一類解析函數(shù)的Bohr定理

李程鵬， 李錦成

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

用C表示復平面，D={z∈C:|z|<1}表示C中的單位開圓盤，Dr=D(0，r)表示以原點為圓心、r為半徑的開圓盤.H(D，Ω)表示從D映到Ω?C中的解析函數(shù)全體，A(D)表示D內正規(guī)化解析函數(shù)的全體，K(D)表示D內正規(guī)化單葉解析凸函數(shù)的全體.在單復變幾何函數(shù)論中，凸函數(shù)都與正實部函數(shù)密切相關.定義正實部函數(shù)子類，記為Pα(D)[1]，0<α≤1，即

Pα(D):={f∈A(D):Re[f(z)/z]≥α}.

注1當α=1時，由極值原理可知，f(z)≡z.

注2[1]K(D)?P1/2(D).

在單復變中，Bohr[2]得到了經典的Bohr定理.

上式中：d為歐式距離；?D為D的邊界.基于此形式，Bohr不等式可以被推廣到任何區(qū)域Ω?C[6-9].

給定一個區(qū)域Ω?C，找出最大的半徑rΩ>0，使得對任一f∈H(D，Ω)和|z|

類似地，可以定義一類解析函數(shù)滿足Bohr現(xiàn)象.

則稱M滿足Bohr現(xiàn)象，其中，最大的r*稱為M的Bohr半徑.

Bohr現(xiàn)象是一個活躍的研究領域，Ali等[11]確定了幾類解析函數(shù)的Bohr半徑，包括α級凸函數(shù)類及近于凸函數(shù)子類.

由于K(D)?P1/2(D)，解析函數(shù)族Pα(D)的Bohr半徑將是一個有意義的問題.

給出上述問題的解答，通過建立Pα(D)的增長和掩蓋定理，得到了Pα(D)的Bohr定理，給出了相應的Bohr半徑.

1 相關引理

為了給出文中的主要結果，需引入以下2個引理.

引理1[12]設函數(shù)h(z)在D內解析，Re[h(z)]>0，且h(0)=1，則當z∈D時，

|an|≤2Re(a0).

證明：為了讀者方便，給出證明，具體可參考文獻[13].

對于任一正整數(shù)n≥1，由于

從而，

即|an|≤2Re(a0).

2 主要結果

定理1設f∈Pα(D)，0<α≤1，則當z∈D時，有

從而，Dα?f(D).

從而，

于是，

即

上式左邊令|z|→1，可得Dα?f(D).

注3若f∈Pα(D)，則f(0)=0，且d(f(0)，?f(D))=d(0，?f(D))≥α.

(1)

其中，

(2)

為Pα(D)的Bohr半徑.

根據引理2，有

|an|≤2(1-α)，n≥2.

從而，

再結合注3，有d(f(0)，?f(D))=d(0，?f(D))≥α.

解不等式組

經計算，可得|z|

下面證明r0為Pα(D)的Bohr半徑，即r0為最佳常數(shù).

這表明r0為Pα(D)的Bohr半徑.