覺(jué)感知上更加直觀，但是學(xué)生自主探究的內(nèi)在體驗(yàn)不夠豐富，研究出的推導(dǎo)方法也比較單一。近些年，隨著研究的深入，筆者越來(lái)越關(guān)注學(xué)生內(nèi)在的感悟與思考。于是這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與以往有了很大的不同，備課時(shí)的主導(dǎo)思想是提煉核心問(wèn)題，重視學(xué)生體驗(yàn)，讓課堂從學(xué)生的學(xué)習(xí)出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生的深度探究。

本節(jié)課以核心問(wèn)題為主線，抓住“準(zhǔn)備怎樣來(lái)研究圓面積的計(jì)算方法”“如何把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形”“圓面積的計(jì)算方法怎么推導(dǎo)”“如何解決生活中的實(shí)際問(wèn)題”這樣幾個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)學(xué)習(xí)。整節(jié)課“輕”課件、“輕”教具、“重”學(xué)具、“重”體驗(yàn)。課前筆者給每個(gè)小組的學(xué)生準(zhǔn)備了一套磁性的學(xué)具：一張圓形的磁片，把三張圓形磁片分別等分成4個(gè)、8個(gè)、16個(gè)的小扇形，每人一塊磁性黑板。教學(xué)課件只有3張PPT，主要呈現(xiàn)兩個(gè)內(nèi)容：探究方法與解決問(wèn)題。課堂上創(chuàng)設(shè)了開(kāi)放的學(xué)習(xí)空間，提供了豐富的學(xué)具操作，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探究與伙伴共研，在動(dòng)手操作與分享交流中充分地體驗(yàn)感悟，讓每個(gè)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的過(guò)程，在智慧碰撞中不斷地遞進(jìn)思考，讓探究走向深入。

二、生成非良構(gòu)問(wèn)題，探尋最佳路徑

喬納森根據(jù)結(jié)構(gòu)性的不同，將問(wèn)題分為良構(gòu)問(wèn)題與非良構(gòu)問(wèn)題。非良構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題通常與具體情景相結(jié)合，但是沒(méi)有清晰的已知條件，沒(méi)有明確的解決途徑，解決問(wèn)題的方法比較開(kāi)放。在數(shù)學(xué)課堂中，生成非良構(gòu)的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生探尋多元的、合適的解決問(wèn)題的途徑，在理解的基礎(chǔ)上尋找最佳路徑，從而讓數(shù)學(xué)探究走向深入。

筆者曾經(jīng)對(duì)亞洲地區(qū)幾種不同版本教材中有關(guān)“圓的面積”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)：雖然導(dǎo)入部分的設(shè)計(jì)有所不同，但是圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程大體相同，基本方法都是把圓等分成8份、16份的小扇形，然后通過(guò)把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形（或長(zhǎng)方形）推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。日常教學(xué)中，大多數(shù)教師也是按照把圓切分成小扇形的思路指導(dǎo)學(xué)生操作探究、總結(jié)規(guī)律。只不過(guò)，很少有人關(guān)注如下的基本問(wèn)題：怎樣才能讓學(xué)生想到需要通過(guò)轉(zhuǎn)化計(jì)算圓的面積？轉(zhuǎn)化時(shí)，為什么要把圓等分成若干個(gè)小扇形？把圓等分成若干個(gè)小扇形之后，只能拼成近似的長(zhǎng)方形嗎？把圓轉(zhuǎn)化成其他的圖形能否也推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算方法？筆者覺(jué)得，這些問(wèn)題盡管具有一定的難度，但顯然也有利于學(xué)生對(duì)圓面積計(jì)算問(wèn)題形成更加完整和深入的思考。于是，在這節(jié)課的導(dǎo)入部分，筆者改變了原來(lái)常用的教學(xué)方法，提出非良構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生自主嘗試，多渠道尋找解決問(wèn)題的方法，探尋最佳路徑。

首先請(qǐng)學(xué)生回想以前在推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算公式時(shí)運(yùn)用的是什么方法。學(xué)生都能想到用了轉(zhuǎn)化的方法，把要研究的圖形轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的圖形，把未知轉(zhuǎn)化為已知。在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思考：研究圓面積的計(jì)算公式的推導(dǎo)，準(zhǔn)備怎么辦？學(xué)生想到了可以把圓剪開(kāi)，切分成小塊，轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形，化曲為直。然后給學(xué)生一個(gè)圓，一把剪刀，讓他們自己嘗試著去切分，把圓剪一剪，在小黑板上拼一拼，經(jīng)歷探究過(guò)程。

學(xué)生自主嘗試，主要出現(xiàn)了以下幾種思路（見(jiàn)圖1）：大部分學(xué)生把圓切分成了若干個(gè)扇形（圖1-1、1-2、1-3），嘗試拼出平行四邊形;個(gè)別學(xué)生把圓剪成了若干個(gè)小長(zhǎng)條（圖1-4），嘗試拼出長(zhǎng)方形;還有一位學(xué)生把圓剪成了整格的小方塊和不滿(mǎn)整格的不規(guī)則圖形（圖1-5），嘗試用數(shù)方格的方法。雖然多種方法切分，剪拼不夠規(guī)范，但是都表達(dá)了化曲為直的想法。

經(jīng)過(guò)全班的交流分析，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：把圓切分成小長(zhǎng)條和小方塊，都不好操作，因?yàn)槔锩婧胁灰?guī)則的圖形，切分后帶弧度的不規(guī)則的小塊圖形形狀不同，很難密鋪，空隙較多，很難轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的平面圖形。還有學(xué)生想到：切成小方格和數(shù)方格的方法有些近似，如果用方格紙來(lái)測(cè)量，可以得出近似的圓的面積，但是無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)量出圓的面積。大家一致認(rèn)為：把圓等分成若干個(gè)小扇形比較合適。需要注意的是如果等分成2個(gè)半圓，也是無(wú)法轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形，但是把圓等分成4個(gè)小扇形或更多個(gè)小扇形，不僅可以密鋪，而且等分的小扇形的塊數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。

這樣的導(dǎo)入，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，創(chuàng)設(shè)了開(kāi)放的探究空間，啟發(fā)學(xué)生自主思考，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試，剪出多種路徑，探尋最佳路徑，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化，真正體會(huì)化曲為直，找到解決問(wèn)題的方法。

三、開(kāi)放探究空間，感悟推導(dǎo)方法

問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎。數(shù)學(xué)課堂中我們給學(xué)生提出的問(wèn)題要有廣度，有挑戰(zhàn)性，有思維含量，要留給學(xué)生思考的時(shí)間和研究的空間。開(kāi)放的探究時(shí)空可以讓學(xué)生有更豐富的感悟體驗(yàn)，會(huì)有更多智慧的碰撞，也會(huì)促進(jìn)思維向縱深發(fā)展。

在推導(dǎo)圓面積計(jì)算的方法時(shí)，筆者沒(méi)有直接給出具體的單一的方法，而是引導(dǎo)學(xué)生探索，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的問(wèn)題情境，提供學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在多種方法的交流分享中體驗(yàn)感悟，在不同思考的比較分析中內(nèi)化提升。

（一）問(wèn)題引領(lǐng)，多元轉(zhuǎn)化

好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生大膽地提出數(shù)學(xué)設(shè)想。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究環(huán)節(jié)，教師可以創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的探究空間，通過(guò)問(wèn)題的引領(lǐng)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)嘗試，從不同途徑尋找解決問(wèn)題的方法。

全班學(xué)生經(jīng)過(guò)初步嘗試形成共識(shí)：把圓切分成相等的小扇形，更利于把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的平面圖形。在此基礎(chǔ)上教師提供了以下研究思路，鼓勵(lì)學(xué)生在四人小組內(nèi)運(yùn)用學(xué)具進(jìn)行伙伴探究。

（1）小組討論：準(zhǔn)備把圓轉(zhuǎn)化成什么圖形？

（2）小組合作：選擇4等分、8等分、16等分的圓，在小黑板上拼一拼，看看能拼成什么圖形？

（3）小組交流：把拼好的圖形有序排列，觀察不同分法轉(zhuǎn)化后的圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？拼成的圖形與原來(lái)的圓有什么關(guān)系？根據(jù)轉(zhuǎn)化后的圖形的面積計(jì)算方法怎樣計(jì)算圓的面積？

在開(kāi)放的場(chǎng)域中，學(xué)生在小組內(nèi)充分嘗試，探索出了多種轉(zhuǎn)化的方法（見(jiàn)圖2）。

（二）分析比較，感悟方法

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題有多種方法之后，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析比較。在觀察、感悟、分類(lèi)、匯整的活動(dòng)中，逐漸優(yōu)化方法，幫助學(xué)生逐步形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)習(xí)能力。

通過(guò)自主嘗試，全班學(xué)生展示出了以上四種思路，其中絕大部分小組是用第一種方法（見(jiàn)圖2-1）進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，只有三個(gè)小組分別呈現(xiàn)了后面三種思路（圖2-2，2-3，2-4），屬于個(gè)例。于是先選擇共性的方法進(jìn)行研究。結(jié)合學(xué)生介紹的轉(zhuǎn)化方法，教師適時(shí)補(bǔ)充把圓32等分、64等分后轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖3），滲透極限思想，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)把圓無(wú)限等分后可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，進(jìn)而理解圓面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程。

然后引導(dǎo)學(xué)生分析后三種思路，教師提出問(wèn)題：“用這樣的方法能不能推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算方法呢？誰(shuí)想上來(lái)介紹一下推導(dǎo)的思路？”學(xué)生結(jié)合自己的轉(zhuǎn)化過(guò)程，分享了多種思路的推導(dǎo)方法（見(jiàn)圖4）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形都可以推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算方法。

盡管學(xué)生通過(guò)自己的探索，已經(jīng)找到解決問(wèn)題的方法，但筆者認(rèn)為課堂上教師要一直保持問(wèn)題意識(shí)，善于捕捉學(xué)生的困惑，引發(fā)學(xué)生思維碰撞與深度思考。此時(shí)可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“比較這幾種方法，有什么不同點(diǎn)？有什么相同點(diǎn)？”“你覺(jué)得把圓轉(zhuǎn)化成什么圖形比較方便推導(dǎo)出它的面積計(jì)算公式？”學(xué)生經(jīng)歷了自主探究的過(guò)程，在方法多樣化的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析比較，有了更多的體驗(yàn)與思考，深切體會(huì)到把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的方法很通用，也很優(yōu)化，既方便進(jìn)行圖形的切拼轉(zhuǎn)化，也利于面積計(jì)算的方法推導(dǎo)。

（三）變式思考，思維進(jìn)階

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，變式思考有助于打破思維定勢(shì)，切換視角重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的思考隨著對(duì)問(wèn)題的分析和思辨逐步深入，不斷拓展。

本節(jié)課學(xué)生主要探究了把圓切分成小扇形拼成學(xué)過(guò)的平面圖形推導(dǎo)出圓面積計(jì)算的方法，在此基礎(chǔ)上教師可以提出一個(gè)拓展性的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生變式思考：“今天我們研究了把圓等分成扇形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，還有沒(méi)有其他的方法呢？如果給你一個(gè)草繩編織的圓形茶杯墊片，又可以怎么探究圓面積計(jì)算的方法呢？”學(xué)生經(jīng)歷過(guò)前面的研究，思路已完全打開(kāi)，展開(kāi)了充分的討論，跳出原有的思維框架，展開(kāi)了新的探索，有的想到了可以把圓形草墊沿著半徑剪開(kāi)，拼成一個(gè)近似的三角形草墊（見(jiàn)圖5），也有學(xué)生想到了其他的思路，建議感興趣的同學(xué)可以課后繼續(xù)研究。通過(guò)變式思考，學(xué)生進(jìn)一步探索了化曲為直的多維思路，更深入地理解了圓面積計(jì)算的推導(dǎo)方法，促進(jìn)了思維的進(jìn)階。

四、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用提升學(xué)力

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從問(wèn)題的提出開(kāi)始的，也是在問(wèn)題的解決中發(fā)展的。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)，在應(yīng)用與拓展中，提升思維的品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)練習(xí)中的解決問(wèn)題不在于數(shù)量的多少，而在于問(wèn)題所指向的知識(shí)內(nèi)容與思維含量。結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行更加精準(zhǔn)的練習(xí)設(shè)計(jì)，可以激發(fā)學(xué)生有深度的數(shù)學(xué)思考，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（一）關(guān)聯(lián)生活，學(xué)以致用

應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以在數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)生活之間建立關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生學(xué)以致用。學(xué)習(xí)了圓面積計(jì)算的推導(dǎo)方法后，可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)習(xí)的方法來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。蘇教版數(shù)學(xué)教材中的例題是關(guān)于噴灌面積計(jì)算的解決問(wèn)題，這個(gè)素材來(lái)源于生活，具有一定的典型性，學(xué)生很容易理解，可以直接出示問(wèn)題：“有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器的最遠(yuǎn)噴水距離大約是5米。它旋轉(zhuǎn)一周?chē)姽嗟拿娣e大約是多少平方米？”這節(jié)課的新知學(xué)習(xí)讓學(xué)生對(duì)圓面積的計(jì)算方法有了深刻的體會(huì)，此時(shí)就很容易解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。在學(xué)以致用的基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生思考：要求圓的面積需要知道什么條件，學(xué)生想到了已知半徑、直徑、周長(zhǎng)都可以求出圓的面積。教師可以相機(jī)對(duì)所學(xué)新知加以小結(jié)與提升。

（二）拓展應(yīng)用，深度理解

指向問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有利于更好地呈現(xiàn)和分析學(xué)習(xí)的脈絡(luò)，更充分地展現(xiàn)學(xué)生的思維。有一定深度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)更深層次的內(nèi)化。在這節(jié)課的拓展練習(xí)部分，同學(xué)們小結(jié)出要求圓的面積，需要知道半徑、直徑或周長(zhǎng)。此時(shí)教師引發(fā)學(xué)生思考：如果只知道小正方形的面積，你們還能求出圓的面積嗎？相機(jī)出示問(wèn)題：圖中（見(jiàn)圖6）小正方形的面積是8平方厘米，你能算出圓的面積嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生突破已有認(rèn)知，尋找新的視角解決問(wèn)題，找到問(wèn)題解決的突破口，即小正方形的面積就是半徑的平方，從而求出了圓的面積，深度理解圓面積計(jì)算的多種方法。

數(shù)學(xué)課堂中的問(wèn)題引領(lǐng)有助于幫助學(xué)生搭建思維的階梯，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)生力，主動(dòng)尋找解決問(wèn)題的路徑與方法。以核心問(wèn)題為主線，開(kāi)放學(xué)習(xí)空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索、合作交流，重視學(xué)生的內(nèi)化體驗(yàn)與分析思辨，能夠促進(jìn)課堂教學(xué)的開(kāi)放與整合，使課堂學(xué)習(xí)更加高效，更有深度。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷創(chuàng)生新的認(rèn)識(shí)，在分析、綜合、應(yīng)用的過(guò)程中理解知識(shí)，建構(gòu)意義，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)力。

責(zé)任編輯：丁偉紅

收稿日期：2020-12-30

作者簡(jiǎn)介：陳馨，南京市鼓樓區(qū)第一中心小學(xué)（江蘇南京，210029），教育碩士，高級(jí)教師。